林偉雄

牽動(dòng)高三老師和莘莘學(xué)子的2014年高考已經(jīng)落下帷幕，師生高度關(guān)注的高考題目是教師深刻反思的良好素材.下面，我們選取廣東高考理科數(shù)學(xué)最后一題進(jìn)行評析，以期對高考備考和平時(shí)教學(xué)有所啟示.作為理科數(shù)學(xué)的壓軸題，全省平均得分不到1分.如果同學(xué)們能熟悉常用的數(shù)學(xué)思想，就能轉(zhuǎn)換自己熟悉的題型，從而找到解題的突破口.

題目：設(shè)函數(shù) f（x）=，其中k<-2.

（1）求函數(shù)的定義域D（用區(qū)間表示）；

（2）討論函數(shù)f（x）在D上的單調(diào)性；

（3）若k<-6，求D上滿足條件f（x）>f（1）的x的集合（用區(qū)間表示）.

分析：初看這題，同學(xué)們感覺很難，為什么呢？一是分母有根號，二是根號里是一個(gè)4次多項(xiàng)式，三是這個(gè)多項(xiàng)式還有參數(shù).基于這三個(gè)原因，很多同學(xué)一看題目就放棄了.當(dāng)我們看到一道陌生的問題時(shí)，首先想一想：我做過這類題目嗎？我能轉(zhuǎn)化為一個(gè)以前做過的題嗎？認(rèn)真看看，發(fā)現(xiàn)根號里的代數(shù)式有相同的東西，就是x2+2x+k，如果用一個(gè)字母代替這個(gè)式子，就是同學(xué)們熟悉的一個(gè)二次多項(xiàng)式了，很容易對它進(jìn)行因式分解.就是這個(gè)小小的整體代換，我們把一個(gè)4次不等式問題轉(zhuǎn)化為了2次不等式問題，這就是該題的突破口.第二問，直接對函數(shù)求導(dǎo)顯然太復(fù)雜，我們可以把問題轉(zhuǎn)化一下，把這個(gè)復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性問題化為復(fù)合函數(shù)：y=，u=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3的單調(diào)性問題，再用求導(dǎo)的辦法解決就不難了，這樣還是體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

第（1）問解析：

這一問考生基本上都可以列出不等式：

（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0.

如何解這個(gè)不等式？考生可能會(huì)出現(xiàn)如下四種解法：

解法一（換元法）：設(shè)u=x2+2x+k，則u2+2u-3>0.

解得：u<-3或u>1.再由x2+2x+k<-3或x2+2x+k>1，解得：x<-1-或x>-1+或-1-

∴D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.

解法二（圖像法）：因式分解能力好的考生可能會(huì)想到如下解法：

（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0

?（x2+2x+k+3）（x2+2x+k-1）>0

?x2+2x+k-1>0，

x2+2x+k+3>0或x2+2x+k-1<0，

x2+2x+k+3<0.

畫出函數(shù) g（x）=x2+2x+k+3和h（x）=x2+2x+k-1的草圖： （其中x1=-1-，x2=-1+， x3=-1-， x4=-1+）.

由圖像可得，D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+， +∞）.

解法三（分析法）：觀察能力和推理能力好的考生可能會(huì)想到如下這種很有智慧的解法：

顯然x2+2x+k+3>x2+2x+k-1，

∴（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0

?（x2+2x+k+3）（x2+2x+k-1）>0

?x2+2x+k+3>0或x2+2x+k-1<0.

解不等式得，D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.

解法四（根軸法）：

（x2+2x+k-1）（x2+2x+k+3） >0

?[x-（-1-）][x-（-1-）][x-（-1+）][x-（-1+）]>0

?x<-1-或-1--1+，

∴ D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.

點(diǎn)評：這一小問考生容易上手，不同水平層次的考生可以找到適合自己的解法，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化途徑的多樣性.其中解法一非常容易想到，體現(xiàn)了通過換元到達(dá)降冪的思想，把解四次不等式轉(zhuǎn)化為解三個(gè)二次不等式問題；解法二體現(xiàn)了利用因式分解達(dá)到降冪的目的，把解四次不等式轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)二次不等式組的問題.體現(xiàn)了整體意識和數(shù)形結(jié)合思想；解法三是最有智慧的解法，能用這個(gè)方法的考生觀察和推理意識必然很強(qiáng)，在緊張的高考中，能冷靜地觀察，利用不等式的特殊結(jié)構(gòu)來尋找最優(yōu)的解題過程，實(shí)屬難得，體現(xiàn)了較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；解法四是處理高次多項(xiàng)式方程的一個(gè)通法，但是這個(gè)方法要求把多項(xiàng)式分解成一次多項(xiàng)式或者是二次無零點(diǎn)的多項(xiàng)式的乘積，對代數(shù)式的變形能力要求比較高，由于該題目的特殊結(jié)構(gòu)，這個(gè)方法使用的十分順利.

