呂海煒， 李映輝， 李 亮， 徐 江

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031)

夾層結(jié)構(gòu)通常由剛度較大的上下約束層與阻尼較大的夾心層組成，并廣泛用于高速列車、船舶艦艇、航空航天等領(lǐng)域的減震降噪。對(duì)沿厚度方向可變形夾層結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[1]研究集中載荷作用時(shí)約束層、夾心層部分分離的軟夾層梁動(dòng)力學(xué)行為，并討論分離長(zhǎng)度及位置對(duì)軟夾層梁行為(軸向、橫向位移、彎矩、剪力及界面處正應(yīng)力)影響。文獻(xiàn)[2]研究沖擊載荷下約束層與夾心層部分分離的軟夾層梁屈曲、后屈曲行為。文獻(xiàn)[3]將夾心層位移表示成沿厚度方向四次多項(xiàng)式，研究沖擊載荷時(shí)夾心層可壓縮的淺夾層殼非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。文獻(xiàn)[4-5]研究表明物質(zhì)軸向運(yùn)動(dòng)會(huì)誘發(fā)橫向振動(dòng)，振動(dòng)強(qiáng)度與運(yùn)動(dòng)速度密切相關(guān)，運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到或超過(guò)某臨界值時(shí)，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)。文獻(xiàn)[6]考慮剪切模量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響，利用多重尺度法研究軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性Timoshenko梁橫向非線性受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。文獻(xiàn)[7]利用有限元法研究軸向運(yùn)動(dòng)梁受移動(dòng)載荷作用時(shí)橫向動(dòng)態(tài)響應(yīng)。文獻(xiàn)[8]在夾心層沿厚度方向不可壓縮前提下，研究軸向變速運(yùn)動(dòng)粘彈性?shī)A層梁非線性橫向振動(dòng)，討論夾心層厚度對(duì)固有頻率及系統(tǒng)穩(wěn)定性影響。文獻(xiàn)[9]基于薄板小撓度理論與Kelvin-Voigt粘彈性本構(gòu)方程，建立軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性?shī)A層板振動(dòng)控制方程，研究軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性?shī)A層板橫向自由振動(dòng)與強(qiáng)迫振動(dòng)。文獻(xiàn)[10]研究小變形時(shí)軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性?shī)A層板多模態(tài)耦合橫向振動(dòng)。文獻(xiàn)[11]考慮超音速來(lái)流因素，研究粘性阻尼、來(lái)流動(dòng)壓及夾心層厚度對(duì)顫振特性影響。

以上研究中，有的未考慮夾層沿厚度方向的可壓縮性，有的未考慮軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)影響。本文擬考慮夾層沿厚度方向可壓縮性與軸向運(yùn)動(dòng)效應(yīng)綜合影響，建立軸向運(yùn)動(dòng)夾層梁動(dòng)力學(xué)模型，分析其振動(dòng)特性及動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

1 控制方程

1.1 基本假設(shè)

圖1為軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁，長(zhǎng)L，寬b，總厚H，上下約束層厚度均為h/2，軟夾層厚度hc?；炯僭O(shè)：①上下約束層滿足Kirchhoff-love假設(shè)，厚度與整個(gè)截面厚度相比較??；②軟夾層在厚度方向可壓縮，即厚度可變；③上下約束層與夾心層理想粘接。

圖1 軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁模型

1.2 變形幾何方程

1.2.1 約束層變形幾何關(guān)系

因上下約束層較薄，可忽略其橫向位移沿厚度方向變化，用中面橫向位移表示為：

(1)

(2)

考慮小變形，約束層應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(3)

其中：(.),x=?(.)/?x; (.),xx=?2(.)/?x2。

1.2.2 夾層變形幾何關(guān)系

夾層在厚度方向可壓縮，設(shè)夾層中任一點(diǎn)橫向位移wc(x,z,t)為z的二次函數(shù)：

(4)

其中：aI為待定系數(shù)，i=1,2,3，由位移協(xié)調(diào)條件確定：

在z=-hc/2，hc/2，0處，有

(5)

