劉護(hù)靈

2014年高考廣東數(shù)學(xué)文理科都采用了同一道背景深刻的解析幾何題，解法精彩多樣，內(nèi)涵深刻雋永，原題如下：

已知橢圓C：+=1（a>0，b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（，0），離心率為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x0， y0）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程. （本小題滿分14分）

第一問(wèn)由條件知c=，又=，∴a=3，b2=a2-c2=4，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

本文主要解析第二問(wèn).

問(wèn)題一：題目條件是什么意思？可能有什么樣的解法？

畫(huà)出示意圖如圖1，能夠幫助我們理解問(wèn)題的含義，在題目條件中，橢圓方程是固定的，運(yùn)動(dòng)變化的是點(diǎn)P的坐標(biāo)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不變的是有兩個(gè)限制條件，其一是過(guò)點(diǎn)P的兩條直線和橢圓相切，其二是這兩條切線垂直.在解析幾何中，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方法描述這兩個(gè)限制條件，不同的表示法就產(chǎn)生了各種不同的方法.

解法1：因?yàn)橐呀?jīng)有點(diǎn)P（x0，y0），最容易想到的是利用直線的點(diǎn)斜式方程.設(shè)切線PA的方程為y-y0=k（x-x0），則切線PB的方程為y-y0=-（x-x0），聯(lián)立方程組y-y0=k（x-x0），

+

=1，消去y并整理得（4+9k2）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-36=0，由△=[18k（y0-kx0）]2-4（4+9k2）[9（y0-kx0）2-36]=0，即9[k（y0-kx0）2-（4+9k2）[（y0-kx0）2-4]=0，4+9k2=（y0-kx0）2 …………①

同理，另外一條相切直線和橢圓方程聯(lián)立（簡(jiǎn)捷的辦法是在①中用-代替k），化簡(jiǎn)得到4k2+9=（ky0+x0）2………②

① ②兩式相加，消去k，整理得x2

0+y2

0=13，當(dāng)k=0或k不存在時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)也滿足方程x2

0+y2

0=13，故點(diǎn)P的軌跡方程為x2

0+y2

0=13.

點(diǎn)評(píng)1：這個(gè)解法的開(kāi)始部分——設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程、聯(lián)立圓錐曲線、消元，這是同學(xué)們所熟悉的，困難的地方是得出了①式之后，考生不知道往下算什么，即使得到了②式，那么這兩個(gè)式子為什么相加而不是相減（因?yàn)閮墒较嗉忧『玫玫椒匠蹋?+k2）（x2

0+y2

0）=13（1+k2），剛好能消去k），這也是考生需要體會(huì)學(xué)習(xí)的.這個(gè)解法回避了韋達(dá)定理，但是運(yùn)算的難度不低.

解法2：如果繼續(xù)設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式，利用韋達(dá)定理，考生可能更容易理解一些.

當(dāng)兩條切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)P（x0， y0）點(diǎn)的切線為y-y0=k（x-x0）聯(lián)立y-y0=k（x-x0），

+

=1，消去y得（4+9k2）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-36=0，判別式△=182k2（y0-kx0）2-36（4+9k2）[（y0-kx0）2-4]=0，

化簡(jiǎn)得（y0-kx0）2-9k2-4=0，即（x2

0-9）k2-2x0y0k+（y2

0-4）=0，

設(shè)兩條切線的斜率分別為k1和k2，則k1和k2是上述方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得k=，由于兩條切線垂直，即有k1k2=-1，所以化簡(jiǎn)得x2

0+y2

0=13，當(dāng)兩條切線的斜率有一條不存在時(shí)，結(jié)合圖像得P是直線x=-3，x=3，y=2，y=-2的四個(gè)交點(diǎn)，也滿足x2

0+y2

0=13，故點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=13.

點(diǎn)評(píng)2：這個(gè)解法在化簡(jiǎn)判別式的時(shí)候，需要建立“以為主元”的指導(dǎo)思想，才能計(jì)算化簡(jiǎn)出關(guān)于的一元二次方程，從而利用韋達(dá)定理解決問(wèn)題.而建立“以為主元”的方程，正是考生化簡(jiǎn)復(fù)雜的判別式時(shí)需要尋找的方向，如果沒(méi)有這個(gè)思想的指導(dǎo)，考生計(jì)算下去時(shí)容易糊里糊涂，不知道運(yùn)算的下一步是什么.