第（2）問解析：

設(shè) g（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3，這一小問關(guān)鍵是討論該函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了化歸的思想.這是一個(gè)4次多項(xiàng)式，考生很自然會(huì)想到用導(dǎo)數(shù)來解決單調(diào)性問題.于是求導(dǎo)：g′（x）=2（x2+2x+k）（2x+2）+2（2x+2）=4（x+1）（x2+2x+k+1）.

此時(shí)，在確定該導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)又面臨一個(gè)解高次多項(xiàng)式不等式的問題，有兩種解法：圖像法和根軸法（參見第（1）問解析）.

g′（x）>0?x∈D1=（-1--1）∪（-1++∞）；

g′（x）<0?x∈D2=（-∞，-1-∪（-1，-1+），

D∩D1=（-1-，-1）∪（-1+，+∞）；

D∩D2=（-∞，-1-）∪（-1，-1+）.

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f（x）在區(qū)間（-1-，-1）和（-1+，+∞）遞減；在區(qū)間（-∞，-1-）和（-1，-1+）遞增.

點(diǎn)評：這一小問的關(guān)鍵是把原函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為g（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3的單調(diào)性問題.完成這個(gè)轉(zhuǎn)化并將該函數(shù)求導(dǎo)，就可以得到一部分分?jǐn)?shù).但是解不等式g′（x）>0或g′（x）<0時(shí)，第一問的換元法就行不通了，因此這個(gè)不等式雖然次數(shù)沒有第一問的高，但是實(shí)際上把只會(huì)用換元法的考生當(dāng)在正確解答之外.

在求D∩D1和D∩D2時(shí)，實(shí)際上是求不等式組的解集，一般是利用數(shù)軸來求解，參數(shù)k對點(diǎn)在數(shù)軸的相對位置的確定起了干擾影響，在畫草圖的時(shí)候，可以把k具體化，賦予它一個(gè)滿足條件（k<-6）的值，突破難點(diǎn).

第（3）問解析：

解法一（不等式觀點(diǎn)）：把f（x）>f（1）看成是純粹解不等式的問題：

f（x）>f（1）?（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3<（5+k）2+2（5+k）-3

?（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0（∵k<-6，∴x2+2x-3>x2+2x+2k+3

?x2+2x-3>0，

x2+2x+2k+3<0

?x∈D3=（-1-，-3）∪（1，-1+）.

f（x）>f（1）的解集為： D∩D3，即：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

解法二（函數(shù)觀點(diǎn)）：把f（x）>f（1）看成是函數(shù)值大小比較問題.這個(gè)解法需要第（2）小問的結(jié)論作為基礎(chǔ)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)f（x）的草圖

（3）令f（x）=f（1）解得x=-1-或-3或1或-1+當(dāng)k<-6時(shí)，f（x）圖像大致如下：

由圖像可得f（x）>f（1）的解集為：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

點(diǎn)評：解法一從不等式觀點(diǎn)來解決這個(gè)小問，對這個(gè)題目來說是有可取之處的，理由是解決了第一小問之后，如果第二小問沒有做出來，仍然可以作出第三小問.把問題轉(zhuǎn)化為不等式（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0后，第一小問的四種方法都可以使用.

解法二我想應(yīng)該是體現(xiàn)了命題者的意圖.該題的三個(gè)小問環(huán)環(huán)相扣，正是研究函數(shù)的一種方法：確定定義域→討論函數(shù)的單調(diào)性→畫出函數(shù)的草圖→利用函數(shù)及其圖像解決問題.這個(gè)解法非常直觀，是中學(xué)解不等式的常用方法，體現(xiàn)了函數(shù)，方程，不等式的內(nèi)在聯(lián)系.

從今年的高考壓軸題可以看出，高考趨向于考查數(shù)學(xué)思想方法，單純靠記常規(guī)題型的解題步驟，利用題海戰(zhàn)術(shù)來提高成績是不可取的.因此，同學(xué)們在高三的復(fù)習(xí)中，要多問一些為什么，多思考如何把一些復(fù)雜的，陌生的的問題轉(zhuǎn)化為簡單的，熟悉的問題.學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)換和化歸等思想方法，同學(xué)們方能以不變應(yīng)萬變，真正提高解題能力.

（作者單位：華南師大附中汕尾學(xué)校）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)endprint

在求D∩D1和D∩D2時(shí)，實(shí)際上是求不等式組的解集，一般是利用數(shù)軸來求解，參數(shù)k對點(diǎn)在數(shù)軸的相對位置的確定起了干擾影響，在畫草圖的時(shí)候，可以把k具體化，賦予它一個(gè)滿足條件（k<-6）的值，突破難點(diǎn).

