摘要：逆向思維是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要原則，是創(chuàng)造思維的一個(gè)組成部分，也是進(jìn)行思維訓(xùn)練的載體。文章闡述了逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，然后結(jié)合本人的教育教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在概念的教學(xué)、公式的教學(xué)、反例的逆用及分析和解決問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維習(xí)慣、逆向思維的自覺(jué)性及其興趣，最終達(dá)到提高學(xué)生的逆向思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力。

關(guān)鍵詞：逆向思維；數(shù)學(xué)教學(xué)；能力培養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）18-0104-02

一、前言

所謂逆向思維就是在研究問(wèn)題的過(guò)程中，有意去做與習(xí)慣思維方向相反的探索。逆向思維主要表現(xiàn)在所學(xué)知識(shí)的逆向應(yīng)用上，注重知識(shí)的逆向應(yīng)用常?？墒箶?shù)學(xué)解題由繁變易[1]。

在數(shù)學(xué)解題中，往往因習(xí)慣于“順推”和正面求解，有時(shí)會(huì)使思維受阻。這時(shí)若能運(yùn)用“換個(gè)角度來(lái)看問(wèn)題，倒過(guò)來(lái)思考”的逆向思維，對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題往往能起到突破性的效果，從而創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的簡(jiǎn)捷、新穎、奇異的方法。

二、逆向思維在數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)

（一）定義的逆用

在數(shù)學(xué)解題中，“定義法”是一種比較常見(jiàn)的方法，而定義的逆用便于學(xué)生養(yǎng)成逆向思維的習(xí)慣。

例1 設(shè)f（x）=9x-3x+1，求f-1（0）

分析：對(duì)該題常規(guī)的思維方法是：先求出反函數(shù)f-1（x），再求f-1（0）的值，但是因?yàn)榍蠓春瘮?shù)的過(guò)程繁雜且易產(chǎn)生增解，所以必然會(huì)出現(xiàn)諸多失誤，甚至有思維受阻現(xiàn)象。但我們?nèi)绻嬗梅春瘮?shù)的定義及性質(zhì)，令f（x）=0，解出x的值，即為f-1（0）的值，問(wèn)題就迎刃而解。

解：令f（x）=9x-3x+1=0，則9x=3x+1=9■，所以x=■（x+1）

解得：x=1，即f-1（0）=1.

因此，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，若能靈活運(yùn)用定義的逆向思維，不僅可以省去繁雜的解題過(guò)程，而且能保證答案的正確性。

（二）公式的逆用

數(shù)學(xué)中的許多概念、定義是雙向的，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，不僅要培養(yǎng)學(xué)生的定性思維，而且要充分發(fā)揮逆向思維，靈活地逆用公式，解題時(shí)就能得心應(yīng)手，左右逢源。如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+（n-1）d；它們的逆用形式：a1=an-（n-1）d或d=■或n=■+1，這些逆用公式能解決實(shí)際中的許多問(wèn)題。

（三）法則的逆用

數(shù)學(xué)法則反映著一定的數(shù)學(xué)規(guī)律。其中包括數(shù)學(xué)元素間的內(nèi)在聯(lián)系與解決問(wèn)題的方法。如“若干個(gè)因式中，只要有一個(gè)為零，那么它們的積為零”的反面是“若干因式的積為零，則這些因式中至少有一個(gè)因式為零”也成立。

例2 計(jì)算■+■+L L+■：

分析：本題若按常規(guī)方法：先通分后相加，勢(shì)必感到束手無(wú)策。若逆用減法法則：■-■=■則帶來(lái)很大的簡(jiǎn)便。

（四）定理的逆用

數(shù)學(xué)中的很多定理，它的逆命題也是成立的。在學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)定理后，引導(dǎo)學(xué)生去探索它的逆命題，然后去判斷或者論證逆命題的正確性，并且進(jìn)而啟發(fā)他們用這些逆定理去解決一些實(shí)際問(wèn)題，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么：a2+b2=c2。它的逆定理為：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理主要的應(yīng)用是把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，它可以作為直角三角形的判定依據(jù)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

（五）逆向分析法

分析法的實(shí)質(zhì)是“執(zhí)果索因”，要證明結(jié)論成立，只需找到使結(jié)論成立的充分條件即可。這種方法在證明題中用得較多，這也是逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的具體運(yùn)用[2]。

例3 求證■+■<2■

分析：直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件。

證明：因?yàn)椤?■和2■都是正數(shù)，所以要證■+■<2■，只需證（■+■）2<（2■）2，只需證■<5，即只需證21<25，因?yàn)?1<25成立，所以■+■<2■成立。

由于■+■和2■都是無(wú)理數(shù)，因此直接證明比較困難，利用分析法從結(jié)論入手，解決題目得心應(yīng)手。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，注意學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)，會(huì)使學(xué)生能夠更加靈活地去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。同時(shí)，逆向思維能力的培養(yǎng)對(duì)于提高學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)高素質(zhì)人才也有著十分重要的意義。那么，在數(shù)學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力呢？我們可以從以下幾個(gè)方面來(lái)探討逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的培養(yǎng)。

