何鴻猷

摘 要：設(shè)p為不含2、5的質(zhì)數(shù)或合數(shù)，1/p，j=n，p不能表示成6r±1的是合數(shù)，循環(huán)節(jié)位數(shù)不能整除p-1的是合數(shù)。p為合數(shù)，ab=p，（a-1）/n=c，（b-1）/n=d，則（p-1）/n=ncd+c+d，能整除。商小于39的除9、15、33是合數(shù)外都是質(zhì)數(shù)，10000以內(nèi)1228個(gè)質(zhì)數(shù)中，商小于39的有1196個(gè)。

關(guān)鍵詞：質(zhì)數(shù)；合數(shù)；循環(huán)節(jié)位數(shù)；同循合數(shù)

中圖分類號：G640 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）16-177-03

自然數(shù)1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，是一個(gè)特殊的數(shù)。大于1位的正整數(shù)如果因數(shù)只有1和其自身，這個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)。如果因數(shù)有三個(gè)或以上的，這個(gè)數(shù)是合數(shù)。有些合數(shù)從尾數(shù)就能觀察出來，除2、5外，凡尾數(shù)是0、5和偶數(shù)的都是合數(shù)。

質(zhì)數(shù)除2、3外，都可以表示成6r+1或6r-1，反之，不能表示成6r+1或6r-1的，都是合數(shù)。這樣的合數(shù)尾數(shù)凡是1、3、7、9的，都是3 的倍數(shù)。

6r±1數(shù)相互的積仍是6r±1的數(shù)。這樣的合數(shù)如何識別它呢？尾數(shù)是5的都是合數(shù)，其它的，方法是：（1）奇數(shù)減1，偶數(shù)能表示為ab+a+b的是合數(shù)（ab≠0），否則是質(zhì)數(shù)。也就是：設(shè)u為奇數(shù)，以u2為首項(xiàng)，以2u為公差，數(shù)列的各項(xiàng)均為合數(shù)。（2）設(shè)p 為分母，求出1/p的循環(huán)節(jié)位數(shù)，若位數(shù)是3的倍數(shù)，但p是6r-1數(shù)，則p是合數(shù)；若位數(shù)是5的倍數(shù)，但尾數(shù)不是1，則p是合數(shù)（循環(huán)節(jié)位數(shù)是3的倍數(shù)，質(zhì)數(shù)都是6r+1數(shù)；循環(huán)節(jié)位數(shù)是5的倍數(shù)，質(zhì)數(shù)的尾數(shù)都是1）。（3）6的倍數(shù)能表示成6nr+n+r或6nr-n-r的，再乘以6加1是合數(shù)，否則是質(zhì)數(shù)。6的倍數(shù)能表示成6nr+n-r或6nr-n+r的，再乘以6減1是合數(shù)，否則是質(zhì)數(shù)。（4）凡尾數(shù)是4或9的，乘以6加1是合數(shù)。凡尾數(shù)是1或6的，乘以6減1是合數(shù)。6的倍數(shù)是方數(shù)的，再乘以6減1是合數(shù)?；蛟唬綌?shù)乘以36減1是合數(shù)。如方數(shù)的尾數(shù)是4或9的，乘以36±1都是合數(shù)。（5）（設(shè)p為除2、5以外所有質(zhì)數(shù)與合數(shù)，設(shè)n為循環(huán)節(jié)位數(shù)，設(shè)j代表循環(huán)節(jié)位數(shù)5個(gè)字。以下同）質(zhì)數(shù)的j=n都能整除p-1，凡j=n不能整除p-1的都是合數(shù)，反之則不成立。因?yàn)?，同循合?shù)和部分同循合數(shù)減1，j=n均能整除p-1，就是：ab=p，（a≠b） 1/p， j=n， 1/a ， j=n1， 1/b， j=n2若n1和n2的最小公倍數(shù)等于n，（a-1）/n=c，（b-1）/n=d，則（p-1）/n=ncd+c+d，能整除。如：41×11=451，1/451=0.0（·）022172949（·），j=10位，1/41，j=5，1/11，j=2位，2和5的最小公倍數(shù)是10，（11-1）/10=1，（41-1）/10=4， 所以（451-1）/10=45，（10×4×1+4+1=45），識別這一類合數(shù)，可以求出它們的j=n后，再去從與j=n相同的全1數(shù)中，求出與其j=n相同的質(zhì)數(shù)或同循合數(shù)，若質(zhì)數(shù)是唯一的一個(gè)或數(shù)個(gè)，凡是同樣j=n的其它數(shù)都是合數(shù)；求出的是同循合數(shù)，凡不能整除同循合數(shù)的都是合數(shù)。