第（3）問解析：

解法一（不等式觀點(diǎn)）：把f（x）>f（1）看成是純粹解不等式的問題：

f（x）>f（1）?（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3<（5+k）2+2（5+k）-3

?（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0（∵k<-6，∴x2+2x-3>x2+2x+2k+3

?x2+2x-3>0，

x2+2x+2k+3<0

?x∈D3=（-1-，-3）∪（1，-1+）.

f（x）>f（1）的解集為： D∩D3，即：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

解法二（函數(shù)觀點(diǎn)）：把f（x）>f（1）看成是函數(shù)值大小比較問題.這個(gè)解法需要第（2）小問的結(jié)論作為基礎(chǔ)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)f（x）的草圖

（3）令f（x）=f（1）解得x=-1-或-3或1或-1+當(dāng)k<-6時(shí)，f（x）圖像大致如下：

由圖像可得f（x）>f（1）的解集為：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

點(diǎn)評：解法一從不等式觀點(diǎn)來解決這個(gè)小問，對這個(gè)題目來說是有可取之處的，理由是解決了第一小問之后，如果第二小問沒有做出來，仍然可以作出第三小問.把問題轉(zhuǎn)化為不等式（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0后，第一小問的四種方法都可以使用.

解法二我想應(yīng)該是體現(xiàn)了命題者的意圖.該題的三個(gè)小問環(huán)環(huán)相扣，正是研究函數(shù)的一種方法：確定定義域→討論函數(shù)的單調(diào)性→畫出函數(shù)的草圖→利用函數(shù)及其圖像解決問題.這個(gè)解法非常直觀，是中學(xué)解不等式的常用方法，體現(xiàn)了函數(shù)，方程，不等式的內(nèi)在聯(lián)系.

從今年的高考壓軸題可以看出，高考趨向于考查數(shù)學(xué)思想方法，單純靠記常規(guī)題型的解題步驟，利用題海戰(zhàn)術(shù)來提高成績是不可取的.因此，同學(xué)們在高三的復(fù)習(xí)中，要多問一些為什么，多思考如何把一些復(fù)雜的，陌生的的問題轉(zhuǎn)化為簡單的，熟悉的問題.學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)換和化歸等思想方法，同學(xué)們方能以不變應(yīng)萬變，真正提高解題能力.

（作者單位：華南師大附中汕尾學(xué)校）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)endprint

在求D∩D1和D∩D2時(shí)，實(shí)際上是求不等式組的解集，一般是利用數(shù)軸來求解，參數(shù)k對點(diǎn)在數(shù)軸的相對位置的確定起了干擾影響，在畫草圖的時(shí)候，可以把k具體化，賦予它一個(gè)滿足條件（k<-6）的值，突破難點(diǎn).

第（3）問解析：

解法一（不等式觀點(diǎn)）：把f（x）>f（1）看成是純粹解不等式的問題：

f（x）>f（1）?（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3<（5+k）2+2（5+k）-3

?（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0（∵k<-6，∴x2+2x-3>x2+2x+2k+3

?x2+2x-3>0，

x2+2x+2k+3<0

?x∈D3=（-1-，-3）∪（1，-1+）.

f（x）>f（1）的解集為： D∩D3，即：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

解法二（函數(shù)觀點(diǎn)）：把f（x）>f（1）看成是函數(shù)值大小比較問題.這個(gè)解法需要第（2）小問的結(jié)論作為基礎(chǔ)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)f（x）的草圖

（3）令f（x）=f（1）解得x=-1-或-3或1或-1+當(dāng)k<-6時(shí)，f（x）圖像大致如下：

由圖像可得f（x）>f（1）的解集為：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

點(diǎn)評：解法一從不等式觀點(diǎn)來解決這個(gè)小問，對這個(gè)題目來說是有可取之處的，理由是解決了第一小問之后，如果第二小問沒有做出來，仍然可以作出第三小問.把問題轉(zhuǎn)化為不等式（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0后，第一小問的四種方法都可以使用.

解法二我想應(yīng)該是體現(xiàn)了命題者的意圖.該題的三個(gè)小問環(huán)環(huán)相扣，正是研究函數(shù)的一種方法：確定定義域→討論函數(shù)的單調(diào)性→畫出函數(shù)的草圖→利用函數(shù)及其圖像解決問題.這個(gè)解法非常直觀，是中學(xué)解不等式的常用方法，體現(xiàn)了函數(shù)，方程，不等式的內(nèi)在聯(lián)系.

從今年的高考壓軸題可以看出，高考趨向于考查數(shù)學(xué)思想方法，單純靠記常規(guī)題型的解題步驟，利用題海戰(zhàn)術(shù)來提高成績是不可取的.因此，同學(xué)們在高三的復(fù)習(xí)中，要多問一些為什么，多思考如何把一些復(fù)雜的，陌生的的問題轉(zhuǎn)化為簡單的，熟悉的問題.學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)換和化歸等思想方法，同學(xué)們方能以不變應(yīng)萬變，真正提高解題能力.

（作者單位：華南師大附中汕尾學(xué)校）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)endprint