解法3：如果不理會(huì)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x0，y0），可以設(shè)切線為y=kx+m（當(dāng)斜率存在時(shí)），

代入+=1，整理得（4+9k2）x2+18kmx+9m2-36=0，

令判別式△=182k2m2-4（4+9k2）（9m2-36）=0，化簡(jiǎn)得m2=4+9k2，把切線方程化為m=y-kx，代入上式，消去m，即（y-kx）2=4+9k2，整理得到以k為主元的一元二次方程為（x2-9）k2-2xyk+（y2-4）=0，

注意到所有斜率為k的橢圓的切線都滿足該方程，設(shè)題設(shè)的兩條切線的斜率分別為k1和k2，由韋達(dá)定理，得k=，由于兩條切線垂直，即有k1k2=-1，所以化簡(jiǎn)得x2+y2=13，當(dāng)有一條直線斜率不存在或?yàn)?時(shí)，討論同解法2，略.

點(diǎn)評(píng)3：這個(gè)解法本質(zhì)上和解法2相同，關(guān)鍵的指導(dǎo)思想還是根據(jù)條件建立以為主元的一元二次方程，再利用韋達(dá)定理.

解法4：如果考生知道圓錐曲線的切線方程，還可以這樣做：

設(shè)切點(diǎn)A（x1， y1）， B（x2， y2）不難證明兩條切線的方程為：+=1，+=1，

設(shè)兩條切線的交點(diǎn)P（x0，y0），則有：

+=1，+=1，

同時(shí)有：

+=1，+=1，還有：·+·=0（兩條切線垂直），

化簡(jiǎn)得x2

0+y2

0=13，故點(diǎn)P的軌跡方程為x2

0+y2

0=13.

點(diǎn)評(píng)4：以上的解法可以說(shuō)精彩紛呈，即突出考查了考生解析幾何中用在原有直觀幾 何圖形探究的基礎(chǔ)上，“用代數(shù)解決幾何問(wèn)題”這一核心，從解決的過(guò)程來(lái)看，并沒(méi)有刻意回避韋達(dá)定理.當(dāng)然還有如利用橢圓的參數(shù)方程來(lái)求解等方法.解法1至3是通性通法，也是在平時(shí)學(xué)習(xí)中經(jīng)常練習(xí)的.但是考生的困難往往在于聯(lián)立消元的運(yùn)算化簡(jiǎn)！數(shù)學(xué)評(píng)卷組組長(zhǎng)、華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院院長(zhǎng)丁時(shí)進(jìn)教授在評(píng)卷媒體會(huì)上指出，從評(píng)卷情況來(lái)看，考生主要問(wèn)題還是表現(xiàn)在概念不清、運(yùn)算能力薄弱、思維不夠靈活.如近八成理科考生不能準(zhǔn)確畫(huà)出頻率分布直方圖；在簡(jiǎn)單的數(shù)字運(yùn)算、方程或方程組求解、代數(shù)式的恒等變形等計(jì)算過(guò)程中出錯(cuò)是普遍存在的現(xiàn)象.這是同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)十分值得警惕的.endprint

問(wèn)題二：題目源自哪里？還有什么結(jié)論？

由本題的條件，發(fā)現(xiàn)計(jì)算出的結(jié)果x2+y2=13，這是一個(gè)圓！而13恰好等于9與4的和，所以容易推廣得：

命題1：已知橢圓C：+=1（a>0，b>0），動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=a2+b2.

由上述方法很容易可以推廣到雙曲線.

命題2：已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0），只有當(dāng)a>b時(shí)，才存在兩條互相垂直的切線，且這兩條切線的交點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=a2-b2，此圓被稱為雙曲線C的準(zhǔn)圓.

但是拋物線是一個(gè)特例.

命題3：已知拋物線C：y2=2px（p>0），動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為拋物線C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程是x=-.即動(dòng)點(diǎn)P恰好在拋物線的準(zhǔn)線上.

