趙霞

二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位非常重要，它的單調(diào)性由a、b決定，即當(dāng)a>0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調(diào)遞減，在[-b12a，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調(diào)遞增，在[-b12a，+∞）上單調(diào)遞減.它的單調(diào)性比較復(fù)雜，因此對于求二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題，特別是含參數(shù)的最值問題較麻煩，一直是高中數(shù)學(xué)中的難點.下面筆者分三種類型進(jìn)行分析.

一、定軸定區(qū)間問題

當(dāng)函數(shù)的對稱軸確定，所給區(qū)間也確定時，可直接利用單調(diào)性求其最值.

【例1】已知函數(shù)f（x）=x2-2x+3，求滿足下列條件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的對稱軸是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上單調(diào)遞減；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上單調(diào)遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，3]上單調(diào)遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、動軸定區(qū)間問題

當(dāng)函數(shù)的對稱軸不確定，所給區(qū)間確定時，需要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分對稱軸在區(qū)間左、區(qū)間中、區(qū)間右三種情況討論.

【例2】已知函數(shù)f（x）=ax2-x+2a-1（a為實常數(shù)）.設(shè)f（x）在[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式.

解析：（1）若a=0，則f（x）=-x-1在[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，則f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）圖像的對稱軸是直線x=112a.

①當(dāng)a<0時，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3；

②當(dāng)0<112a<1，即a>112時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，g（a）=f（1）=3a-2；

③當(dāng)1≤112a≤2，即114≤a≤112時，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④當(dāng)112a>2，即0

綜上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

.

當(dāng)二次項系數(shù)不確定時，需要討論二次項系數(shù)的符號，當(dāng)二次項系數(shù)為0時，f（x）是一次函數(shù)，單調(diào)性確定，直接求最值即可；當(dāng)二次項系數(shù)為正數(shù)時，函數(shù)開口向上，此時，需討論對稱軸與區(qū)間的位置；當(dāng)二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，函數(shù)開口向下，對稱軸在區(qū)間的左側(cè)，直接求解.

三、定軸動區(qū)間問題

當(dāng)函數(shù)的對稱軸確定，所給區(qū)間不確定時，仍需要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分對稱軸在區(qū)間左、區(qū)間中、區(qū)間右三種情況討論.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值為h（t），寫出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的對稱軸為x=-312，

①當(dāng)t+1≤-312，即t≤-512時，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②當(dāng)t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③當(dāng)t>-312時，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

綜上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：定軸定區(qū)間、動軸定區(qū)間、定軸動區(qū)間，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵是弄清對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，要考慮二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間的某側(cè)還是在區(qū)間內(nèi)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)對稱軸在區(qū)間內(nèi)部時，還要考慮區(qū)間的兩個端點與對稱軸的距離的遠(yuǎn)近，當(dāng)開口向上時，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，離對稱軸越近，函數(shù)值越??；反之，當(dāng)開口向下時，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，離對稱軸越近，函數(shù)值越大.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）

二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位非常重要，它的單調(diào)性由a、b決定，即當(dāng)a>0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調(diào)遞減，在[-b12a，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調(diào)遞增，在[-b12a，+∞）上單調(diào)遞減.它的單調(diào)性比較復(fù)雜，因此對于求二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題，特別是含參數(shù)的最值問題較麻煩，一直是高中數(shù)學(xué)中的難點.下面筆者分三種類型進(jìn)行分析.

一、定軸定區(qū)間問題

當(dāng)函數(shù)的對稱軸確定，所給區(qū)間也確定時，可直接利用單調(diào)性求其最值.

【例1】已知函數(shù)f（x）=x2-2x+3，求滿足下列條件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的對稱軸是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上單調(diào)遞減；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上單調(diào)遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，3]上單調(diào)遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、動軸定區(qū)間問題

當(dāng)函數(shù)的對稱軸不確定，所給區(qū)間確定時，需要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分對稱軸在區(qū)間左、區(qū)間中、區(qū)間右三種情況討論.

【例2】已知函數(shù)f（x）=ax2-x+2a-1（a為實常數(shù)）.設(shè)f（x）在[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式.

解析：（1）若a=0，則f（x）=-x-1在[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，則f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）圖像的對稱軸是直線x=112a.

