張 靜， 劉榮強(qiáng)， 郭宏偉， 鄧宗全

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150080)

可折展機(jī)構(gòu)以折疊比大、質(zhì)量輕、剛度大等優(yōu)點(diǎn)，在航天任務(wù)中得到廣泛應(yīng)用和發(fā)展，如大型展開天線[1-2]、太陽(yáng)帆和太空望遠(yuǎn)鏡的展開支撐結(jié)構(gòu)等[3-4]。為了滿足大折展比的需求，實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的順利展開和收攏，可折展機(jī)構(gòu)中含有大量鉸鏈。為了在降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量的同時(shí)保證結(jié)構(gòu)剛度，結(jié)構(gòu)中多使用張緊索代替桿件。鉸鏈非線性恢復(fù)力和索的拉壓非線性使可展開桁架具有很強(qiáng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，因此國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究較多，主要分為三個(gè)方面：基于力狀態(tài)映射和參數(shù)識(shí)別的方法對(duì)鉸鏈非線性特性進(jìn)行研究，得到鉸鏈非線性接觸碰撞特性和能量耗散特性[5-7]；將鉸鏈簡(jiǎn)化為彈簧、彈簧阻尼、間隙彈簧等模型，基于傳遞函數(shù)法、有限元法等，進(jìn)行空間可展結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真[8-9]；考慮索的預(yù)緊作用，分析不同的張拉形式對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響[10]。國(guó)內(nèi)主要是基于結(jié)構(gòu)中鉸鏈的連續(xù)化假設(shè)，通過應(yīng)力應(yīng)變和波導(dǎo)理論，對(duì)含鉸桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)計(jì)算[11-13]。

諧波平衡法在空間折展桁架的動(dòng)力學(xué)計(jì)算中應(yīng)用較少，但是在考慮間隙分段等非線性特性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究中得到發(fā)展：Bowden等[14-16]提出了將多自由度系統(tǒng)的非線性函數(shù)展開成描述函數(shù)表達(dá)式，利用諧波平衡方法對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析；Sarkar等[17-18]利用增量諧波平衡(IHB)法對(duì)無約束含鉸結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，得到非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。在國(guó)內(nèi)，劉延柱等[19]利用諧波線性化方法研究了單自由度間隙系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題，但尚未發(fā)現(xiàn)使用IHB法對(duì)懸臂支撐的含索鉸結(jié)構(gòu)研究的文獻(xiàn)。

由于可折展機(jī)構(gòu)在航天任務(wù)中，多進(jìn)行單點(diǎn)或多點(diǎn)支撐，因此，需要對(duì)有約束空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，又由于可折展桁架中多使用柔性索代替剛性結(jié)構(gòu)來滿足輕質(zhì)量和高剛度的需要，因此，為了更好掌握可折展結(jié)構(gòu)的非線性特性，需要對(duì)含索鉸的可折展桁架進(jìn)行深入的研究。本文建立了含索鉸的可折展機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，利用IHB法將非線性動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為代數(shù)方程組，通過迭代求解得到結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，以激振頻率為變化參數(shù)，研究了鉸鏈間隙、鉸鏈剛度、激振力和索對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)穩(wěn)定性的影響，為進(jìn)一步研究含索鉸可折展桁架的動(dòng)態(tài)特性、提高結(jié)構(gòu)性能提供了理論基礎(chǔ)。

1 含索鉸可折展桁架動(dòng)力學(xué)建模

1.1 含索鉸可折展桁架動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示為含索和鉸的可折展桁架，結(jié)構(gòu)中桿件參數(shù)：彈性模量為E；截面慣性矩為I；截面積為A；單元長(zhǎng)度為le；密度為ρ。為了滿足可折展的要求，鉸鏈中存在的間隙導(dǎo)致其呈現(xiàn)非線性接觸、碰撞、摩擦等非線性特性，同時(shí)，索具有剛度分段特性，因此，鉸鏈和索均為可折展桁架引入了很強(qiáng)的非線性特性。為了準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)鉸鏈和索引入的非線性特性，將鉸鏈簡(jiǎn)化為含有間隙e、剛度k和阻尼cj的單元，索則以集中力的形式作用于結(jié)構(gòu)，建立考慮索鉸非線性特性的可折展桁架的動(dòng)力學(xué)模型。