（一）在概念的教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維能力

我們知道概念是客觀事物的本質(zhì)屬性在人們頭腦里的反映。由于數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。數(shù)學(xué)中的一切概念都是現(xiàn)實(shí)世界形式或數(shù)量關(guān)系這類(lèi)本質(zhì)屬性在人們頭腦里的反映。有不少教師在講解概念時(shí)，總是直接把內(nèi)容寫(xiě)在黑板上，然后讓學(xué)生去理解、記憶。這種形式不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。如果能從“逆向”的角度幫助學(xué)生去認(rèn)識(shí)概念，去挖掘概念所包含的一切性質(zhì)及隱含條件，這樣能夠加深對(duì)概念的理解。

如在學(xué)過(guò)“映射”的概念之后，我在課堂上引導(dǎo)學(xué)生做這樣的思考：設(shè)f：A→B是集合A到集合B的映射。那么集合A、B中的元素對(duì)應(yīng)情況將如何？學(xué)生思考后我與學(xué)生一起得出結(jié)論：集合A中的元素不會(huì)有剩余了，而且每一個(gè)元素在B中都有唯一一個(gè)像；集合B中的元素可能有剩余。也就是說(shuō)B中的元素有的可能沒(méi)有原像；對(duì)應(yīng)的形式可能是“一對(duì)一”，也可能是“多對(duì)一”，“一對(duì)多”的是不可能的等等。這樣，既注意了由此及彼，也注意到了由彼及此，使學(xué)生對(duì)概念辨析更清楚，理解更透徹，養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的習(xí)慣。

（二）在公式的教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維能力

數(shù)學(xué)中的公式很多，熟練掌握公式并能靈活地應(yīng)用，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所必須的，其中靈活地逆用公式是不可缺的。endprint

首先，記憶公式時(shí)不但要“正記”，而且要不斷地進(jìn)行“逆記”和“逆寫(xiě)”訓(xùn)練，這是我們能靈活地逆用公式的基礎(chǔ)。記憶公式時(shí)一定要理解地去記憶。要善于找出公式由左向右的特點(diǎn)及功能，同時(shí)也要相應(yīng)找出公式由右向左的特點(diǎn)及功能。如對(duì)于兩角和差的正切公式[3]：

tan（A+B）=■，tan（A-B）=■

我們引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)逆向變形得：

tanA+tanB=tan（A+B）·（1-tanA·tanB）

tanA-tanB=tan（A-B）·（1+tanA·tanB）

1-tanA·tanB=■，1+tanA·tanB=■

另外，在公式的應(yīng)用中，不但要做一些公式的正用練習(xí)，也要做一些公式的逆用練習(xí)。

（三）注重反例的逆用

反例在數(shù)學(xué)發(fā)展中和證明一樣占著同樣重要的地位，重要的反例往往會(huì)成為數(shù)學(xué)殿堂的基石，微積分剛建立的時(shí)候，數(shù)學(xué)界曾長(zhǎng)期錯(cuò)誤地認(rèn)為：連續(xù)函數(shù)除了個(gè)別點(diǎn)處總是處處不可導(dǎo)的。但是，1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家繼爾斯特拉斯構(gòu)造出了一個(gè)“處處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)”，這個(gè)反例震驚了數(shù)學(xué)界，促成了影響深遠(yuǎn)的“分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化”的數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)[4]。

反例不僅在培養(yǎng)逆向思維的能力中占重要地位，同時(shí)在糾正錯(cuò)誤結(jié)論、澄清概念、開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)領(lǐng)域中也起到了非常重要的作用。因此，可以得到這樣一個(gè)啟示：證明一個(gè)命題為真，固然要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格而周密的證明，然而要推翻一個(gè)命題卻只需舉出一個(gè)反例就可達(dá)到目的。

例4 一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形嗎？為什么？

分析：不一定是平行四邊形，可構(gòu)造反例如下：∨ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)E在BC上，BE>EC，當(dāng)∠AED=∠EAC DE=AC時(shí)，∨ADE≌∨ECA，這時(shí)，在四邊形ABDE中，AB=DE，∠D=∠B，因而四邊形ABDE不是平行四邊形。

此外，當(dāng)我們做完一個(gè)數(shù)學(xué)題目后，也可想到有時(shí)可舉一個(gè)數(shù)字簡(jiǎn)單的例子再驗(yàn)證一下思路是否正確，如果出現(xiàn)了矛盾，就表明思路有毛病。

四、結(jié)束語(yǔ)

逆向思維是培養(yǎng)我們學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一種非常重要的思維方式，對(duì)克服思維定勢(shì)大有裨益。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中有機(jī)地、適當(dāng)?shù)刈⒁鈴母拍?、公式、法則、定理及從結(jié)論反推，從反面入手解題來(lái)培養(yǎng)我們學(xué)生的數(shù)學(xué)逆向思維能力，對(duì)優(yōu)化我們的知識(shí)結(jié)構(gòu)、開(kāi)發(fā)思維有著巨大的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹莉.逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J].連云港教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，（3）：71-71.

[2]張信聯(lián).逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2000，124（3）：11-13.

[3]戴嘉廣.數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的策略[J].丹東紡專(zhuān)學(xué)報(bào)，2002，9（2）：58-59.

[4]馬英典.數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力[J].四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，46（8）：59-60.

作者簡(jiǎn)介：吳水成（1970-），男，湖南省漣源市第一中學(xué)高級(jí)教師。endprint