將式(5)代入式(4)得：

(6)

因此：

(7)

軟夾層應(yīng)變可表示為：

(8)

(9)

1.2.3 本構(gòu)關(guān)系

上、下表面約束層：

(10)

中間軟夾層：

ηt,z(z)wt(x,t)+ηb,z(z)wb(x,t)]

(11)

(12)

1.2.4 運(yùn)動(dòng)方程

基于Hamilton 原理，軟夾層梁方程可表述為：

(13)

其中：T為系統(tǒng)動(dòng)能；U為系統(tǒng)應(yīng)變能；可分別表述為：

(14)

(15)

式中：ρt，ρc，ρb分別為上約束層、軟夾層、下約束層質(zhì)量密度。將式(14)、(15)代入式(13)得軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁控制方程為：

(16)

(17)

(18)

2 軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁振動(dòng)特性

考慮簡(jiǎn)支邊界條件，有：

wt(0,t)=wt(L,t)=wc(0,t)=wc(L,t)=wb(0,t)=wb(L,t)=0

(19)

(20)

假設(shè)滿足邊界條件式(19)、(20)的位移函數(shù)為：

(21)

基于Galerkin方法，得矩陣方程組為：

其中：{X(t)}={A1(t) …Ak(t)A(k+1)(t) …A(k+m)(t)A(k+m+1)(t) …A(k+m+n)(t)}T；[M]=[mij]為質(zhì)量矩陣；[C]=[cij]為阻尼矩陣；[K]=[kij]為線性剛度矩陣；mij，cij，kij表達(dá)式見(jiàn)附錄。

設(shè)式(22)解的形式為：

{X(t)}={ψ}eλt={ψ1…ψkψk+1…ψk+mψk+m+1…ψk+m+n}Teλt

(23)

代入式(22)轉(zhuǎn)化為特征值問(wèn)題求解，即：

(λ2[M]+λ[C]+[K]){ψ}=0

(24)

式(24)有非零解的特征方程為：

|λ2[M]+λ[C]+[K]|=0

(25)

求解特征方程可得軟夾層梁失穩(wěn)形式及相應(yīng)零解速度。λ通常為復(fù)數(shù)形式，即λ=ξ+ωi，ξ為實(shí)部，表征系統(tǒng)阻尼，ω為虛部，表征系統(tǒng)頻率。

3 數(shù)值模擬

式(21)取k=m=n=1，φ1(x)=φ2(x)=φ3(x)=sin(πx/L)。軟夾層梁幾何尺寸見(jiàn)表1，材料參數(shù)見(jiàn)表2。

表1 粘彈性?shī)A層梁幾何尺寸

表2 粘彈性?shī)A層梁材料參數(shù)

3.1 軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁振動(dòng)特性

3.1.1 軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁振型

速度v=50 m/s時(shí)，由式(25)求得λ1=-1.8×10-15±330.8i，λ2=2.8×10-14±2 415.8i，λ3=-3.4×10-13±5 172.7i，故系統(tǒng)前三階固有頻率為：ω1=330.8，ω2=2 415.8，ω3=5 172.7，代入式(24)求得三個(gè)振型列陣為：

圖2 系統(tǒng)振型圖

其振型見(jiàn)圖2。由圖2看出，系統(tǒng)以頻率ω1振動(dòng)時(shí)，軟夾層梁三層總向同一方向運(yùn)動(dòng)，與經(jīng)典夾層梁結(jié)論相同；系統(tǒng)以頻率ω2振動(dòng)時(shí)，夾心阻尼層中面相對(duì)于上下約束層不動(dòng)，上下約束層向相反方向運(yùn)動(dòng)， 軟夾層沿厚度方向處于拉伸或壓縮狀態(tài)；系統(tǒng)以頻率ω3振動(dòng)時(shí)，上下約束層向同一方向運(yùn)動(dòng)，而軟夾層向相反方向運(yùn)動(dòng)，軟夾層沿厚度方向一部分處于壓縮，另一部分處于拉伸狀態(tài)。用經(jīng)典夾層梁模型，求不出上述第二、三個(gè)振型及頻率。