圖1 含索鉸可折展結(jié)構(gòu)

將鉸鏈和索產(chǎn)生的非線性力以集中力形式引入桁架結(jié)構(gòu)中，得到含索鉸結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

1.2 索鉸非線性函數(shù)

在含索鉸可展桁架結(jié)構(gòu)分析中，鉸鏈力和位移關(guān)系具有四種非線性特性[20-22]：① 鉸鏈間隙使非線性力出現(xiàn)分段特性；② 拉壓剛度不等特性；③ 鉸鏈接觸過程中接觸力與位移之間的非線性使其呈現(xiàn)三次彈簧特性；④ 鉸鏈部件間的摩擦和阻尼使其呈現(xiàn)回滯特性。四種特性對(duì)應(yīng)的四種非線性力fj表達(dá)式見表1。同時(shí)，索在拉壓過程中出現(xiàn)剛度消失的現(xiàn)象，根據(jù)圖1所示結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系及索的張緊和松弛特性，得到索的非線性力見表1。

表1 鉸鏈及索非線性力

表1中xj為鉸鏈部件間的相對(duì)位移；k1為鉸鏈特性2中的受拉剛度；k2為鉸鏈特性2中的受壓剛度；Ff為摩擦力；fi為索的預(yù)緊力；fc1，fc2為索1，索2的張緊力；fc為索的張緊力在豎直方向上的分量；kc為索剛度；H為索根部固定位置與桁架固定位置之間距離；Δlc1，Δlc2為索1，索2長(zhǎng)度的變化量；le為桿單元長(zhǎng)度；

1.3 動(dòng)力學(xué)方程無量綱化

(2)

G=Fj+Fc

(3)

又可以將G表示為G=[g1g2…gn]T。

2 采用IHB法求解含索鉸可折展桁架

2.1 增量諧波分析方法

設(shè)時(shí)間為τ=ωt，將位移向量X展開為有限傅里葉級(jí)數(shù)：

(4)

其中：An為位移向量的傅里葉展開系數(shù)，n=0,1…q。

將方程(3)代入動(dòng)力學(xué)方程(2)中，利用公式(4)對(duì)方程(2)中的位移、速度和加速度項(xiàng)進(jìn)行替換，則動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：

(5)

其中：

根據(jù)泰勒公式，對(duì)動(dòng)力學(xué)方程(5)進(jìn)行增量形式的展開：

(6)

應(yīng)用Galerkin方法，對(duì)動(dòng)力學(xué)方程(6)進(jìn)行線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)的分離，可以改寫為：

JLY+H-F+(JL+JN)ΔY+VΔP+WΔω=0

(7)

式中:Y，ΔY為位移向量的傅里葉展開系數(shù)和位移增量的傅里葉展開系數(shù)；H，V，W為分別表示非線性函數(shù)G的傅里葉展開系數(shù)，R對(duì)P和ω的導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的傅里葉展開系數(shù)；JL，JN為動(dòng)力學(xué)方程的線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)的雅克比矩陣，將JL和JN用分塊矩陣表示：

其中

其中 第一列

偶數(shù)列和奇數(shù)列分別為：

其中j，k=1,2…nf，nf為自由度數(shù)。

動(dòng)力學(xué)方程組(7)滿足正余弦項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)和為零，通過迭代進(jìn)行代數(shù)方程組的求解。系統(tǒng)自由度為nf，對(duì)各參數(shù)進(jìn)行q階的三角函數(shù)展開，則需滿足nf個(gè)動(dòng)力學(xué)方程，即nf+q×2×nf個(gè)代數(shù)方程，各矩陣維數(shù)見表2。

