張 俊， 劉先增

(安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

行星齒輪傳動的振動和噪聲是影響系統(tǒng)可靠性、壽命及操作環(huán)境的關(guān)鍵因素。圍繞該類傳動的動力學(xué)問題，學(xué)術(shù)界開展了大量研究，內(nèi)容涉及動力學(xué)建模、固有特性分析、動態(tài)響應(yīng)求解、振動噪聲抑制等多個方面[1]。這其中，動力學(xué)建模和分析是進(jìn)行后續(xù)動力性能研究及減振降噪的理論基礎(chǔ)。相比直齒行星傳動，斜齒行星傳動的結(jié)構(gòu)、受力更為復(fù)雜，其動力學(xué)建模和分析也更具挑戰(zhàn)性，故迄今為止針對斜齒行星傳動動力特性的研究較少[2-4]。

按建模方法和考慮因素的不同，大致可將行星傳動的動力學(xué)模型分為解析模型、有限元模型和多體模型三類。其中，解析模型因建模簡單、求解容易等優(yōu)點而被廣泛采用。Kahraman[2]建立了斜齒行星傳動的三維解析模型，并依托所建模型分析了行星輪嚙合相位等參數(shù)對輪系動力特性的影響。該解析模型中，各構(gòu)件均被視為具有6自由度的剛體，各剛體間的嚙合和支承簡化為具有集中效應(yīng)的彈簧阻尼單元。延續(xù)這一思路，Lin和Parker等通過建立計入構(gòu)件平移、扭轉(zhuǎn)運動的解析模型獲得了直齒行星傳動固有特性的解析表達(dá)式，并將系統(tǒng)的自由振動歸納為扭轉(zhuǎn)(rotational)、平移(translational)和行星輪(planet)三種模式[5]。采用類似解析模型，學(xué)者們進(jìn)一步研究了參數(shù)靈敏度[6]、模態(tài)躍遷[7]、參數(shù)穩(wěn)定性[8]、非均布行星輪系統(tǒng)[9]、復(fù)合行星輪系[10]及人字齒、錐齒行星輪系模態(tài)[11]等問題。

不同于解析模型將輪系視為具有集中效應(yīng)的彈簧質(zhì)量系，有限元模型可有效計入系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的影響。Kahraman等運用有限元法建立了行星輪系的準(zhǔn)靜態(tài)受力模型，分析了內(nèi)齒圈柔性對齒輪應(yīng)力和行星輪載荷分配的影響[12]。采用類似手段，該文作者又進(jìn)一步研究了內(nèi)齒圈柔性對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響[13]。文獻(xiàn)[12-13]的研究表明，構(gòu)件柔性有助于補償因齒輪和系桿制造安裝誤差引起的非均載效應(yīng)，且對系統(tǒng)動態(tài)特性具有重要影響。此外，文獻(xiàn)[14-16]也采用類似的有限元模型對行星輪系的動態(tài)特性進(jìn)行了研究，也得出了一些重要結(jié)論。

盡管有限元模型相較于解析模型具備更高的分析精度，但由于該類模型的建立和求解均較為費時，故不適用于需要反復(fù)迭代的初始設(shè)計階段。相比之下，介于解析模型和有限元模型之間的多體動力學(xué)模型既能很好地反映行星輪系的質(zhì)量集中特點，又能有效規(guī)避有限元模型的冗余繁雜，為行星輪系的動力學(xué)分析提供了新的解決方案。特別是隨著近年來一些商用軟件如Simpack、Virtual.lab、ADAMS、RecurDyn等的成功應(yīng)用，采用多體動力模型對行星輪系進(jìn)行動力學(xué)分析已成為行之有效的手段[17-19]。

有鑒于此，本文擬運用多體動力學(xué)方法，建立斜齒行星傳動的多體動力學(xué)模型，進(jìn)而依托所建模型對輪系進(jìn)行自由振動分析，并將分析結(jié)果與前人提出的解析模型的結(jié)果作對比，以驗證多體動力學(xué)模型的可靠性。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步開展斜齒行星輪系的動態(tài)響應(yīng)和參數(shù)影響分析，以期為后續(xù)的動態(tài)設(shè)計與性能優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 多體動力學(xué)建模

