李振興，劉進忙，李 松，李延磊

(空軍工程大學防空反導學院，710051西安)

人們提出了許多重要的目標跟蹤理論和方法，其中大多數(shù)方法將目標作為一個點源目標來處理.而在海面目標監(jiān)控、多目標編隊跟蹤等許多跟蹤場景內(nèi)，跟蹤對象通常由一系列具有類似運動方式的空間臨近目標組成，即稱作為群目標［1］.此時群目標跟蹤會受到許多特殊因素的影響［2-3］，主要包括量測數(shù)目和觀測模式的不確定變化.前者是由于傳感器分辨率限制和傳感器-目標的位置變化等因素影響，群目標的量測數(shù)目是時變的，影響了傳統(tǒng)跟蹤算法的正常進行;而后者主要是由于“一個目標對應一個量測”的觀測模式被打破，導致個體目標航跡關聯(lián)的模糊性.

針對上述問題，人們提出對群的整體進行跟蹤的思想.根據(jù)這一思想，主要包括概率假設密度(PHD)濾波法［4-6］和 Bayesian 遞推算法［3，7-11］.其中，PHD濾波法可以有效跟蹤未知數(shù)目的空間臨近目標，并同時解決數(shù)據(jù)關聯(lián)問題，適合解決多個群目標的跟蹤問題.它的不足在于當算法估計單元范圍內(nèi)目標的期望數(shù)目時，無法內(nèi)在區(qū)分假設密度傳播中哪部分是由于估計不確定或因群目標擴展產(chǎn)生的［7，9］.另外，PHD 方法推導很復雜，不利于實際應用推廣.而在Bayesian遞推算法方面，Koch［3］針對單個群目標的跟蹤問題，提出利用群的質心狀態(tài)和擴展狀態(tài)來描述群的整體運動.它的假設前提是相比群的擴展狀態(tài)，可以忽略傳感器的量測誤差影響.文獻［7-9］提出在不忽略量測誤差情況下的Bayesian遞推算法.由于考慮了量測誤差，導致不能直接采用文獻［3］在狀態(tài)單維上的濾波更新算法，需要在全維上進行綜合處理，因而需要采用大量啟發(fā)式的假設條件.文獻［10］提出利用變分貝葉斯推理方法，推導了一組更加嚴格的群目標量測更新公式，有效提高了跟蹤精度，但它沒有考慮跟蹤模型和擴展狀態(tài)預測參數(shù)的進一步優(yōu)化.文獻［11］對文獻［3］的模型進行了進一步論證，尤其針對群質心狀態(tài)的邊緣后驗概率密度進行了重新推導，修正了群質心狀態(tài)的更新協(xié)方差表達式.

針對上述分析，本文在文獻［3］算法的基礎上，將文獻［10］的變分貝葉斯迭代法引入濾波過程中，提出一種改進的群目標自適應跟蹤算法.重點針對群質心跟蹤模型和擴展狀態(tài)預測參數(shù)的優(yōu)化問題，包括自適應調(diào)整群質心的過程噪聲方差和質心狀態(tài)協(xié)方差估計，以及利用模糊推理方法自適應輸出擴展狀態(tài)的預測值.最后通過仿真實驗驗證了本文算法的有效性.

1 Bayesian群跟蹤算法

依據(jù)文獻［3］的嚴格數(shù)學推導，群目標的每個量測可以等效為群質心量測通過擴展狀態(tài)下散射的結果.通過跟蹤群目標的質心運動狀態(tài)和擴展狀態(tài)，可以將一群空間臨近目標(CSO)等效成單個個體目標，在實際處理中方便了對群目標復雜態(tài)勢下的跟蹤.文中的群目標跟蹤算法是建立在正確數(shù)據(jù)關聯(lián)問題的基礎上，重點解決群目標的航跡維持問題.