3.1.2 軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁模態(tài)函數(shù)

圖3為軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁模態(tài)函數(shù)圖。由圖3(a)知，系統(tǒng)以第一階模態(tài)振動(dòng)時(shí)，軟夾層梁三層向同一方向運(yùn)動(dòng)，且位移相同，三層之間無(wú)相對(duì)變形，軟夾層處于無(wú)拉壓狀態(tài)，與傳統(tǒng)夾層梁理論結(jié)果一致；由圖3(b)知，系統(tǒng)以第二階模態(tài)振動(dòng)時(shí)，軟夾層中面沿厚度方向不動(dòng)，上下約束層向相反方向運(yùn)動(dòng)，軟夾層處于拉壓變形狀態(tài)；由圖3(c)知，系統(tǒng)以第三階模態(tài)振動(dòng)時(shí)，上下約束層向同一方向運(yùn)動(dòng)，軟夾層往相反方向運(yùn)動(dòng)，軟夾層在中面兩側(cè)沿厚度方向分別處于拉伸、壓縮狀態(tài)，與振型分析結(jié)論相同。

3.1.3 軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁固有頻率

圖4為軟夾層梁頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化規(guī)律，圖5為軟夾層梁阻尼隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化規(guī)律。由圖4看出，隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的增加，軟夾層梁固有頻率逐漸減小至零，實(shí)部ξ為零。軸向運(yùn)動(dòng)速度增加到216.43 m/s時(shí)，ω1為零，實(shí)部分為正負(fù)兩分支，軟夾層梁發(fā)散失穩(wěn)。圖6為可壓縮、不可壓縮的夾層梁一階頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度變化情況。由圖6看出，軟夾層梁以頻率ω1振動(dòng)與夾心層不可壓縮梁基本一致。

圖3 系統(tǒng)模態(tài)函數(shù)

3.2 軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁自由振動(dòng)響應(yīng)

由式(21)所求不同軸向運(yùn)動(dòng)速度時(shí)軟夾層梁中點(diǎn)響應(yīng)見(jiàn)圖7。軸向運(yùn)動(dòng)速度50 m/s、系統(tǒng)分別以頻率ω1，ω2，ω3振動(dòng)時(shí)，軟夾層梁中點(diǎn)響應(yīng)見(jiàn)圖7(a)；軸向運(yùn)動(dòng)速度200 m/s、系統(tǒng)分別以頻率ω1，ω2，ω3振動(dòng)時(shí)，軟夾層梁中點(diǎn)響應(yīng)見(jiàn)圖7(b)；自由振動(dòng)響應(yīng)所取初始位移均為2 mm，初始速度均為0 m/s。由圖7(a)、(b)第一圖看出，夾層梁三層向同一方向運(yùn)動(dòng)，位移相同，軟夾層處于無(wú)拉壓狀態(tài)；由7(a)、(b)第二圖看出，軟夾層中面不動(dòng)，上下約束層向相反方向運(yùn)動(dòng)，軟夾層處于拉(或壓)狀態(tài)；由7(a)、(b)第三圖看出，上下約束層向同一方向運(yùn)動(dòng)，中間軟夾層向反方向運(yùn)動(dòng)，軟夾層沿厚度方向一部分處于拉伸狀態(tài)，一部分處于壓縮狀態(tài)，此結(jié)論與振型、模態(tài)函數(shù)反映的結(jié)果一致。由圖7亦可看出，隨軸向運(yùn)動(dòng)速度的增加，系統(tǒng)周期變大。由于阻尼較小，系統(tǒng)衰減較慢，系統(tǒng)可視為做周期運(yùn)動(dòng)。