為方便建模并不失一般性，作如下假設(shè)：

(1) 忽略各齒輪體、系桿和箱體的柔性，將其按剛體處理；

(2) 計入各齒輪副的嚙合變形和各構(gòu)件的支承變形，以具有等效剛度的線性時變/不變彈簧代替；

(3) 各齒輪副的嚙合力始終作用在嚙合平面內(nèi)，并與理論接觸線垂直；

(4) 各嚙合輪齒間不存在脫齒和嚙入/嚙出沖擊；

(5) 不考慮原動機(jī)和負(fù)載的慣性；

(6) 各行星輪的質(zhì)量、慣量和平均嚙合剛度均相同。

基于上述假設(shè)，建立如圖1所示的多體動力學(xué)模型。

圖1 斜齒行星傳動多體動力學(xué)模型

圖中，除箱體按固定件處理，其余構(gòu)件均擁有6自由度。太陽輪和行星輪、行星輪和內(nèi)齒圈之間以線性時變彈簧聯(lián)接，彈簧剛度取為相應(yīng)齒輪副的嚙合剛度(詳見GB/T 3480—1997斜齒輪平均嚙合剛度的計算)。太陽輪、內(nèi)齒圈及系桿與箱體之間、行星輪與系桿之間的聯(lián)接均以6自由度襯套代替，襯套各方向數(shù)值的計算可參見文獻(xiàn)[20]。篇幅所限，上述各剛度數(shù)值的計算不再詳列。

圖2為斜齒行星傳動的機(jī)構(gòu)示意圖，為清晰計未示出系桿。定義全局坐標(biāo)系O-XYZ，其中原點O取為輪系的幾何中心，X軸取為水平向右，Y軸取為垂直向上，Z軸由右手定則確定。在該坐標(biāo)系下，各構(gòu)件的彈性位移以qi表示，且有qi=[xi,yi,zi,uxi,uyi,uzi]T(i=s,r,c,1,2,…,N)，下標(biāo)s、r、c、n(n=1,2,…,N)分別表示太陽輪、內(nèi)齒圈、系桿和第n個行星輪。各符號的含義可參見文獻(xiàn)[3]。

圖2 斜齒行星傳動嚙合關(guān)系示意圖

根據(jù)圖2所示的幾何關(guān)系，不難推導(dǎo)出內(nèi)、外嚙合副沿理論嚙合線的相對位移δsn、δrn。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中，ψsn=ψn-αs，ψrn=ψn+αr，ψn、αs、αr分別為第n個行星輪的位置角、外嚙合副嚙合角和內(nèi)嚙合副嚙合角。

由多體動力學(xué)理論，系統(tǒng)的動能可寫成如下形式

(7)

式中，mi為各構(gòu)件在全局坐標(biāo)系下的質(zhì)量。該式可進(jìn)一步寫成如下矩陣形式

(8)

同樣不難給出系統(tǒng)的勢能表達(dá)式

(9)

上式同樣可寫成矩陣形式如下

(10)

進(jìn)一步運用拉格朗日方程，可推導(dǎo)出系統(tǒng)的運動微分方程如下

(11)

式中，φ為系統(tǒng)的總體約束矩陣，F(xiàn)為系統(tǒng)外載荷列陣，φq為各構(gòu)件彈性變形的Jacobian矩陣，μ、Ω為介于1～10間的罰系數(shù)[21]。限于篇幅，略去上述各矩陣元素及標(biāo)量的具體推導(dǎo)過程。

2 動態(tài)特性仿真

不失一般性，以表1所示的參數(shù)為例進(jìn)行斜齒行星輪系的動態(tài)特性仿真。設(shè)系統(tǒng)的輸入構(gòu)件為太陽輪，輸出構(gòu)件為系桿，內(nèi)齒圈與機(jī)殼制為一體。

表1 斜齒行星傳動算例系統(tǒng)計算參數(shù)

2.1 自由振動分析

求解系統(tǒng)運動微分方程的特征值問題，即可獲知該類傳動的自由振動特性。取系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)如表1，行星輪數(shù)目分別取3、4、5時，可得系統(tǒng)各階固有頻率如表2所示。

根據(jù)系統(tǒng)特征值的重根數(shù)、中心構(gòu)件的振型坐標(biāo)以及各行星輪間振型坐標(biāo)的比例等特點，可將系統(tǒng)振型劃分為3類，即：①軸向平移—扭轉(zhuǎn)振動模式；②徑向平移—扭擺振動模式；③行星輪振動模式。各類振型的特點簡述如下：

(1) 軸向平移—扭轉(zhuǎn)振動模式： ①各中心構(gòu)件即太陽輪、系桿和內(nèi)齒圈只有軸向平移振動和繞z軸的扭轉(zhuǎn)振動，其他方向上的振動均為零；所有行星輪的振型相同。 ②有11個特征值與此模式對應(yīng)，且相應(yīng)的特征值均為單根； ③各階固有頻率受行星輪個數(shù)影響，其中除零頻外，1、2階固有頻率隨行星輪個數(shù)增加而單調(diào)遞減，其他階次固有頻率均隨行星輪個數(shù)增加而單調(diào)遞增。