命題1、2的圓被稱為橢圓C的準(zhǔn)圓（或伴圓），歷史上是法國(guó)數(shù)學(xué)家Gaspard Monge首先發(fā)現(xiàn)的，所以又叫“蒙日?qǐng)A”，（蒙日還提出了另外一個(gè)問(wèn)題，即Monge′s Problem：畫(huà)一個(gè)圓，使其與三已知圓正交.這是歷史上的100個(gè)著名初等數(shù)學(xué)問(wèn)題之一）. 而“準(zhǔn)圓”是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家單墫教授首先命名的.

不用解析幾何的方法，用傳統(tǒng)的幾何證明方法，能否證明命題1呢？可以！

首先證明一個(gè)引理：

引理：如圖2，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E為該平面上任意一點(diǎn)，則有[][]+[][]=[][]+[][].

證明：

因?yàn)樽筮?[][]+[][]=（+）2+（+）2

=[][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]；

同理右邊=[][]+[][] =（+）2+（+）2

= [][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]，所以左邊=右邊.

現(xiàn)在可以用幾何法來(lái)證明命題1.

如圖3，設(shè)PA、PB是橢圓的兩條垂直的切線，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1作關(guān)于PB的對(duì)稱點(diǎn)F3，連接F1F3交PB于點(diǎn)M，則F3F2=F3B+BF2=F1B+BF2=2a，

又OM為F3F2的中位線，故OM=F3F2=a，

同理ON=a，注意到四邊形PNF1M為矩形，

由引理得OP2=OM2+ON2-OF2

1=2a2-c2=a2+b2，證畢.

問(wèn)題三：以往相似的高考題還有哪些？

鑒古知今，可以繼往開(kāi)來(lái).如下還有一些曾經(jīng)考過(guò)的高考題：

題1. （2012年高考廣東卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：+=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F1（-1， 0），且點(diǎn)P（0，1）在C1上.

（1） 求橢圓C1的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程.（答案（1）+y2=1，（2）切線方程為：y=x+或者y=-x-）

這里的方法和本題的通法一模一樣！只是聯(lián)立兩次，用兩次判別式為0即可！還有：

題2：已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且=λ（λ>0）.過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.

（Ⅰ）證明·為定值；

（Ⅱ）設(shè)△ABM的面積為S，寫(xiě)出S=f（λ）的表達(dá)式，并求S的最小值.

題3：（2012年高考廣東卷）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).（1） 求拋物線C的方程；（2） 當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時(shí)， 求直線AB的方程；（3） 當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求│AF│·│BF│的最小值.

……

同樣涉及圓錐曲線的切線的歷年高考題層出不窮，有人說(shuō)歷年的高考真題是最好的復(fù)習(xí)材料，因?yàn)槿绻阎暗母呖碱}真的做會(huì)做活了，也許在這道高考題就不成問(wèn)題了.

問(wèn)題四：對(duì)于同學(xué)們高中學(xué)習(xí)有什么啟示？

首先要讀懂?dāng)?shù)學(xué).對(duì)于習(xí)慣于聆聽(tīng)老師講解數(shù)學(xué)的考生，要自己解讀數(shù)學(xué)是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)，但是，這也是必須要勇于面對(duì)的一個(gè)挑戰(zhàn).數(shù)學(xué)，不論是作為思想的體操還是作為應(yīng)用工具 ，都必須要求考生掌握數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)的表達(dá).不少同學(xué)在考場(chǎng)上遇到這道題束手無(wú)策的原因之一是讀不懂題意，不知道怎么表達(dá)橢圓的兩條切線，導(dǎo)致第二問(wèn)空白，可惜！

其次是希望同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)多閱讀好的雜志、好的文章，不能光是閱讀教材.例如《高中》（本刊）《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》《數(shù)學(xué)通訊》等等，都是適合同學(xué)們閱讀的雜志，在閱讀中質(zhì)疑，在閱讀中探究，能夠顯著的提高同學(xué)們的學(xué)科素養(yǎng).僅僅是一味的埋頭做題是不夠的.數(shù)學(xué)高考是全方位的考察同學(xué)們的學(xué)科素養(yǎng)的，而學(xué)科素養(yǎng)往往是需要同學(xué)們?cè)陂喿x、思考、寫(xiě)作中反復(fù)琢磨、領(lǐng)悟而提高.本題實(shí)質(zhì)是圓錐曲線的經(jīng)典問(wèn)題之一，早已發(fā)表在相關(guān)的中學(xué)刊物上，如果同學(xué)們有意識(shí)的進(jìn)行閱讀，并進(jìn)行思考和探究，相信一定能激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)闊同學(xué)們的數(shù)學(xué)眼界.同時(shí)近年來(lái)高考數(shù)學(xué)的命題趨勢(shì)反復(fù)提醒，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本技能訓(xùn)練，注重培養(yǎng)考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.同學(xué)們要學(xué)會(huì)如何思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，主動(dòng)的弄清楚問(wèn)題或者解題方法的來(lái)龍去脈及其規(guī)律，掌握和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想.

