丁韻 王新春 葉青 王昆林 司民真

摘要：使用楊氏模量測(cè)試儀及讀數(shù)顯微鏡，應(yīng)用胡克定律，從理論上推導(dǎo)出系統(tǒng)的附加質(zhì)量與系統(tǒng)各長(zhǎng)度和重力加速度的綜合量具有線性關(guān)系。采用彎梁法，逐步增減負(fù)重砝碼的測(cè)量方案測(cè)量數(shù)據(jù)，引入SPSS的線性估計(jì)功能分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到系統(tǒng)的附加質(zhì)量與系統(tǒng)各長(zhǎng)度和重力加速度的綜合量的定標(biāo)曲線，并驗(yàn)證出系統(tǒng)附加質(zhì)量與系統(tǒng)綜合量之間存在的線性關(guān)系，由此標(biāo)定出鐵片的楊氏模量，用置信概率為95%的不確定度，對(duì)測(cè)量的數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析與評(píng)估，最終得到更為可靠合理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

關(guān)鍵詞：彎曲法；讀數(shù)顯微鏡；SPSS線性估計(jì)；不確定度分析；楊氏模量

中圖分類(lèi)號(hào)：04-33 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）33-0126-02

楊氏模量是表征固體材料性質(zhì)的重要物理量[1]，是工程技術(shù)中機(jī)械構(gòu)件選材時(shí)的重要參數(shù)[2]，也是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容之一。楊氏模量的測(cè)定是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)[3]。在傳統(tǒng)的彎梁法[4]基礎(chǔ)之上，逐步形成了一些新的實(shí)驗(yàn)方法[5-7]，但這些新的實(shí)驗(yàn)方法普遍存在著實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)相對(duì)復(fù)雜、實(shí)驗(yàn)成本較高的情況，或者易受外界環(huán)境（溫度、濕度、電磁）的影響。因此，高等學(xué)校實(shí)驗(yàn)教材中普遍采用的還是傳統(tǒng)的彎梁法的實(shí)驗(yàn)方法，但由于傳統(tǒng)的彎梁法存在著處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法較為陳舊，實(shí)驗(yàn)結(jié)果使用的是不確定的置信概率較低的現(xiàn)象（68.3%的正態(tài)分布）。為此，引入SPSS[8]曲線估計(jì)功能去分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，試圖減小人為因素和儀器因素帶來(lái)的偶然誤差和系統(tǒng)誤差，提高對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析的精度，用置信率為95%的不確定度（七分布）對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，可得到更為合理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

一、實(shí)驗(yàn)儀器

1.實(shí)驗(yàn)裝置（見(jiàn)圖1）。

2.實(shí)驗(yàn)安裝及調(diào)試。通過(guò)底板三個(gè)角上的水平調(diào)節(jié)螺絲，用水準(zhǔn)器觀察，使底板調(diào)整到水平位置。將橫梁穿入砝碼銅刀口內(nèi)，并安放在兩立柱的正中央位置，使砝碼盤(pán)下的限位桿垂直插入限位器內(nèi)，防止砝碼盤(pán)的過(guò)度擺動(dòng)。將讀數(shù)顯微鏡安裝在顯微鏡架上，調(diào)節(jié)讀數(shù)顯微鏡目鏡，直到眼睛觀察鏡內(nèi)的十字線和數(shù)字清晰，同時(shí)觀察能否通過(guò)讀數(shù)顯微鏡清楚地看到銅刀口上的基線，再轉(zhuǎn)動(dòng)讀數(shù)旋鈕使刀口的基線與讀數(shù)顯微鏡內(nèi)十字刻線的水平線吻合。調(diào)節(jié)好儀器就可以進(jìn)行測(cè)量，但要注意在加減砝碼時(shí)，砝碼輕拿輕放，盡量不要碰到實(shí)驗(yàn)裝置。

二、實(shí)驗(yàn)原理

測(cè)量原理。測(cè)量原理如圖2所示，將橫梁厚度為x，橫梁寬度為y的銅片放在相距為l的二刀刃上，在梁上l/2處系上質(zhì)量為m的砝碼，使梁彎曲。掛砝碼處由于外力作用而下降的位移變化量為ΔZ。在梁受力彎曲達(dá)到平衡時(shí)，根據(jù)胡克定律可推演鐵片的楊氏模量，由下式[9]決定：E=■（1），考察（1）式，設(shè)各位移與重力加速度的綜合量δ=■，則（1）式可簡(jiǎn)化為m=Eδ （2）。

實(shí)驗(yàn)中，用物理天平測(cè)定mi。用米尺測(cè)得l，螺旋測(cè)微器測(cè)得x、y，用讀數(shù)顯微鏡讀取Zi，從而可得系統(tǒng)各長(zhǎng)度與重力加速度的綜合量（δi）。應(yīng)用SPSS的曲線估計(jì)功能，試圖去分析系統(tǒng)的附加質(zhì)量（mi）與系統(tǒng)各長(zhǎng)度與重力加速度的綜合量（δi）之間的線性相關(guān)性，由此標(biāo)定出鐵片的楊氏模量，并對(duì)其不確定度進(jìn)行估算。

三、對(duì)楊氏模量的不確定度分析[10]