大于1位，各位都是1的數(shù)稱為全1數(shù)，111稱3位全1數(shù)，11111稱5位全1數(shù)，n個(gè)1組成的數(shù)稱n位全1數(shù)，n位全1數(shù)中不含因數(shù)2或5，以n位全1數(shù)為分母的真分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)是純循環(huán)小數(shù)，且j=n位，n也正是n位全1數(shù)中各因數(shù)分別為分母的真分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù)，所以，n位全1數(shù)中必有至少1個(gè)或者兩個(gè)、多個(gè)質(zhì)因數(shù)j=n位。（以下簡稱某數(shù)的循環(huán)節(jié)位數(shù)）如10位全1數(shù)，即1111111111中，有全1數(shù)因數(shù)1111111111、11111、11（引入記號《n》表示n位全1數(shù)），《10》÷《5》÷《2》=9091，1/9091 =0.0（·）001099989（·），j=10位，9091是唯一的一個(gè)j=10位的質(zhì)數(shù)，所以451是合數(shù)。 11×271=2981 9091×41=372731……都是j=10位。除9091外，它們都是合數(shù)。

15085351的j=100位，它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？《100》÷《50》÷（《20》÷《10》）=9999999999000000000099999999990000000001，這就是除1外各因數(shù)、質(zhì)因數(shù)j=100位的同循合數(shù)，9999999999000000000099999999990000000001÷15085351余4567676，所以15085351是合數(shù)。15085351=251×60101，251的j=50位，60101的j=100位，9999999999000000000099999999990000000001÷60101=166386582569341608294371141910949901，能整除，所以60101是分解出來的一個(gè)質(zhì)因數(shù)。

全1數(shù)，其中有質(zhì)數(shù)：如《2》、《19》、《23》；有合數(shù)：合數(shù)分純異因合數(shù)、混異因合數(shù)、同因數(shù)合數(shù)、同循合數(shù)?；飚愐蚝蠑?shù)的特征是含有同因數(shù)合數(shù)，《22》《42》《78》《3nn≥2》等都是混異因合數(shù)。質(zhì)數(shù)位全1數(shù)除《3》外，不是質(zhì)數(shù)的都是同循合數(shù)。

（一）質(zhì)數(shù)只有和1最小公倍數(shù)才能是質(zhì)數(shù)；相等的質(zhì)數(shù)最小公倍數(shù)是自身也是質(zhì)數(shù)。所以，6r±1數(shù)中，不同j=n的異因合數(shù)，其循環(huán)節(jié)位數(shù)都不可能是質(zhì)數(shù)。

（二）質(zhì)數(shù)的j=n是質(zhì)數(shù)的但不可能等于p-1位。因?yàn)橘|(zhì)數(shù)除2外都是奇數(shù)，p-1是偶數(shù)，只有（p-1）/2，方有可能是奇數(shù)。如有某數(shù)的j=n是質(zhì)數(shù)，經(jīng)驗(yàn)算不是3的倍數(shù)，它又能整除對應(yīng)的同循合數(shù)，該數(shù)就是質(zhì)數(shù)或部分同循合數(shù)。

（三）ab=p，1/a， j=（a-1），1/b，j=（b-1），則1/p，j=〔（a-1）（b-1）〕/2=〔ab-（a+b）+1〕/2，因?yàn)椋╝b-1）/2>〔ab-（a+b）+1〕/2，所以異因合數(shù)的j=n不可能是p-1位與（p-1）/2位。若p=a2，循環(huán)節(jié)最長為a2-a，如1/72，j=42 位，（p-1）>（p-a）>（p-1）/2，因此某數(shù)的j=n若是p-1位和（p-1）/2位的都是質(zhì)數(shù)。根據(jù)（p-1）/n=ncd+c+d計(jì)算，（p-1）/n，9是不含2、5的同因數(shù)合數(shù)，j=1位，（9-1）/1=8，11×3=33，j=2位，（33-1）/2=16；11×9=99，j=2位，（99-1）/2=49，101×9=909， j=4（909-1）/4=227但它們都是6r+3數(shù)，7×13=91，91是同循合數(shù)，j=6位，（91-1）/6=15，19×37=703，j=18位，（703-1）/18=39，據(jù)統(tǒng)計(jì)：包括2、5在內(nèi)10000以內(nèi)有1228個(gè)質(zhì)數(shù)，（p-1）/n商等于1和2的有841個(gè)，商小于8的有1088個(gè)，商小于15的有1161個(gè)，商小于39的有1196個(gè)。（后面的數(shù)字包括前面的數(shù)字）。除9、15、16外凡商小于39的都是質(zhì)數(shù)。