①當(dāng)a<0時，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3；

②當(dāng)0<112a<1，即a>112時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，g（a）=f（1）=3a-2；

③當(dāng)1≤112a≤2，即114≤a≤112時，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④當(dāng)112a>2，即0

綜上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

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當(dāng)二次項系數(shù)不確定時，需要討論二次項系數(shù)的符號，當(dāng)二次項系數(shù)為0時，f（x）是一次函數(shù)，單調(diào)性確定，直接求最值即可；當(dāng)二次項系數(shù)為正數(shù)時，函數(shù)開口向上，此時，需討論對稱軸與區(qū)間的位置；當(dāng)二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，函數(shù)開口向下，對稱軸在區(qū)間的左側(cè)，直接求解.

三、定軸動區(qū)間問題

當(dāng)函數(shù)的對稱軸確定，所給區(qū)間不確定時，仍需要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分對稱軸在區(qū)間左、區(qū)間中、區(qū)間右三種情況討論.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值為h（t），寫出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的對稱軸為x=-312，

①當(dāng)t+1≤-312，即t≤-512時，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②當(dāng)t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③當(dāng)t>-312時，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

綜上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：定軸定區(qū)間、動軸定區(qū)間、定軸動區(qū)間，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵是弄清對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，要考慮二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間的某側(cè)還是在區(qū)間內(nèi)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)對稱軸在區(qū)間內(nèi)部時，還要考慮區(qū)間的兩個端點與對稱軸的距離的遠(yuǎn)近，當(dāng)開口向上時，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，離對稱軸越近，函數(shù)值越小；反之，當(dāng)開口向下時，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，離對稱軸越近，函數(shù)值越大.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）

二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位非常重要，它的單調(diào)性由a、b決定，即當(dāng)a>0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調(diào)遞減，在[-b12a，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調(diào)遞增，在[-b12a，+∞）上單調(diào)遞減.它的單調(diào)性比較復(fù)雜，因此對于求二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題，特別是含參數(shù)的最值問題較麻煩，一直是高中數(shù)學(xué)中的難點.下面筆者分三種類型進(jìn)行分析.

一、定軸定區(qū)間問題

當(dāng)函數(shù)的對稱軸確定，所給區(qū)間也確定時，可直接利用單調(diào)性求其最值.

【例1】已知函數(shù)f（x）=x2-2x+3，求滿足下列條件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的對稱軸是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上單調(diào)遞減；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上單調(diào)遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，3]上單調(diào)遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、動軸定區(qū)間問題

當(dāng)函數(shù)的對稱軸不確定，所給區(qū)間確定時，需要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分對稱軸在區(qū)間左、區(qū)間中、區(qū)間右三種情況討論.

【例2】已知函數(shù)f（x）=ax2-x+2a-1（a為實常數(shù)）.設(shè)f（x）在[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式.

解析：（1）若a=0，則f（x）=-x-1在[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，則f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）圖像的對稱軸是直線x=112a.

①當(dāng)a<0時，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3；

②當(dāng)0<112a<1，即a>112時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，g（a）=f（1）=3a-2；

③當(dāng)1≤112a≤2，即114≤a≤112時，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④當(dāng)112a>2，即0

綜上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

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當(dāng)二次項系數(shù)不確定時，需要討論二次項系數(shù)的符號，當(dāng)二次項系數(shù)為0時，f（x）是一次函數(shù)，單調(diào)性確定，直接求最值即可；當(dāng)二次項系數(shù)為正數(shù)時，函數(shù)開口向上，此時，需討論對稱軸與區(qū)間的位置；當(dāng)二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，函數(shù)開口向下，對稱軸在區(qū)間的左側(cè)，直接求解.

三、定軸動區(qū)間問題

當(dāng)函數(shù)的對稱軸確定，所給區(qū)間不確定時，仍需要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分對稱軸在區(qū)間左、區(qū)間中、區(qū)間右三種情況討論.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值為h（t），寫出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的對稱軸為x=-312，

①當(dāng)t+1≤-312，即t≤-512時，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②當(dāng)t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③當(dāng)t>-312時，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

綜上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：定軸定區(qū)間、動軸定區(qū)間、定軸動區(qū)間，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵是弄清對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，要考慮二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間的某側(cè)還是在區(qū)間內(nèi)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)對稱軸在區(qū)間內(nèi)部時，還要考慮區(qū)間的兩個端點與對稱軸的距離的遠(yuǎn)近，當(dāng)開口向上時，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，離對稱軸越近，函數(shù)值越?。环粗?，當(dāng)開口向下時，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，離對稱軸越近，函數(shù)值越大.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）