武健, 劉新學(xué), 舒健生, 姚挺, 王漢坤

(1.第二炮兵工程大學(xué) 906教研室, 陜西 西安 710025;2.第二炮兵駐西安地區(qū)軍事代表室, 陜西 西安 710065;3.第二炮兵裝備部, 北京 100085)

0 引言

隨著空間軍事應(yīng)用逐步從信息保障向空間作戰(zhàn)的拓展,軌道機(jī)動(dòng)作戰(zhàn)成為一種新的作戰(zhàn)模式。軌道攔截作為軌道機(jī)動(dòng)的典型作戰(zhàn)模式就是對(duì)己方的攔截器施加沖量,使其變軌打擊敵方的空間目標(biāo)航天器,從而達(dá)到作戰(zhàn)目的[1]。在軌攔截器變軌前運(yùn)行在停泊軌道(駐留軌道),停泊軌道的變化使得在軌攔截器有效攔截區(qū)域的變化,導(dǎo)致覆蓋控制的空間目標(biāo)航天器不同。停泊軌道的優(yōu)化使在軌攔截器覆蓋盡量多的空間目標(biāo),可提高對(duì)敵威懾能力,具有一定的研究?jī)r(jià)值。

軌道轉(zhuǎn)移作為在軌攔截器停泊軌道優(yōu)化的基礎(chǔ),國(guó)內(nèi)外學(xué)者就其開展了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[2]提出了利用遺傳算法求解多脈沖最優(yōu)交會(huì)問題;雪丹等[3]就衛(wèi)星可達(dá)范圍進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)[4]建立了基于變步長(zhǎng)的二沖量攔截模型和小生境遺傳算法的多脈沖優(yōu)化模型;文獻(xiàn)[5]給出了變軌時(shí)刻給定的情況下,最小能量攔截軌道的解析計(jì)算模型。目前,理論成果多集中在軌道轉(zhuǎn)移、可達(dá)范圍研究等方面[6-7],對(duì)停泊軌道優(yōu)化研究開展較少。

脈沖軌道機(jī)動(dòng)在工程上易于實(shí)現(xiàn),是各種軌道機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)[2-3]。本文在假設(shè)攔截過程為單脈沖攔截的基礎(chǔ)上,建立了基于模矢法的單脈沖最小能量攔截模型;在單脈沖攔截優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上,針對(duì)軌道根數(shù)在連續(xù)空間中優(yōu)化及軌道根數(shù)中參數(shù)物理含義不盡相同的特點(diǎn),建立了基于正交粒子群優(yōu)化算法(Orthogonal Particle Swarm Optimization, OPSO)[8-10]的在軌攔截器停泊軌道優(yōu)化模型。

1 基于模矢法的單脈沖攔截優(yōu)化模型

首先假設(shè):(1)地球?yàn)榫鶆蚯蝮w,半徑Rc=6371 km;(2)僅考慮地球引力,忽略其他攝動(dòng)力的影響;(3)脈沖施加過程瞬間完成,忽略脈沖施加過程中在軌攔截器位置的變化;(4)在軌攔截器提供的脈沖幅值較小,可提供不超過Δvmax任意方向的脈沖。

根據(jù)Lambert定理,在軌攔截器和空間目標(biāo)航天器軌道根數(shù)已知的情況下,單脈沖攔截速度沖量可表示為變軌時(shí)間ts、攔截時(shí)間tf的函數(shù),單脈沖攔截優(yōu)化模型[11]為:

(1)

本文采用模矢法對(duì)單脈沖攔截模型進(jìn)行優(yōu)化求解。模矢法是一種直接法,易于計(jì)算機(jī)編程,具有加速移向最優(yōu)點(diǎn)的特性及較快的收斂性[12]?；谀Ｊ阜ǖ膯蚊}沖攔截優(yōu)化模型計(jì)算步驟為:

(1)給定初始基點(diǎn)B1=(ts1,tf1),以該點(diǎn)為基點(diǎn)進(jìn)行探索,設(shè)定步長(zhǎng)(Δ1,Δ2)=(Δts1,Δtf1);

(2)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值J(B1),通過式(2)確定臨時(shí)矢點(diǎn)T11:

T11=

(2)

對(duì)tf進(jìn)行類似攝動(dòng),由臨時(shí)矢點(diǎn)T11代替原基點(diǎn)B1。兩個(gè)變量完成攝動(dòng)后,得到臨時(shí)矢點(diǎn)T12并令B2=T12,由B1和B2得到第一個(gè)模矢。

(3)將第一個(gè)模矢延長(zhǎng)一倍,得到第二個(gè)模矢的初始臨時(shí)矢點(diǎn)T20=B1+2(B2-B1)。在T20附近進(jìn)行類似探索,建立臨時(shí)矢點(diǎn)T21和T22。以T2n為第三個(gè)基點(diǎn)B3,則B2和B3確立了第二個(gè)模矢。第三個(gè)模矢的初始臨時(shí)矢點(diǎn)T30=B2+2(B3-B2)。