(2) 徑向平移—扭擺振動模式： ①各中心構(gòu)件即太陽輪、系桿和內(nèi)齒圈只有徑向的平移振動和繞x、y軸徑向扭擺振動，其他方向上的振動均為零； ②有12個特征值與此模式相對應(yīng)，且相應(yīng)的特征值均為2重根； ③ 各階固有頻率同樣受行星輪個數(shù)影響，其中除第1階固有頻率隨行星輪個數(shù)的增加呈先增后減趨勢外，第4階固有頻率隨行星輪個數(shù)增加而單調(diào)遞減，其他階次固有頻率均隨行星輪個數(shù)增加而單調(diào)遞增。

(3) 行星輪振動模式： ①各中心構(gòu)件即太陽輪、系桿和內(nèi)齒圈的扭轉(zhuǎn)、平移運動均為零，且各行星輪的位移為第1個行星輪位移乘以一個系數(shù)；②有6個特征值與此模式相對應(yīng)，其中有5個只在行星輪個數(shù)N>3時出現(xiàn)，且重復(fù)率為N-3，另一個特征值在行星輪個數(shù)N=3時也存在，重復(fù)率為N-2。以上各特征值都不受行星輪個數(shù)影響。

表2 斜齒行星輪系固有頻率

為直觀計，圖3進(jìn)一步給出了上述3種振動模式的振型示意圖。

圖3 斜齒行星傳動振動模式

將表2的仿真結(jié)果與采用文獻(xiàn)[2-3]的集中參數(shù)模型對比，可以發(fā)現(xiàn)在同等條件下，兩類模型所得的各階固有頻率和振型完全一致，表明本文所建模型的正確性，進(jìn)而可依托該模型預(yù)估斜齒行星輪系的動態(tài)特性。

2.2 穩(wěn)態(tài)動力學(xué)響應(yīng)

不妨以表1所示的3行星輪系統(tǒng)為例，采用上述多體動力學(xué)模型分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)動力學(xué)響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)速恒為1 500 r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩恒為400 N·m。

首先考察無誤差情況下，系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力。圖4和5分別示出了行星輪系各外、內(nèi)嚙合力及其對應(yīng)的頻譜。

圖4 無誤差情況下輪系外嚙合動態(tài)載荷

圖5 無誤差情況下輪系內(nèi)嚙合動態(tài)載荷

由圖4、圖5可知，太陽輪、內(nèi)齒圈與3個行星輪的動態(tài)嚙合力變化規(guī)律大致相同，只是在數(shù)值和相位上略有差別。一個嚙合周期內(nèi)，內(nèi)、外嚙合力的變化顯著，說明系統(tǒng)在嚙合過程中存在一定的沖擊振動。進(jìn)一步分析可知，上述動態(tài)嚙合力均圍繞831這一均值上下震蕩，而這一均值恰為均載條件下輪系靜態(tài)理論嚙合力。

而從嚙合力對應(yīng)的頻譜圖可知，在1 152 Hz處有一條幅值突出的譜線，它恰好對應(yīng)于系統(tǒng)的嚙頻。除此之外，其他幾條幅值較大的譜線正好對應(yīng)嚙頻的倍頻。此點說明嚙頻激勵是引起斜齒行星輪系的主要激勵源，這也與前人的研究結(jié)論相吻合[3-4]。

3 參數(shù)影響分析

斜齒行星輪系的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，設(shè)計參數(shù)多，使得該類傳動的動態(tài)設(shè)計和性能優(yōu)化較為困難。為此，采用靈敏度分析方法，考察系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)對斜齒行星輪系動態(tài)特性的影響，希冀為后續(xù)系統(tǒng)的性能改善提供一定的理論參考。篇幅所限，下文僅給出構(gòu)件支承剛度和行星輪周向誤差對輪系動態(tài)特性的影響規(guī)律。

3.1 構(gòu)件支承剛度

為方便分析，不妨定義一個嚙合周期內(nèi)各嚙合力的最大值與靜態(tài)均值的比例為載荷波動系數(shù)，并以符號χi表示。顯然，χi越大，表明輪系嚙合過程中的振動越強(qiáng)烈。

采用前述的多體動力學(xué)模型，進(jìn)一步分析各構(gòu)件支承剛度對載荷波動系數(shù)的影響。在進(jìn)行靈敏度分析時，僅改變待分析參數(shù)，而保持其他參數(shù)不變。

圖6 太陽輪支承剛度對載荷波動系數(shù)的影響

分析結(jié)果表明，各中心構(gòu)件的支承剛度對系統(tǒng)的均載特性影響顯著。隨著太陽輪、行星架、內(nèi)齒圈支承剛度的增加，行星系統(tǒng)的載荷波動系數(shù)變大，表明系統(tǒng)的均載特性變差，振動加劇。這其中，太陽輪支承剛度對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響最大，行星架次之，內(nèi)齒圈影響最小。由此可見，降低中心構(gòu)件的支承剛度有利于實現(xiàn)系統(tǒng)均載進(jìn)而抑制振動。正是基于這一判斷，在斜齒行星輪系的工程應(yīng)用中，可使太陽輪、行星架、內(nèi)齒圈其中之一浮動，或同時浮動其中的二者，以降低傳動系統(tǒng)嚙合過程中的振動。限于篇幅，下文僅給出太陽輪支承剛度對載荷波動系數(shù)的影響規(guī)律。