（四）1/p化為循環(huán)小數(shù)j=n位，若p是不含2、3、5的合數(shù)，則p不僅可以和質(zhì)數(shù)一樣能整除n位全9數(shù)，也可以整除n位全1數(shù)。凡能夠整除n位全1數(shù)的都能整除各位數(shù)碼相同的n位數(shù)。所以檢驗(yàn)整數(shù)A能否被p整除，從A的低位向高位n位n位分節(jié)，每節(jié)正好是對p的一個(gè)剩余數(shù)。

（五）若p為質(zhì)數(shù)，n為偶數(shù)以及n的奇數(shù)倍數(shù)，則前一半與后一半數(shù)碼完全相同的數(shù)能被p 整除。所以，任一個(gè)n位數(shù)前后各半2數(shù)的差都是對p的一個(gè)剩余數(shù)。若p為合數(shù)n為偶數(shù)，只有p的各質(zhì)因數(shù)的j=n都是偶數(shù)位且相互的倍數(shù)是奇數(shù)時(shí)，前一半與后一半數(shù)碼完全相同的數(shù)才能被p 整除。偶位循環(huán)有個(gè)特點(diǎn)，就是運(yùn)算至一半時(shí)必余分母減分子，前后各半對應(yīng)數(shù)互為9的補(bǔ)數(shù)，對折起來和數(shù)恰是n/2位全9數(shù)。

（六）1/p化循環(huán)小數(shù)時(shí)，可以設(shè)想1后面有若干個(gè)0，p除至多少位0余1，則循環(huán)節(jié)就是多少位。這時(shí)0的個(gè)數(shù)與j=n是相等的，所以把位數(shù)看成0的個(gè)數(shù)是有意義的。整十整百相乘其積1后面0的個(gè)數(shù)恰好是因數(shù)0的和數(shù)。因此，根據(jù)中國余數(shù)定理：因數(shù)的余數(shù)積等于積的余數(shù)。2位的余數(shù)乘以3位的余數(shù)等于5位的余數(shù)（包括剩余數(shù)）。如100000/31=3225……25， 5位×5位×5位=15位。 25×25×25=15625， 15625/31=504……1。1/31，j=15位。

（七）1/p化為n位循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)的有效數(shù)字乘以p等于n位全9數(shù)。n位全9數(shù)除以p即為n位循環(huán)小數(shù)的有效數(shù)字。如1/7=0.142857，142857×7=999999，999999/142857=7，999999/7=142857，所以將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法是：循環(huán)小數(shù)的有效數(shù)字為分子，n位全9數(shù)為分母，再約為最簡分?jǐn)?shù)。若想到142857×7是一個(gè)42位數(shù)，就明白1/72，j=42位了，1/p2呢？1/pr呢？

（八）設(shè)q為2、5以及僅含2、5的合數(shù)，1/q化為小數(shù)是有限小數(shù)，再設(shè)h為有限小數(shù)的位數(shù)，1/q在化小數(shù)時(shí)，設(shè)想1后面有若干個(gè)0，q除至多少位0恰好除盡，h就是多少位，這時(shí)h和0的個(gè)數(shù)是相等的，換句話說，任何整數(shù)末位只要有h位0，這些數(shù)均能被q整除。由此，告訴我們兩種方法：（a）判斷整數(shù)A能否被q整除的方法：只要A 的末h位能被q整除， A就能被q整除；（b）有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：以有限小數(shù)的有效數(shù)字為分子，以1后面有h位0的整數(shù)為分母，再化簡即可。

（九）設(shè)A為任一質(zhì)數(shù)或合數(shù)，r/A=cr/cA=（cr-br）/（cA-bA）=r/A。設(shè)w為含有2、5的合數(shù)，r/w=ar/aw=（ar-br）/（aw-bw）=r/w。4×3=12是含有2的合數(shù)，1/12=0.083（·），為混循環(huán)小數(shù)，1000/12=83……4，12除盡了1000-4=996，1/12=83/996=（83-1×8）/（996-12×8）=（83-8）/（996-96）=75/900，恰巧，混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，循環(huán)部分是幾位寫幾個(gè)9，不循環(huán)部分是幾位再在9的后面寫幾個(gè)0為分母；混循環(huán)小數(shù)的有效數(shù)字減去不循環(huán)部分的有效數(shù)字為分子，再化簡。