1.1 量測似然函數(shù)的構建

文獻［3］利用隨機變量xk代表群質心的運動狀態(tài)，分別表示群質心的位置、速度和加速度．利用對稱正定(SPD)矩陣Xk代表群整體的擴展狀態(tài)，即在二維平面內(nèi)用一個橢圓來描述群的整體形狀(三維空間為橢球狀)．量測用來表示(僅包括目標位置)，量測轉移矩陣H=［Ⅰd，0d，0d］(d表示空間維數(shù)，d=2 代表二維空間)，因此k時刻的量測方程為

式中:k時刻的量測集為k時刻的量測數(shù)目．文獻［3］認為相比擴展狀態(tài)的影響，可以忽略傳感器的量測誤差的影響．因此，噪聲假設為均值為零，方差為Xk的高斯白噪聲．另外，k時刻的累積量測集為因此，量測似然函數(shù)為

式中:N(x;μ，Σ)代表均值μ，方差Σ的正態(tài)分布．引入量測均值和對應的散射矩陣k為

1.2 聯(lián)合狀態(tài)的先驗概率密度的構建

xk和Xk的聯(lián)合先驗概率密度為

式中:向量xk的條件概率密度為

矩陣Xk的條件概率密度為表示均值為A/(a-d-1)的逆Wishart分布函數(shù)，a為自由度且滿足a-d-1＞0．

由式(7)可得

因此，對應的Bayesian濾波的一步預測公式為

假設Xk|k-1=Xk-1|k-1，可得

式中:T代表傳感器采樣周期，τ代表擴展狀態(tài)的變化率，定量反映了擴展狀態(tài)隨時間變化的靈敏度．

1.3 聯(lián)合狀態(tài)的后驗概率密度的構建

xk和Xk的聯(lián)合后驗概率密度為

量測轉移矩陣

新息協(xié)方差

濾波增益

從式(17)中可知，濾波增益Kk|k-1與Xk是獨立的．因此，對應的運動狀態(tài)更新公式為

擴展狀態(tài)更新公式為

式(18)中xk|k是由群質心的條件后驗概率密度p(xk|Xk，Zk)推導而來，為獲得xk的更加準確的估計值，則有必要推導出xk的邊緣后驗概率密度p(xk|Zk)進行計算．xk的均值［11］

由式(23)可知，由p(xk|Zk)推導的xk的估計值與由p(xk|Xk，Zk)推導的估計值相等．

xk的估計誤差協(xié)方差

盡管預測式(9)、(10)和更新公式(18)、(19)形式上類似于Kalman濾波公式，但不同之處在于k|l和都是僅作為一維空間內(nèi)的跟蹤濾波參數(shù)，與之相對應的濾波增益k|k-1獨立于擴展狀態(tài)Xk．而過程噪聲?Xk表明質心的運動和群目標的擴展狀態(tài)Xk之間存在一種非常特殊的關系，即規(guī)模越大的群目標的運動不確定性越大，群的行為越難以預測．

2 群目標自適應跟蹤算法

2.1 問題分析

通過分析可知，文獻［3］重點在于推導xk和Xk的濾波更新步驟，而忽略了跟蹤模型和擴展狀態(tài)預測參數(shù)的優(yōu)化．本文通過大量仿真實驗驗證，這兩者的優(yōu)化對群目標的跟蹤結果同樣具有重要的影響．具體表現(xiàn)在以下幾個方面:

1)文獻［3］的方法是建立在Singer模型的基礎上，這種模型在群目標勻速飛行的過程中，可以取得比較好的跟蹤效果.但是一旦群目標發(fā)生機動時，比如轉彎運動時，跟蹤效果會變差.而“當前”統(tǒng)計(CS)模型對機動目標的跟蹤效果較好，因此，可以考慮采用“當前”統(tǒng)計模型用于對群質心的跟蹤.