若直接測(cè)量為a，其不確定度可由A、B類(lèi)進(jìn)行評(píng)定。測(cè)量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：u■=■ （3）

對(duì)于A類(lèi)分量，實(shí)驗(yàn)中測(cè)量次數(shù)為7次，此時(shí)測(cè)量結(jié)果服從t分布，tp為與一定置信概率相聯(lián)系的置信因子，當(dāng)p=0.95時(shí)，tp=2.45，則：u■=2.34u■ （4），（4）式中的a可以分別表示l、x、y、ΔZ。

對(duì)于B類(lèi)分量，若其誤差極限為Δ，kp為一定置信概率下相應(yīng)分布的置信因子，Δ為儀器精度，C為相應(yīng)分布的置信系數(shù)，若儀器誤差服從均勻分布C=■，當(dāng)p=0.95時(shí)，kp=1.96，那么u■=1.96■ （5），（5）式中的a可以分別表示l、x、y、ΔZ。

直接測(cè)量為a的合成不確定度為：

u■=■ （6）

根據(jù)（2）式u■=■，可得E的相對(duì)不確定度為：

u■=■■ （7）

四、測(cè)量數(shù)據(jù)及線性分析

1.測(cè)量數(shù)據(jù)及其結(jié)果。

2.用SPSS分析mi-δi定標(biāo)曲線。

將表3實(shí)驗(yàn)結(jié)果輸入SPSS軟件中，應(yīng)用SPSS中的線性估計(jì)功能，以系統(tǒng)附加砝碼質(zhì)量（mi）為因變量，以各長(zhǎng)度和重力加速度的綜合量（δi）為自變量，可得定標(biāo)曲線方程為：

■ （8）

所得其定標(biāo)曲線如圖3所示。

五、對(duì)楊氏模量不確定度的估算

根據(jù)圖3的m-δ定標(biāo)曲線，在直線上適當(dāng)?shù)奈恢萌应?、m1，δ2、m2，合理估算E的不確定度。由（8）式可得：

u■=■ （9）

在圖3上δ1、m1，δ2、m2取值可得：E=■ （10）

由上式可得：u■=■ （11）

由圖3取樣點(diǎn)結(jié)合（9）、（10）、（11）可得楊氏模量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)下表。

從測(cè)量原理所得的（2）式可知，只要測(cè)量條件允許，理論上，系統(tǒng)附加砝碼質(zhì)量（m）與系統(tǒng)各長(zhǎng)度和重力加速度的復(fù)合量（δ）應(yīng)該具有線性關(guān)系，若能從實(shí)驗(yàn)的角度研究出mi-δi的關(guān)系曲線，必然可以證明系統(tǒng)附加砝碼（m）與系統(tǒng)各長(zhǎng)度和重力加速度的復(fù)合量（δ）存在線性關(guān)系，從而可以較為直觀地標(biāo)定出鐵片的楊氏模量，這在彎梁法的測(cè)量原理上具有一定的創(chuàng)新性。

由表3實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用SPSS的曲線估計(jì)功能得定標(biāo)方程（8）式及其圖3的m-δ定標(biāo)曲線圖。驗(yàn)證了系統(tǒng)附加砝碼（m）系統(tǒng)各長(zhǎng)度與負(fù)重的復(fù)合量（δ）具有線性關(guān)系，實(shí)驗(yàn)所得定標(biāo)方程（8）式及圖3實(shí)驗(yàn)曲線與理論分析的（2）式具有一致性。

由表3數(shù)據(jù)，應(yīng)用SPSS線性估計(jì)功能得到定標(biāo)方程（8）式，得到鐵片的楊氏模量為1.88×1011N·m-2，對(duì)比通過(guò)查看手冊(cè)[11]所得鐵片楊氏模量E=1.85×1011N·m-2，二者具有較好吻合度，表明所擬合的m-δ直線是客觀的。

為了能較好的實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)線性分析的合理性。應(yīng)保證銅片盡量平直，實(shí)驗(yàn)選擇最小本底為掛鉤砝碼10kg，負(fù)重砝碼（mi）以每組20kg為標(biāo)準(zhǔn)遞增（或遞減），所對(duì)應(yīng)的豎直方向上的位移Zi從0.658mm變化到2.054mm，可以推算出位移Zi的變化量ΔZ從0.202mm變化到1.396mm。由圖3可看出表2測(cè)量的數(shù)據(jù)可靠性較高，從而使得測(cè)量結(jié)果、實(shí)驗(yàn)結(jié)果更為合理。

查手冊(cè)的鋼絲的楊氏模量為1.87×1011N·m-2，對(duì)照表4所得鐵片楊氏模量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為1.88×1011N·m-2，二者吻合度較高。尤其查看表4中楊氏模量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由該實(shí)驗(yàn)方案所得楊氏模量的實(shí)驗(yàn)值只在千分位上可疑，而以往采用的實(shí)驗(yàn)方案所得楊氏模量的實(shí)驗(yàn)值一般為十分位或百分位上可疑。表明應(yīng)用SPSS的曲線分析估計(jì)標(biāo)定的楊氏模量，是可以顯著提高測(cè)量數(shù)據(jù)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析精度，且數(shù)據(jù)的處理過(guò)程及結(jié)果較為直觀有效。因此，該實(shí)驗(yàn)方案具有一定的推廣價(jià)值。

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