（作者單位：廣州市第五中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)endprint

問(wèn)題二：題目源自哪里？還有什么結(jié)論？

由本題的條件，發(fā)現(xiàn)計(jì)算出的結(jié)果x2+y2=13，這是一個(gè)圓！而13恰好等于9與4的和，所以容易推廣得：

命題1：已知橢圓C：+=1（a>0，b>0），動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=a2+b2.

由上述方法很容易可以推廣到雙曲線.

命題2：已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0），只有當(dāng)a>b時(shí)，才存在兩條互相垂直的切線，且這兩條切線的交點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=a2-b2，此圓被稱為雙曲線C的準(zhǔn)圓.

但是拋物線是一個(gè)特例.

命題3：已知拋物線C：y2=2px（p>0），動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為拋物線C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程是x=-.即動(dòng)點(diǎn)P恰好在拋物線的準(zhǔn)線上.

命題1、2的圓被稱為橢圓C的準(zhǔn)圓（或伴圓），歷史上是法國(guó)數(shù)學(xué)家Gaspard Monge首先發(fā)現(xiàn)的，所以又叫“蒙日?qǐng)A”，（蒙日還提出了另外一個(gè)問(wèn)題，即Monge′s Problem：畫(huà)一個(gè)圓，使其與三已知圓正交.這是歷史上的100個(gè)著名初等數(shù)學(xué)問(wèn)題之一）. 而“準(zhǔn)圓”是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家單墫教授首先命名的.

不用解析幾何的方法，用傳統(tǒng)的幾何證明方法，能否證明命題1呢？可以！

首先證明一個(gè)引理：

引理：如圖2，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E為該平面上任意一點(diǎn)，則有[][]+[][]=[][]+[][].

證明：

因?yàn)樽筮?[][]+[][]=（+）2+（+）2

=[][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]；

同理右邊=[][]+[][] =（+）2+（+）2

= [][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]，所以左邊=右邊.

現(xiàn)在可以用幾何法來(lái)證明命題1.

如圖3，設(shè)PA、PB是橢圓的兩條垂直的切線，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1作關(guān)于PB的對(duì)稱點(diǎn)F3，連接F1F3交PB于點(diǎn)M，則F3F2=F3B+BF2=F1B+BF2=2a，

又OM為F3F2的中位線，故OM=F3F2=a，

同理ON=a，注意到四邊形PNF1M為矩形，

由引理得OP2=OM2+ON2-OF2

1=2a2-c2=a2+b2，證畢.

問(wèn)題三：以往相似的高考題還有哪些？

鑒古知今，可以繼往開(kāi)來(lái).如下還有一些曾經(jīng)考過(guò)的高考題：

題1. （2012年高考廣東卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：+=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F1（-1， 0），且點(diǎn)P（0，1）在C1上.

（1） 求橢圓C1的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程.（答案（1）+y2=1，（2）切線方程為：y=x+或者y=-x-）

這里的方法和本題的通法一模一樣！只是聯(lián)立兩次，用兩次判別式為0即可！還有：

題2：已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且=λ（λ>0）.過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.

（Ⅰ）證明·為定值；

（Ⅱ）設(shè)△ABM的面積為S，寫(xiě)出S=f（λ）的表達(dá)式，并求S的最小值.

題3：（2012年高考廣東卷）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).（1） 求拋物線C的方程；（2） 當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時(shí)， 求直線AB的方程；（3） 當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求│AF│·│BF│的最小值.