2)群擴展狀態(tài)Xk的估計主要是受群目標量測和擴展自由度的影響．文獻［3］在估計Xk時，將擴展自由度按照先驗知識設定成一個固定參數(shù)．當群目標發(fā)生機動時，此時群目標的擴展狀態(tài)會發(fā)生變化，采用固定參數(shù)的方法會導致較大的估計誤差．因此，需要考慮對擴展自由度進行自適應調(diào)整．

3)群目標的機動形式還包括群的分裂和合并，而一旦群產(chǎn)生分裂或合并時，群的質心狀態(tài)和擴展狀態(tài)會發(fā)生很大的變化，因此需要及時增加或刪除群目標的跟蹤航跡，否則會帶來很大的跟蹤誤差.因此，需要尋找一種簡單快速的判定方法，可以迅速判別群目標是否發(fā)生分裂或者合并.

2.2 群質心運動模型

CS模型主要依賴于模型自身的兩個參數(shù):加速度極限值和機動頻率.當兩者取值過大時，則跟蹤勻速運動或者不具有較大機動加速度目標時其性能較差;取值較小時則跟蹤突發(fā)強機動目標時其收斂速度較慢，算法的實時性降低，一旦目標機動超過預先設定的值，其跟蹤性能將明顯惡化.因此利用MCS模型來描述群質心的運動，利用群質心的速度預測值和估計值間的偏差對系統(tǒng)噪聲方差進行自適應調(diào)整，確保算法可以有效跟蹤群的勻速或弱機動情況;并引入強跟蹤濾波中的漸消因子，利用殘差信息對質心狀態(tài)協(xié)方差進行修正，確保算法有效跟蹤群的突發(fā)機動情況.

群質心的狀態(tài)轉移方程:

式中:T為采樣周期，α為機動時間常數(shù)的倒數(shù)(機動頻率)．另外，過程噪聲，且有

因此，修正后的系統(tǒng)噪聲方差為式(29)．式中，β為大于零的量綱變換系數(shù)．

針對群目標發(fā)生突發(fā)機動時，式(10)中預測誤差協(xié)方差Pk|k-1不能隨殘差改變的缺點，引入強跟蹤濾波器中的時變漸消因子［13］．依據(jù)目標運動情況實時調(diào)整增益，強迫輸出殘差近似為高斯白噪聲，最大限度提取輸出殘差中的有效信息，因此設置的漸消因子為

其中，

式中:γ(k)=zk-Hxk|k-1，γ(1)是初始殘差;ρ(0＜ρ≤1)是遺忘因子，一般取ρ=0.95;ξ(ξ≥1)是弱化因子，可以使狀態(tài)估計值更加平滑．

因此，修正后的Pk|k-1為

2.3 擴展狀態(tài)預測參數(shù)的自適應輸出

由前述可知，擴展狀態(tài)的預測是通過逆Wishart分布的自由度的調(diào)整來實現(xiàn)［9-10］:由式(12)可知，τ為一時間參數(shù)，反映的是擴展狀態(tài)隨時間變化的敏捷度．假設f(τ)為擴展狀態(tài)預測參數(shù)，即f(τ)=exp(-T/τ)．通過采用模糊推理的方法［14-15］，將擴展狀態(tài)對應的橢圓面積預測值和估計值的偏差以及偏差變化率作為模糊輸入量，從而計算出f的輸出值．具體步驟如下:

1)輸入?yún)?shù)的歸一化

由于Xk的特征值對應著擴展橢圓半軸長的平方，因此不妨假設Xk的特征值為λ1和λ2(d=2)，則對應的擴展橢圓的面積下標和X下標相對應)．定義擴展橢圓相對面積差

定義擴展橢圓面積差變化率

2)輸入?yún)?shù)的模糊化

定義輸入變量 ΔS和 ΔS'的模糊集為 ZE(零)，SP(正小)，MP(正中)，LP(正大).隸屬度函數(shù)采用梯形函數(shù)，見圖1所示.