圖4 系統(tǒng)頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度變化情況

圖7 不同軸向運(yùn)動(dòng)速度時(shí)軟夾層梁中點(diǎn)響應(yīng)圖

圖8 軟夾層厚度對(duì)系統(tǒng)臨界速度影響

3.3 夾心層厚度對(duì)振動(dòng)特性影響

表3為不同夾心層厚度時(shí)軟夾層梁與夾心層不可壓縮梁臨界速度值。由表3看出，隨夾心層厚度增加，系統(tǒng)頻率ω1減小，臨界速度減小，系統(tǒng)越易發(fā)生失穩(wěn)，與不可壓縮梁所得結(jié)果一致；隨夾心層厚度增加，系統(tǒng)頻率ω2，ω3增加，臨界速度增加。

圖8為夾心層厚度對(duì)系統(tǒng)臨界速度影響。由圖8(a)看出，hc對(duì)vcr1影響夾心層可壓縮梁與夾心層不可壓縮梁所得結(jié)果一致。夾心層厚度小于0.045 m時(shí)，vcr1隨夾心層厚度的增加而增加，系統(tǒng)不易發(fā)生失穩(wěn)；夾心層厚度大于0.045 m時(shí)，vcr1隨夾心層厚度的增加而減小，系統(tǒng)易發(fā)生失穩(wěn)。由此可見(jiàn)，梁總厚度一定、夾層梁夾心層厚度設(shè)計(jì)時(shí)，并非夾心層越厚穩(wěn)定性越好。理想的夾心層厚度為0.045 m。而夾心層不可壓縮梁不存在臨界速度vcr2，vcr3。

表3 不同夾心層厚度時(shí)軟夾層梁與夾心層不可壓縮梁臨界速度值

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁橫向振動(dòng)特性研究，獲得軟夾層本構(gòu)方程；基于Hamilton原理，獲得描述上、下約束層及軟夾層中面的偏微分方程組，并利用Galerkin模態(tài)截?cái)喾▽⑵滢D(zhuǎn)為常微分方程組，并進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)論如下：

(1) 軟夾層梁一階模態(tài)為上下約束層與夾層一同作橫向運(yùn)動(dòng)，上下約束層與夾層間無(wú)相對(duì)變形，與傳統(tǒng)夾層梁理論一致；軟夾層梁二階模態(tài)為上下約束層向兩相反方向運(yùn)動(dòng)，軟夾層中面相對(duì)上下約束層不動(dòng)，夾層處于上下拉伸或壓縮狀態(tài)；軟夾層梁三階模態(tài)為上下約束層向同方向運(yùn)動(dòng)，夾心層中面反方向運(yùn)動(dòng)，夾心層上下處于不同變形狀態(tài)(拉或壓)；

(2)隨軸向運(yùn)動(dòng)速度增加，軟夾層梁一階頻率逐漸減小至零，系統(tǒng)失穩(wěn)；

(3)隨夾心層厚度增加，第一臨界速度先增加后減小，系統(tǒng)由逐漸穩(wěn)定變?yōu)橹饾u不穩(wěn)定，可設(shè)計(jì)合適的夾心層厚度。

由軟夾層梁振型圖、模態(tài)函數(shù)圖、響應(yīng)圖、頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度變化圖及臨界速度隨軟夾層厚度變化圖表明，夾心層不可壓縮模型為本文所建軟夾層梁模型的特殊形式，軟夾層梁模型含不可壓縮夾層梁模型所不具有的性質(zhì)，故本文所提軟夾層理論為新的夾層梁理論。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]Frostig Y. Behavior of delaminated sandwich beams with transversely flexible core-high order theory[J]. Composite Structure, 1992, 20(1): 1-16.

[2]Li R, Frostig Y, Kardomateas G A. Nonlinear high-order response of imperfect sandwich beams with delaminated faces[J]. AIAA Journal, 2001, 39(9):1782-1787.

[3]Li R, Kardomateas G A, Simitses G J. Nonlinear response of a shallow sandwich shell with compressible core to blast loading[J]. Journal of Applied Mechanics, 2008, 75(11): 061023.1-061023.10.