……

同樣涉及圓錐曲線的切線的歷年高考題層出不窮，有人說(shuō)歷年的高考真題是最好的復(fù)習(xí)材料，因?yàn)槿绻阎暗母呖碱}真的做會(huì)做活了，也許在這道高考題就不成問(wèn)題了.

問(wèn)題四：對(duì)于同學(xué)們高中學(xué)習(xí)有什么啟示？

首先要讀懂?dāng)?shù)學(xué).對(duì)于習(xí)慣于聆聽(tīng)老師講解數(shù)學(xué)的考生，要自己解讀數(shù)學(xué)是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)，但是，這也是必須要勇于面對(duì)的一個(gè)挑戰(zhàn).數(shù)學(xué)，不論是作為思想的體操還是作為應(yīng)用工具 ，都必須要求考生掌握數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)的表達(dá).不少同學(xué)在考場(chǎng)上遇到這道題束手無(wú)策的原因之一是讀不懂題意，不知道怎么表達(dá)橢圓的兩條切線，導(dǎo)致第二問(wèn)空白，可惜！

其次是希望同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)多閱讀好的雜志、好的文章，不能光是閱讀教材.例如《高中》（本刊）《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》《數(shù)學(xué)通訊》等等，都是適合同學(xué)們閱讀的雜志，在閱讀中質(zhì)疑，在閱讀中探究，能夠顯著的提高同學(xué)們的學(xué)科素養(yǎng).僅僅是一味的埋頭做題是不夠的.數(shù)學(xué)高考是全方位的考察同學(xué)們的學(xué)科素養(yǎng)的，而學(xué)科素養(yǎng)往往是需要同學(xué)們?cè)陂喿x、思考、寫(xiě)作中反復(fù)琢磨、領(lǐng)悟而提高.本題實(shí)質(zhì)是圓錐曲線的經(jīng)典問(wèn)題之一，早已發(fā)表在相關(guān)的中學(xué)刊物上，如果同學(xué)們有意識(shí)的進(jìn)行閱讀，并進(jìn)行思考和探究，相信一定能激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)闊同學(xué)們的數(shù)學(xué)眼界.同時(shí)近年來(lái)高考數(shù)學(xué)的命題趨勢(shì)反復(fù)提醒，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本技能訓(xùn)練，注重培養(yǎng)考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.同學(xué)們要學(xué)會(huì)如何思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，主動(dòng)的弄清楚問(wèn)題或者解題方法的來(lái)龍去脈及其規(guī)律，掌握和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想.

（作者單位：廣州市第五中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)endprint

問(wèn)題二：題目源自哪里？還有什么結(jié)論？

由本題的條件，發(fā)現(xiàn)計(jì)算出的結(jié)果x2+y2=13，這是一個(gè)圓！而13恰好等于9與4的和，所以容易推廣得：

命題1：已知橢圓C：+=1（a>0，b>0），動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=a2+b2.

由上述方法很容易可以推廣到雙曲線.

命題2：已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0），只有當(dāng)a>b時(shí)，才存在兩條互相垂直的切線，且這兩條切線的交點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=a2-b2，此圓被稱為雙曲線C的準(zhǔn)圓.

但是拋物線是一個(gè)特例.

命題3：已知拋物線C：y2=2px（p>0），動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為拋物線C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程是x=-.即動(dòng)點(diǎn)P恰好在拋物線的準(zhǔn)線上.

命題1、2的圓被稱為橢圓C的準(zhǔn)圓（或伴圓），歷史上是法國(guó)數(shù)學(xué)家Gaspard Monge首先發(fā)現(xiàn)的，所以又叫“蒙日?qǐng)A”，（蒙日還提出了另外一個(gè)問(wèn)題，即Monge′s Problem：畫(huà)一個(gè)圓，使其與三已知圓正交.這是歷史上的100個(gè)著名初等數(shù)學(xué)問(wèn)題之一）. 而“準(zhǔn)圓”是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家單墫教授首先命名的.

不用解析幾何的方法，用傳統(tǒng)的幾何證明方法，能否證明命題1呢？可以！

首先證明一個(gè)引理：

引理：如圖2，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E為該平面上任意一點(diǎn)，則有[][]+[][]=[][]+[][].