圖1 ΔS和ΔS'的隸屬度函數(shù)

3)模糊邏輯規(guī)則的設置

確定輸出f的值域.由于T/τ＞0，可得0＜f(τ)＜1．將輸出變量的模糊集為分ZE，SP，MP，LP，VP(正很大)，EP(正極大)，制定模糊推理規(guī)則，如表1所示.

表1 f的模糊關系

①f隨著輸入變量ΔS和ΔS'的增大而增大;

②當ΔS和ΔS'屬于模糊集ZE或者SP時，表明群目標整體機動變化很小，此時擴展狀態(tài)的預測參數(shù)值可信度很大，表1選擇模糊集ZE和SP，可以選擇輸出較大的f值;

③當ΔS和ΔS'屬于模糊集MP或者LP時，表明群目標整體處于強機動，此時擴展狀態(tài)的預測值可信度較小，量測修正的作用在增加.表1選擇模糊集EP，選擇輸出較小的f值;

④當ΔS和ΔS'屬于其他情況時，表明群目標整體處于弱機動，此時f的值應選擇適中，因此表1中其余項選擇模糊集MP、LP和VP.

f的隸屬度函數(shù)如圖2所示.

圖2 f的隸屬度函數(shù)

4)輸出參數(shù)解模糊

采用重心解模糊法得到f的精確值

式中:μi為圖2中對應f模糊集的隸屬度，Gi則為各個模糊集的重心．

2.4 群分裂/合并機動的判定

通過對群運動的分析可知，當群分裂成不同子群時，群的擴展狀態(tài)Xk出現(xiàn)異常情況，如群整體的橢圓面積發(fā)生很大改變，而此時即便增大質心濾波中的過程噪聲方差Q，也無法有效預測群的運動行為．

主要采用Xk|k對應著的擴展橢圓的面積Sk=進行判斷(d=2)．為了降低估計誤差的影響，設計分裂/合并機動的判斷步驟如下:

首先，根據(jù)滑動窗長度為N的擴展橢圓的面積積累值計算得到平均值:

然后，計算當前時刻擴展橢圓的面積的變化量:

最后，如果從k時刻起連續(xù)t個采樣時刻內(nèi)，都有，則判斷此時出現(xiàn)分裂機動．如果連續(xù)t個采樣時刻都有，則判斷此時出現(xiàn)合并機動．其中，t和的具體取值視實際情況而定．一旦判定分裂或合并，就要增加或刪除相應的群目標航跡．

3 仿真實驗

3.1 群目標轉彎場景

為了對比本文算法與文獻［3］、［10］算法的性能，設置了二維空間內(nèi)由5個目標構成的群目標的運動場景.群內(nèi)目標并排成直線，彼此互相間隔500 m進行編隊.傳感器的掃描間隔T=10 s，其中在x軸和y軸的量測誤差的標準差分別為σx=300 m和σy=100 m.為了簡化傳感器分辨率模型，假設每個目標的探測概率Pd=80%.群目標飛行總時長為65T，開始以v=300 m/s進行勻速飛行，在第10T～42T和52T～54T內(nèi)分別依次執(zhí)行一個360°和一個45°．的勻速轉彎運動(徑向加速度分別為0.5 g和1 g).文獻［3］、［10］按照原文設置，采用的是Singer模型，本文使用的是MCS模型，其中機動頻率都設置為α=0.1．擴展狀態(tài)的自由度初始值a1=50，擴展狀態(tài)變化率τ=5T．運行M=50次Monte Carlo仿真，本文提出的自適應跟蹤算法與文獻［3］、［10］算法進行比較，3種算法的群質心位置、速度和擴展狀態(tài)的均方根誤差(RMSE)如圖3～5所示，其中RMSE的計算公式見文獻［10］.