表2 各矩陣維數(shù)

2.2 驗(yàn)證方法

為了驗(yàn)證IHB法的正確性，需要通過數(shù)值方法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，由于非線性力是位移、速度和加速度的函數(shù)，很難直接進(jìn)行求解，因此，將鉸鏈和索引入的非線性力簡(jiǎn)化為集中力，將其與激振力疊加，利用Runge-Kutta方法進(jìn)行微分方程的求解，則將動(dòng)力學(xué)方程(2)改寫為：

(8)

3 含索鉸可展桁架動(dòng)力學(xué)特性分析

3.1 數(shù)值方法與IHB法對(duì)比

以圖1所示結(jié)構(gòu)為例，只考慮鉸鏈的分段非線性特性，參數(shù)設(shè)置見表3。

表3 結(jié)構(gòu)參數(shù)及激勵(lì)條件

IHB法中的傅里葉變換設(shè)置采樣點(diǎn)數(shù)m為32，采樣頻率fs為m/(2π)，通過迭代實(shí)現(xiàn)單個(gè)周期仿真。Runge-Kutta方法中設(shè)置迭代步長(zhǎng)為2×10-5，得到各自由度的響應(yīng)曲線。分別利用這兩種方法進(jìn)行無索和有索結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)仿真，結(jié)果如圖2所示。

由圖2(a)可以看到，Runge-Kutta方法計(jì)算得到穩(wěn)定的位移響應(yīng)曲線。如圖2(b-c)所示，兩種方法得到的無索和有索的位移響應(yīng)曲線吻合較好。

圖2 非線性結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)對(duì)比(ω=5ωn)

3.2 索對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響

通過計(jì)算強(qiáng)迫振動(dòng)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)來分析索對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，外部激勵(lì)參數(shù)見表3，提取位移幅值得到對(duì)應(yīng)的幅頻曲線，進(jìn)行不同方法下有索和無索結(jié)構(gòu)的固有頻率對(duì)比，如圖3所示。

圖3 非線性結(jié)構(gòu)的幅頻曲線

可以看到，當(dāng)結(jié)構(gòu)中含有索的預(yù)緊作用時(shí)，兩種算法得到的一階固有頻率分別由0.75提高到1和1.5，可知索可以提高結(jié)構(gòu)的固有頻率，兩種方法計(jì)算結(jié)果的差別主要由強(qiáng)非線性因素導(dǎo)致。

圖4 非線性結(jié)構(gòu)的幅頻曲線

由圖4可知，相同激振條件下，有索結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅度較無索結(jié)構(gòu)減小很多，固有頻率提高很大，因此，張力索可提高結(jié)構(gòu)固有頻率和剛度。IHB法和Rung-Kutta方法均可以作為分析非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的研究方法，由于IHB法不需要進(jìn)行微分方程的求解，因此，其在滿足一定精度的條件下，計(jì)算速度較數(shù)值分析方法更加快速。

4 含索鉸可展桁架動(dòng)力學(xué)響應(yīng)穩(wěn)定性分析

4.1 穩(wěn)定性分析方法

為了深入了解鉸鏈和索的非線性特性對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，需要通過雅克比矩陣或者系統(tǒng)相圖對(duì)其解的穩(wěn)定性進(jìn)行研究。由于動(dòng)力學(xué)方程(7)得到響應(yīng)傅里葉展開系數(shù)與其增量之間關(guān)系為：

ΔY=(JL+JN)-1[-JLY-(+H-F+VΔP+WΔω)]

(9)

方程(9)又可以簡(jiǎn)寫為：

ΔY=-(JL+JN)-1JLY+Δ

(10)

其中Δ=-(JL+JN)-1(+H-F+VΔP+WΔω)