3.2 行星輪周向安裝誤差

再來分析行星輪安裝誤差對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。行星輪安裝誤差可分為徑向誤差和分度誤差。研究表明，與分度誤差相比，行星輪徑向誤差對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響很小[22]。故下文僅考慮行星輪分度誤差對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。為便于分析，不妨將行星輪分度誤差換算成與其等價的周向誤差來表征。以符號eci表示周向誤差，并將該誤差納入前述的多體動力學(xué)模型。通過求解含誤差的動力學(xué)模型，可獲知相關(guān)動力參數(shù)。篇幅所限，僅給出其中某一個行星輪(本例為行星輪2)含有35 μm的周向安裝誤差時(即ec2=35 μm)系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力及其頻譜圖，其結(jié)果如圖7、圖8所示。

圖7 輪系外嚙合動態(tài)載荷(ec2=35 μm)

表3 周向安裝誤差對嚙合力的影響(嚙合力單位N)

圖8 輪系內(nèi)嚙合動態(tài)載荷(ec2=35 μm)

進(jìn)一步分析可知含不同誤差工況下系統(tǒng)的動態(tài)特性。為方便比較，將各工況下的動態(tài)嚙合力列表處理，其結(jié)果如表3所示。

由上述分析結(jié)果可知，行星輪周向安裝誤差極大地影響斜齒行星輪系的動態(tài)特性。就本例而言，周向安裝誤差的引入，改變了輪系內(nèi)各嚙合副的動態(tài)嚙合力及各功率流的分配，使得含有誤差的行星輪所承擔(dān)的內(nèi)、外嚙合力均值變小，同時使得其他行星輪的內(nèi)、外嚙合力均值變大；由于周向安裝誤差使得各行星輪的嚙合力均值進(jìn)一步偏離了其靜態(tài)理論值，從而使得系統(tǒng)內(nèi)各嚙合力副的載荷波動系數(shù)增大，降低了系統(tǒng)的均載性能。進(jìn)一步的數(shù)值分析表明，隨著誤差量的增大，存在周向安裝誤差的行星輪所在的功率支路的內(nèi)、外嚙合力均值單調(diào)遞減，而其他功率支路的內(nèi)、外嚙合力均值單調(diào)遞增。不僅如此，行星輪周向安裝誤差還會影響內(nèi)、外嚙合副在嚙頻倍頻處的嚙合力。周向安裝誤差使各內(nèi)、外嚙合力在部分嚙頻倍頻處的幅值增加，而在部分嚙頻倍頻處的幅值減??；且隨著周向安裝誤差量的增大，各功率支路的內(nèi)、外嚙合力在嚙頻倍頻處的變化規(guī)律不盡相同。由此可見，斜齒行星輪系的動態(tài)特性受行星輪周向安裝誤差的影響顯著，在進(jìn)行輪系設(shè)計、制造和安裝時，必須嚴(yán)格控制這一誤差環(huán)節(jié)，以降低系統(tǒng)振動提示傳動的動態(tài)性能。

4 結(jié) 論

(1) 建立了計入多種影響因素的斜齒行星傳動的多體動力學(xué)模型，并據(jù)此分析了傳動系統(tǒng)的自由振動特性，其仿真結(jié)果與前人的集中參數(shù)模型所得結(jié)果吻合，表明所建多體動力學(xué)模型能正確揭示斜齒行星傳動的動態(tài)特性。

(2) 快速求解了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)動力學(xué)響應(yīng)，獲得了輪系各環(huán)節(jié)的動態(tài)載荷。仿真結(jié)果表明，無誤差情況下，輪系各嚙合副的動態(tài)載荷圍繞靜態(tài)理論嚙合力上下波動，且嚙頻激勵是引起系統(tǒng)振動的主要原因。

(3) 中心構(gòu)件支承剛度對斜齒行星輪系的動態(tài)特性影響明顯。隨著中心構(gòu)件支承剛度的增加，行星傳動的載荷波動系數(shù)單調(diào)遞增，系統(tǒng)動態(tài)特性變差。這其中，太陽輪支承剛度對系統(tǒng)動態(tài)性能影響最大，行星架次之，內(nèi)齒圈影響最小。

(4) 斜齒行星傳動的動態(tài)特性對行星輪周向安裝誤差較為敏感。行星輪周向安裝誤差不僅改變各功率支路嚙合力的大小和分配情況，還改變了各嚙合副在嚙頻倍頻處的幅值。

參 考 文 獻(xiàn)

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