證明：

因?yàn)樽筮?[][]+[][]=（+）2+（+）2

=[][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]；

同理右邊=[][]+[][] =（+）2+（+）2

= [][]+2·（+）+[][]+[][]

=[][]+[][]+[][]，所以左邊=右邊.

現(xiàn)在可以用幾何法來(lái)證明命題1.

如圖3，設(shè)PA、PB是橢圓的兩條垂直的切線，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1作關(guān)于PB的對(duì)稱點(diǎn)F3，連接F1F3交PB于點(diǎn)M，則F3F2=F3B+BF2=F1B+BF2=2a，

又OM為F3F2的中位線，故OM=F3F2=a，

同理ON=a，注意到四邊形PNF1M為矩形，

由引理得OP2=OM2+ON2-OF2

1=2a2-c2=a2+b2，證畢.

問(wèn)題三：以往相似的高考題還有哪些？

鑒古知今，可以繼往開(kāi)來(lái).如下還有一些曾經(jīng)考過(guò)的高考題：

題1. （2012年高考廣東卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：+=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F1（-1， 0），且點(diǎn)P（0，1）在C1上.

（1） 求橢圓C1的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程.（答案（1）+y2=1，（2）切線方程為：y=x+或者y=-x-）

這里的方法和本題的通法一模一樣！只是聯(lián)立兩次，用兩次判別式為0即可！還有：

題2：已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且=λ（λ>0）.過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.

（Ⅰ）證明·為定值；

（Ⅱ）設(shè)△ABM的面積為S，寫(xiě)出S=f（λ）的表達(dá)式，并求S的最小值.

題3：（2012年高考廣東卷）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).（1） 求拋物線C的方程；（2） 當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時(shí)， 求直線AB的方程；（3） 當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求│AF│·│BF│的最小值.

……

同樣涉及圓錐曲線的切線的歷年高考題層出不窮，有人說(shuō)歷年的高考真題是最好的復(fù)習(xí)材料，因?yàn)槿绻阎暗母呖碱}真的做會(huì)做活了，也許在這道高考題就不成問(wèn)題了.

問(wèn)題四：對(duì)于同學(xué)們高中學(xué)習(xí)有什么啟示？

首先要讀懂?dāng)?shù)學(xué).對(duì)于習(xí)慣于聆聽(tīng)老師講解數(shù)學(xué)的考生，要自己解讀數(shù)學(xué)是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)，但是，這也是必須要勇于面對(duì)的一個(gè)挑戰(zhàn).數(shù)學(xué)，不論是作為思想的體操還是作為應(yīng)用工具 ，都必須要求考生掌握數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)的表達(dá).不少同學(xué)在考場(chǎng)上遇到這道題束手無(wú)策的原因之一是讀不懂題意，不知道怎么表達(dá)橢圓的兩條切線，導(dǎo)致第二問(wèn)空白，可惜！

其次是希望同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)多閱讀好的雜志、好的文章，不能光是閱讀教材.例如《高中》（本刊）《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》《數(shù)學(xué)通訊》等等，都是適合同學(xué)們閱讀的雜志，在閱讀中質(zhì)疑，在閱讀中探究，能夠顯著的提高同學(xué)們的學(xué)科素養(yǎng).僅僅是一味的埋頭做題是不夠的.數(shù)學(xué)高考是全方位的考察同學(xué)們的學(xué)科素養(yǎng)的，而學(xué)科素養(yǎng)往往是需要同學(xué)們?cè)陂喿x、思考、寫(xiě)作中反復(fù)琢磨、領(lǐng)悟而提高.本題實(shí)質(zhì)是圓錐曲線的經(jīng)典問(wèn)題之一，早已發(fā)表在相關(guān)的中學(xué)刊物上，如果同學(xué)們有意識(shí)的進(jìn)行閱讀，并進(jìn)行思考和探究，相信一定能激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)闊同學(xué)們的數(shù)學(xué)眼界.同時(shí)近年來(lái)高考數(shù)學(xué)的命題趨勢(shì)反復(fù)提醒，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本技能訓(xùn)練，注重培養(yǎng)考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.同學(xué)們要學(xué)會(huì)如何思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，主動(dòng)的弄清楚問(wèn)題或者解題方法的來(lái)龍去脈及其規(guī)律，掌握和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想.

（作者單位：廣州市第五中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)endprint