圖3 群質心位置均方根誤差

圖4 群質心速度均方根誤差

圖5 擴展狀態(tài)均方根誤差

由圖3、4可知，本文算法通過采用MCS模型，利用速度預測值和估計值的偏差來修正過程噪聲方差，并根據(jù)量測殘差大小實時調(diào)整漸消因子大小，從而自適應調(diào)整群質心的狀態(tài)協(xié)方差的更新，尤其當群目標發(fā)生突然機動時(如仿真中的采樣點42T和53T)，本文算法能夠自適應調(diào)整有關濾波參數(shù)，降低算法估計的均方根誤差.與文獻［3］、［10］算法的整體估計結果對比，本文估計的群質心位置和速度的均方根誤差更小，估計的精度更優(yōu).

由圖5可知，在估計的前段，由于缺乏擴展狀態(tài)預測的先驗信息，估計精度要略低于文獻［10］算法，但要高于文獻［3］算法.而隨著算法運行的逐漸穩(wěn)定，估計精度要逐漸優(yōu)于文獻［10］，尤其是當群整體形狀發(fā)生突然改變時，本文算法對擴展狀態(tài)估計的自適應調(diào)整明顯更快，具有更優(yōu)的估計精度.

3.2 群目標分裂機動場景

參照文獻［9］的仿真實驗，本文設置了一個群目標的分裂機動場景，仍然沿用上一仿真實驗的目標參數(shù)設置.群內(nèi)目標并排成直線，彼此互相間隔500 m進行編隊.群目標飛行總時長為30T，開始以勻速v=300 m/s進行飛行，在10T～15T內(nèi)執(zhí)行一個90°的勻速轉彎運動(徑向加速度為1 g)，最后在24T～30T執(zhí)行分裂機動．

圖6 群目標跟蹤場景

圖6(a)展示了群目標的量測數(shù)據(jù)，圖6(b)展示了運用本文算法對群目標的跟蹤效果圖，其中*號代表質心的估計位置，橢圓代表群的擴展狀態(tài)的估計結果.從圖6中可知，當群目標在直線飛行時，可以較準確地估計群質心和擴展狀態(tài)，當發(fā)生轉彎機動時，估計誤差會出現(xiàn)增大的情況，但是本文算法能夠對跟蹤結果迅速進行自適應調(diào)整.當群目標在執(zhí)行分裂機動時，此時估計的擴展狀態(tài)的橢圓面積迅速增大，并且此時擴展狀態(tài)的估計效果受量測丟失情況的影響很大.通過上述結果可知，本文算法的跟蹤結果可以較好反映出群目標的分裂機動情況.圖7是滑動窗長度設置為N=3時，采用分裂判定方法的輸出結果.

從圖7中可以直觀發(fā)現(xiàn)，在跟蹤過程中，輸出結果有兩個增長的采樣區(qū)間，分別對應著群目標的轉彎機動和分裂機動.不同之處在于，前者增長的持續(xù)采樣區(qū)間和變化幅度都遠小于后者，因此容易通過設置合理門限，檢測出群目標的分裂機動.

圖7 分裂判定算法的輸出結果

4 結語

本文提出了一種改進的群目標自適應跟蹤算法，該算法利用群質心的速度預測值和估計值的偏差和輸入殘差大小，自適應調(diào)整群質心的過程噪聲方差和質心狀態(tài)協(xié)方差估計，提高了群質心在機動或者弱機動情況下的跟蹤精度.在擴展狀態(tài)估計中，將擴展狀態(tài)對應的橢圓面積預測值和估計值的偏差及其變化率作為輸入?yún)?shù)，利用模糊推理方法自適應輸出擴展狀態(tài)的預測值，提高了算法對群擴展狀態(tài)在發(fā)生突發(fā)機動時的跟蹤精度.另外通過分析群目標的分裂原理，設置了分裂機動的判決方法.仿真結果表明本文算法對群目標具有較好的自適應跟蹤能力，并且能有效檢測出群的分裂機動.

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