[4]Chen L Q, Yang X D. Vibration and stability of an axially moving viscoelastic beam with hybrid supports[J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 2006, 25(6): 996-1008.

[5]Thurman A L, Mote C D. Free, periodic, non-linear oscillation of an axially moving strip[J]. Journal of Applied Mechanics, 1969, 36(1): 83-91.

[6]李 彪,唐有綺,丁 虎,等.軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性Timoshenko梁橫向非線性強(qiáng)受迫振動(dòng)[J].振動(dòng)與沖擊,2012, 31(13):142-146.

LI Biao, TANG You-qi, DING Hu, et al. Nonlinear vibrations of axially moving viscoelastic Timoshenko beams under strong external excitation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(13): 142-146.

[7]羅炳華,高躍飛,劉榮華,等.軸向運(yùn)動(dòng)梁受移動(dòng)載荷作用的橫向動(dòng)力響應(yīng)[J].振動(dòng)與沖擊,2011,30(12):59- 63.

LUO Bing-hua, GAO Yue-fei, LIU Rong-hua, et al. Lateral dynamic response of an axially moving beam under a moving load[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(12): 59-63.

[8]Lü H W, Li Y H, Liu Q K,et al. Analysis of transverse vibration of axially moving viscoelastic sandwich beam with time-dependent velocity[J]. Advanced Materials Research, 2011, 338: 487-490.

[9]李中華，李映輝．軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性?shī)A層板的振動(dòng)分析[J]．四川大學(xué)學(xué)報(bào)(工程科學(xué)版),2011,43(增2):147-151.

LI Zhong-hua, LI Ying-hui. Vibration analysis of axially moving viscoelastic sandwich plate[J]. Journal of Sichuan University (Engineering Science Edition), 2011, 43(S2):147-151.

[10]李中華，李映輝．軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性?shī)A層板的多模態(tài)耦合橫向振動(dòng)[J]．復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2012，29(3)：219-225.

LI Zhong-hua, LI Ying-hui.Muti-mode coupled transverse vibration of axially moving viscoelastic sandwich plate [J]. Acta Materiae Compositae Sinica, 2012, 29(3): 219-225.

[11]李映輝，李中華．超音速下粘彈性?shī)A層壁板顫振分析[J]．力學(xué)季刊，2012，33(3)：449-455.

LI Ying-hui,LI Zhong-hua. Flutter analysis of viscoelastic sandwich panel under supersonic speed[J]. Chinese Quarterly of Mechanics,2012, 33(3): 449-455.

附錄：

mij=d11g0ji,cij=e11g1ji,kij=q11g0ji+p11g2ji+r11g4ji,(i,j=1,2,…,k)

mij=d12g0ji,cij=e12g1ji,kij=q12g0ji+p12g2ji+r12g4ji,(i=1,2,…,k;j=k+1,k+2,…,k+m)

mij=d13g0ji,cij=e13g1ji,kij=q13g0ji+p13g2ji+r13g4ji,(i=1,2,…,k;j=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n)

mij=d21g0ji,cij=e21g1ji,kij=q21g0ji+p21g2ji+r21g4ji,(i=k+1,k+2,…,k+m；j=1,2,…,k)

mij=d22g0ji,cij=e22g1ji,kij=q22g0ji+p22g2ji+r22g4ji,(i=k+1,k+2,…,k+m；j=k+1,k+2,…,k+m)

mij=d23g0ji,cij=e23g1ji,kij=q23g0ji+p23g2ji+r23g4ji,(i=k+1,k+2,…,k+m；j=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n)

mij=d31g0ji,cij=e31g1ji,kij=q31g0ji+p31g2ji+r31g4ji,(i=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n；j=1,2,…,k)

mij=d32g0ji,cij=e32g1ji,kij=q32g0ji+p32g2ji+r32g4ji,(i=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n；j=k+1,k+2,…,k+m)

mij=d33g0ji,cij=e33g1ji,kij=q33g0ji+p33g2ji+r33g4ji,(i=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n；j=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n)

式中：