（十）6r±1如果都是質(zhì)數(shù)，稱為對生質(zhì)數(shù)，也叫孿生質(zhì)數(shù)。一定范圍內(nèi)的對生質(zhì)數(shù)，是可以篩選出來的。下面篩選r=30以內(nèi)的對生質(zhì)數(shù)，以示方法：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

6×1×1=6 6-1-1=4 6+1-1=6 6+1+1=8 （將4、6、8字號縮小以示區(qū)別）

6×2×1=12 12-2-1=9 12-2+1=11 12+2-1=13 12+2+1=15

6×3×1=18 18-3-1=14 18-3+1=16 18+3-1=20 18+3+1=22

6×4×1=24 24-4-1=19 24-4+1=21 24+4-1=27 24+4+1=29

6×2×2=24 24-2-2=20 24+2-2=24 24+2+2=28

6×5×1=30 30-5-1=24 30-5+1=26 30+5-1=34 30+5+1=36

6×6×1=36 36-6-1=29 36-6+1=31 36+2+3=41

6×2×3=36 36-2-3=31

用以上方法計(jì)算出來的數(shù)字都是6的一個(gè)倍數(shù)，即是r。這些6r±1不可能都是質(zhì)數(shù)。

收獲：1 2 3 5 7 10 12 17 18 23 25 30 對生質(zhì)數(shù)有：

5和7 11 和 13 17 和 19 29 和 31 41 和 43 59 和 61 71 和73

101 和 103 107 和 109 137 和 139 149 和 151 179和181

用此方法同樣可以篩選出來一定范圍內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，首先建立合數(shù)表，表中每一個(gè)方格代表一個(gè)6的倍數(shù)，記住上面（3）所述，在對應(yīng)方格中寫上+號或-號，然后再反轉(zhuǎn)成質(zhì)數(shù)表。在這樣的質(zhì)數(shù)表中，對生質(zhì)數(shù)的分布，一目了然。

例：241，在2號質(zhì)數(shù)表豎4橫1的交叉處，此處方格中寫有+號，即421×6+1=1447是質(zhì)數(shù)。橫豎交叉表示末兩位數(shù)，橫是末位數(shù)，表號是末兩位前面的數(shù)。

循環(huán)節(jié)位數(shù) 1-60與循環(huán)節(jié)對應(yīng)的同循合數(shù)和質(zhì)數(shù)

1 3

2 11

3 37

4 101

5 〔5〕=41×271

6 91=7×13

7 《7》=239×4649

8 10001=73×137

9 333667

10 9091

11 《11》=21649×513239

12 9901

13 《13》=53×79×265371653

14 909091

15 90090991=31×2906161 3

16 100000001=17×5882353

17 《17》=2071723×5363222357

18 999001=19×52579

19 《19》

20 99009901=3541×27961

21 900900990991=43×1933×10838689

22 826446281=23×4093×8779

23 《23》

24 99990001

25 100001000010000100001=21401×25601×182521213001

26 909090909091=859×1058313049

27 333333333666666667=757×440334654777631

28 990099009901=29×281×121499449

29 《29》=3191×16763×43037×62003×77843839397

30 109889011=241×211×2161

31 《31》=2791×6943319×57336415063790604359

32 10000000000000001=353×449×641×1409×69857

33 90090090090990990991=67×1344628210313298373

34 9090909090909091=103×4013×21993833369

35 900009090090909909099991=71×123551×102598800232111471

36 999999000001

37 《37》2028119×247629013×2212394296770203368013

38 909090909090909091

39 900900900900990990990991

40 9999000099990001=1676321×5964848081

41 《41》=83×1231×538987×201763709900322803748657942361

42 156985855573=127×2689×459691

43 《43》=173×1527791×1963506722254397×2140992015395526641

44 99009900990099009901=89×1052788969×1056689261

45 999000000999000999999001=238681×4185502830133110721

46 9090909090909090909091=47×139×2531×549797184491917

47 《47》=35121409×316362908763458525001406154038726382279

48 9999999900000001

49 1000000100000010000001000000100000010000001 =505885997×19767301445981 90963568024679333

50 999999000009999900001=251×5051×78875945472201

51 90090090090090090990990990991=613×210631×52986961×13168164561429877

52 990099009900990099009901=521×1900381976777332243781

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