因此，解的穩(wěn)定性可以通過非線性雅克比矩陣(JL+JN)-1JL來判斷。同時(shí)，輸出結(jié)構(gòu)中各自由度相圖也可以判斷響應(yīng)的穩(wěn)定性，以如圖1所示結(jié)構(gòu)為例，設(shè)鉸鏈具有間隙非線性特性，結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)見表3，研究不同參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)響應(yīng)穩(wěn)定性的影響。

4.2 參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)穩(wěn)定性影響

4.2.1 鉸鏈間隙對(duì)響應(yīng)穩(wěn)定性影響

鉸鏈側(cè)向間隙設(shè)置為0.1、0.01 m，分別進(jìn)行無量綱頻率ω=0.5，1，1.5激勵(lì)，諧波展開項(xiàng)為32，不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)穩(wěn)定性的影響如圖5所示。

由圖5可知，在鉸鏈間隙變化時(shí)，相同激振頻率下響應(yīng)的穩(wěn)定性有所變化，隨著鉸鏈間隙增大，不穩(wěn)定響應(yīng)對(duì)應(yīng)的激振頻率降低，其不穩(wěn)定響應(yīng)不會(huì)向相鄰激振頻率擴(kuò)展。

4.2.2 鉸鏈剛度對(duì)響應(yīng)穩(wěn)定性影響

取鉸鏈剛度k為0.15，0.6，無量綱頻率ω為0.75、1和1.25，相圖如圖6所示。

圖5 不同鉸鏈間隙和頻率下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的相軌跡

圖6 不同鉸鏈剛度和頻率下的相軌跡

由圖6及圖5(a-c)可知，在一定激勵(lì)條件下，當(dāng)鉸鏈剛度取較小值0.15時(shí)，結(jié)構(gòu)在ω=0.75～1.25范圍內(nèi)均有穩(wěn)定解；當(dāng)鉸鏈剛度由0.3增大到0.6時(shí)，不穩(wěn)定解均出現(xiàn)在ω=1，鉸鏈剛度較大情況下，結(jié)構(gòu)響應(yīng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

4.2.3 激振力幅值對(duì)響應(yīng)穩(wěn)定性影響

取無量綱激振力為0.2，得到不同激振力幅值下響應(yīng)相圖。

由圖7及圖5(a-c)可以看到，隨著激振力的增大，響應(yīng)不穩(wěn)定范圍增大，但對(duì)應(yīng)的頻率不變，在ω=0.5～1.5范圍內(nèi)，不穩(wěn)定響應(yīng)對(duì)應(yīng)的頻率達(dá)到1。

4.2.4 索對(duì)響應(yīng)穩(wěn)定性影響

在考慮索的張拉作用時(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)如圖8所示，由圖8及圖5(a-c)可知，含索結(jié)構(gòu)在較低頻率時(shí)響應(yīng)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，其對(duì)應(yīng)的頻率范圍擴(kuò)大。

5 結(jié) 論

(1) 考慮鉸和索的非線性特性，建立了含索鉸的可折展桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，利用增量諧波展開方法實(shí)現(xiàn)了含索鉸懸臂結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)求解，與數(shù)值方法對(duì)比，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性；

圖7 不同激振力和頻率下的相軌跡

圖8 有索結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性

(2) 通過對(duì)無索和含索結(jié)構(gòu)的分析及對(duì)比，可知含索結(jié)構(gòu)的固有頻率較無索結(jié)構(gòu)有明顯提高，振動(dòng)幅值明顯減小。因此索的添加提高了結(jié)構(gòu)剛度和改善了結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性；

(3) 利用非線性系統(tǒng)相圖進(jìn)行了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的穩(wěn)定性研究，以頻率為變量，得到各參數(shù)對(duì)響應(yīng)穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)激振力的提高、索的添加和鉸鏈剛度的提高均使結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定響應(yīng)對(duì)應(yīng)的頻率范圍擴(kuò)大，鉸鏈間隙的增大使不穩(wěn)定響應(yīng)對(duì)應(yīng)的頻率降低。

參 考 文 獻(xiàn)

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