(4)重復(fù)步驟(2)和(3)。對(duì)于第i個(gè)模矢,如果滿足J(Ti0)

由于單脈沖攔截計(jì)算較為復(fù)雜,為了防止迭代過程中陷入局部最優(yōu)解,采用分區(qū)搜索方法,分區(qū)搜索的方法可以減少陷入局部最優(yōu)解的概率。

2 基于OPSO的停泊軌道優(yōu)化

2.1 問題描述及指標(biāo)確定

在軌攔截器停泊軌道優(yōu)化過程為通過對(duì)軌道根數(shù)的迭代搜索,使研究的指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。本文考慮覆蓋目標(biāo)數(shù)和攔截總能量?jī)蓚€(gè)指標(biāo)。

覆蓋目標(biāo)數(shù)越多,則對(duì)敵威懾越大。假定有K個(gè)空間目標(biāo)航天器集合S={s1,s2,…,sK},則以覆蓋目標(biāo)數(shù)為指標(biāo)的停泊軌道優(yōu)化模型數(shù)學(xué)描述為:

(3)

式中,xi為空間目標(biāo)航天器si是否被覆蓋的標(biāo)識(shí)符;Δvoi由基于模矢法的單脈沖攔截優(yōu)化模型求解。

假定覆蓋的空間目標(biāo)航天器集合為S′={s1,s2,…,sK′}(K′為覆蓋的目標(biāo)數(shù)),在此基礎(chǔ)上通過對(duì)停泊軌道再調(diào)整,使在軌攔截器攔截所有覆蓋目標(biāo)所需的總能量最小。能量越小則在軌攔截器的軌道保持能力越強(qiáng),更長(zhǎng)時(shí)間保持在停泊軌道。以攔截所需總能量為指標(biāo)的停泊軌道優(yōu)化模型數(shù)學(xué)描述為:

(4)

式中,sum為求和函數(shù)。

2.2 基于OPSO的停泊軌道優(yōu)化

粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO)原理簡(jiǎn)單、所需參數(shù)較少,適合求解連續(xù)解空間中的尋優(yōu)問題。PSO在進(jìn)化初期收斂快,容易陷入局部最優(yōu)解;后期收斂慢,收斂精度低。若加速系數(shù)或最大速度參數(shù)設(shè)置過大,容易錯(cuò)過最優(yōu)解。在軌攔截器停泊軌道優(yōu)化的基礎(chǔ)模型為基于模矢法的迭代算法,對(duì)算法的計(jì)算速度有更高要求。因此,本文將正交試驗(yàn)的思想加入PSO提高算法速度,即正交粒子群優(yōu)化算法(OPSO)。

OPSO是基于種群的迭代算法,種群初始解對(duì)算法有直接影響。PSO的初始種群在解空間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生;OPSO利用正交試驗(yàn)表產(chǎn)生初始種群,使初始解分布更均勻,每代迭代完成后,對(duì)全局最優(yōu)解加入正交搜索機(jī)制,提高算法效率。基于OPSO的停泊軌道優(yōu)化涉及粒子構(gòu)造、正交種群產(chǎn)生、適應(yīng)度計(jì)算、正交搜索及速度和位置更新等5個(gè)問題。

(1)粒子構(gòu)造。本文采用實(shí)數(shù)編碼方式,每個(gè)粒子對(duì)應(yīng)一組6維向量(軌道根數(shù)),記為oi=(ai,ei,Ωi,ii,ωi,Mi)。

(2)正交種群的產(chǎn)生。初始化過程中希望個(gè)體盡可能地均勻分散在整個(gè)可行解空間上,使得算法能夠在可行解空間上進(jìn)行均勻搜索。將每一維變量作為一個(gè)因素,根據(jù)可行域的大小、維數(shù)以及要求精度選擇合適的正交表生成初始種群。微粒oi的編碼為6維向量,則每個(gè)微粒有6個(gè)因子。將連續(xù)因子平均離散化為Qi個(gè)水平,則初始種群利用正交表LM(QN)產(chǎn)生M個(gè)粒子[13]。

(3)粒子適應(yīng)度計(jì)算。將覆蓋目標(biāo)數(shù)N及覆蓋目標(biāo)中攔截剩余能量作為粒子oi的適應(yīng)度,即:

fit(oi)={N,sum(Δvi1,Δvi2,…,Δvin)} (5)

(4)正交搜索。以種群最優(yōu)解opto=(ag,eg,Ωg,ig,ωg,Mg)為中心,給定opto搜索鄰域空間[Lopto,Uopto]。將上下限作為6維向量的兩個(gè)水平,利用正交表LM(26)在鄰域空間進(jìn)行搜索,更新opto。

(5)粒子的速度和位置更新。由式(3)和式(4)可知,粒子適應(yīng)度為有優(yōu)先度的雙目標(biāo)優(yōu)化問題,因此非劣解按式(6)規(guī)則產(chǎn)生:

由粒子i迭代過程最優(yōu)解optoi和種群全局最優(yōu)解opto得到粒子的速度和位置更新如下:

(7)

式中,ω為慣性權(quán)重系數(shù);c1,c2為加速系數(shù);r1,r2為[0,1]范圍內(nèi)變化的隨機(jī)數(shù);j為迭代次數(shù)。

綜上所述,基于OPSO的在軌攔截器停泊軌道優(yōu)化步驟為:

(1)利用空間目標(biāo)航天器信息確定在軌攔截器軌道根數(shù)的大致變化范圍;

(2)根據(jù)在軌攔截器軌道根數(shù)的大致變化范圍及種群粒子個(gè)數(shù),選擇相應(yīng)的正交表產(chǎn)生初始化微粒群,對(duì)每個(gè)微粒產(chǎn)生一個(gè)初始速度,并計(jì)算其適應(yīng)度;

(3)滿足終止條件即結(jié)束迭代,否則轉(zhuǎn)入步驟 (4);

(4)計(jì)算粒子自身最優(yōu)解pbi和種群最優(yōu)解pg;

(5)以種群最優(yōu)解為中心進(jìn)行正交搜索,計(jì)算適應(yīng)度,選出其中最優(yōu)解替代pg;

(6)更新粒子的速度和位置,返回步驟(3)。

3 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 試驗(yàn)1

表1基于模矢法的單脈沖攔截優(yōu)化模型計(jì)算結(jié)果與理論值基本吻合,且運(yùn)算次數(shù)大大降低,說明模矢法能夠快速有效的解決單脈沖攔截優(yōu)化問題。

表1 基于模矢法的單脈沖攔截仿真結(jié)果Table 1 Simulation results of single-pulse interceptionbased on pattern search

圖1 攔截過程Fig.1 Interception process

3.2 試驗(yàn)2

本文采用STK構(gòu)造10個(gè)空間目標(biāo)航天器T-1～ T-10,軌道數(shù)據(jù)如表2所示。設(shè)在軌攔截器提供的最大速度沖量Δvmax=0.5 km·s-1。利用L27(36)正交表產(chǎn)生種群數(shù)為27的初始種群[13],其中6個(gè)因子的3個(gè)水平如表3所示。OPSO參數(shù)設(shè)置為:c1=c2=1,ω=1,最大迭代次數(shù)N=50,終止條件為最大代數(shù)或5代優(yōu)化指標(biāo)不變。采用OPSO對(duì)在軌攔截器的停泊軌道進(jìn)行優(yōu)化,得到優(yōu)化軌道(a,e,Ω,i,ω,M)=(11 814 km, 0.387, 32.72°, 33.8°, 55.4°, 188.27°),優(yōu)化指標(biāo)為(6, 2.351 3)。仿真結(jié)果如表4、圖2和圖3所示。

表2 空間目標(biāo)航天器軌道數(shù)據(jù)Table 2 Orbit data of space targets

表3 軌道根數(shù)的3個(gè)水平Table 3 Three levels of orbit element

表4 單目標(biāo)攔截仿真結(jié)果Table 4 Simulation results of single-target interception

圖2 在軌攔截器軌道優(yōu)化Fig.2 Orbit optimization

圖3 優(yōu)化指標(biāo)迭代曲線Fig.3 Index optimization iterative curve

從表4、圖2、圖3的仿真結(jié)果可以看出,在軌攔截器駐留在優(yōu)化軌道,可以覆蓋仿真中設(shè)計(jì)空間目標(biāo)航天器中的6個(gè)(T-1,T-3,T-4,T-6,T-8,T-10),有效地提高了在軌攔截器的威懾效能。

從圖3的仿真結(jié)果可以看出,正交粒子群算法在迭代10次后收斂,而基本粒子群算法迭代了20次后收斂。仿真結(jié)果表明,正交粒子群算法較基本粒子群算法有更快的收斂速度,更適合求解在軌攔截器停泊軌道優(yōu)化這類算法復(fù)雜問題。

4 結(jié)束語(yǔ)

開展在軌攔截器停泊軌道的優(yōu)化研究對(duì)于最大程度地發(fā)揮其威懾性和作戰(zhàn)效能具有一定意義。本文在分析在軌攔截器停泊軌道優(yōu)化問題特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,建立了基于模矢法的單脈沖攔截優(yōu)化算法。該算法運(yùn)算速度較快,為停泊軌道的優(yōu)化提供了基礎(chǔ)。同時(shí),為了加快算法收斂速度,將正交試驗(yàn)思想加入粒子群算法中,建立了基于正交粒子群算法的停泊軌道優(yōu)化模型,并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證,仿真結(jié)果驗(yàn)證了文中模型的有效性。文中模型能夠?yàn)槲磥砜臻g作戰(zhàn)中在軌攔截器的部署提供技術(shù)支撐,具有一定的理論意義和軍事價(jià)值。

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