李宏男+王大東

文章編號：16732049(2014)02002006

收稿日期：20140407

基金項目：國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（“九七三”計劃）項目（2011CB013605），國家自然科學(xué)基金重大國際合作項目（51261120375）；國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究群體基金項目（51121005）



摘要：采用通用有限元軟件ABAQUS實現(xiàn)了精細(xì)單元與粗糙單元之間的界面耦合及變形協(xié)調(diào)，并通過算例驗證了結(jié)構(gòu)多尺度有限元分析方法的有效性和精確性?；诙喑叨确椒ǎY(jié)合纖維模型子程序與混凝土塑性損傷模型，對鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進行多尺度建模，并進行了彈塑性時程分析及局部構(gòu)件損傷分析。結(jié)果表明：對于大型結(jié)構(gòu)或復(fù)雜結(jié)構(gòu)來說，多尺度計算可較好地模擬局部構(gòu)件的復(fù)雜邊界條件，為大型工程結(jié)構(gòu)進行多尺度計算提供參考。

關(guān)鍵詞：多尺度方法；有限元模型；界面耦合；彈塑性時程分析；損傷分析

中圖分類號：TU311.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Multiscale Finite Element Modeling and Numerical Analysis of Reinforced Concrete Structure

LI Hongnan, WANG Dadong

Abstract: To accomplish a reliable interfacial coupling between refined element and coarse element, a method was proposed by using general finite element software ABAQUS. Meanwhile,two simple models were calculated to verify the effectiveness and accuracy of the multiscale finite element analysis method of the structures. Based on multiscale method, the elastoplastic time history analysis and local members damage analysis of a reinforced concrete (RC) frame structure were carried out through a fiber model subroutine and concrete plastic damage model. The results show that for the large structures or complicated structures, the problem of complex boundary conditions of local members can be solved efficiently. It can provide reference to the multiscale calculation of the large scale engineeringstructures.

Key words: multiscale method; finite element model; interfacial coupling; elasticplastic time history analysis; damage analysis

0引 言

多尺度科學(xué)是一門研究不同尺度之間相互耦合現(xiàn)象的科學(xué)，可以定義為：物質(zhì)(或事物)的尺度(或規(guī)模等)對其某種作用、效應(yīng)或性質(zhì)的一種影響關(guān)系［1］。多尺度方法在眾多領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，而在有限元分析中，無論是不同類型的單元還是同類型不同尺度的單元，對同一個模型分析時，都會產(chǎn)生這種效應(yīng)。對于結(jié)構(gòu)多尺度有限元分析，常采用不同類型和尺度的單元來模擬結(jié)構(gòu)的不同部分，如梁單元和殼單元可以用來模擬尺度較大的構(gòu)件(梁、柱、墻、板等)，實體單元則可以用來模擬尺度較小的細(xì)部構(gòu)件或關(guān)鍵構(gòu)件(節(jié)點等)。在同一模型中，當(dāng)采用不同類型的單元模擬不同尺度的構(gòu)件時，需要建立不同單元之間合理的連接方式，使得各種單元可以協(xié)同工作。

在結(jié)構(gòu)多尺度有限元分析領(lǐng)域內(nèi)，各國研究者對多尺度計算進行了初步的研究探索和實踐，Dhia等［23］利用ARLEQUIN方法耦合2種不同的力學(xué)模型，在耦合區(qū)域內(nèi)2種模型進行能量分配并通過耦合算子進行耦合；Rannou等［45］基于XFEM和全局多重網(wǎng)格法對結(jié)構(gòu)進行裂紋擴展分析，并對一個簡單的結(jié)構(gòu)進行三維疲勞裂紋擴展的多尺度分析；李兆霞等［67］基于多點約束提出大跨橋梁結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)和損傷累計的多尺度數(shù)值模擬方法，同時考慮了焊接構(gòu)件在焊接的局部劣化以及局部劣化對橋梁整體結(jié)構(gòu)的影響；林旭川等［8］探討了有限元微觀單元與宏觀單元的界面連接方法，通過通用有限元軟件MSC.MARC提供的節(jié)點局部坐標(biāo)系、節(jié)點自由度耦合功能和用戶自定義子程序功能，實現(xiàn)了不同尺度單元界面的連接。喬華等［9］采用ARLEQUIN方法與擴展有限元法相結(jié)合進行結(jié)構(gòu)的多尺度數(shù)值模擬，基于MATLAB軟件編制了多尺度分析程序，并對一中心帶圓孔的方板在受水平均布拉力作用下的孔口應(yīng)力集中問題進行了分析。由上述可知，目前對于混凝土這類本構(gòu)關(guān)系復(fù)雜的復(fù)合材料進行的結(jié)構(gòu)多尺度有限元分析仍較少。

本文中筆者通過通用有限元軟件ABAQUS中Couple功能，利用參照點來約束耦合面上的耦合點，實現(xiàn)不同尺度模型之間的變形協(xié)調(diào)?；谏鲜鏊枷?，對一懸臂梁結(jié)構(gòu)進行了多尺度數(shù)值模擬分析。通過對自由度的耦合來實現(xiàn)不同尺度單元間的協(xié)同工作，完成了局部精細(xì)模型和整體結(jié)構(gòu)模型相結(jié)合的多尺度計算。結(jié)果表明，多尺度有限元分析可以保證計算效率，而且能夠準(zhǔn)確地模擬局部構(gòu)件的受力情況。在平面框架多尺度彈塑性時程分析中，多尺度分析不僅可以準(zhǔn)確模擬整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，更能有效地模擬局部精細(xì)單元的塑性發(fā)展、損傷分析等過程。

1模擬方法及算例分析

多尺度數(shù)值建模方法

由于不同單元類型節(jié)點的自由度和精度不同，當(dāng)在一個模型中采用不同的單元來模擬結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的不同部分時，不同尺度單元間的界面連接將是保證整個模型能夠運行的最關(guān)鍵步驟。界面連接關(guān)系到單元之間的變形協(xié)調(diào)，從而直接影響模型分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。下面以二維梁單元與實體單元的耦合為例，簡單介紹界面連接的原理與方法，空間三維單元的界面耦合原理與二維單元類似。

圖1為多尺度模型耦合示意。圖1中，以梁單元節(jié)點為參考點，實體單元約束面上的各節(jié)點為耦合點，通過Kinematic Coupling連接來實現(xiàn)耦合?；驹頌椋杭s束區(qū)域視為剛性，此區(qū)域上的各節(jié)點之間的距離保持不變，各節(jié)點與參考點的距離保持不變。在圖1中局部坐標(biāo)系下，以梁單元的節(jié)點B為原點，x軸平行于梁單元的梁軸線，y軸垂直于梁軸線，各節(jié)點位移變化滿足如下規(guī)律

[JZ(]xAi=0 i=1,2，…，n

[FH](1)

[JZ(]yAi=yBi=1,2，…，n

[FH](2)

式中：xAi為約束面上各節(jié)點在局部坐標(biāo)系下x方向的位移；yAi,yB分別為約束面上各節(jié)點在局部坐標(biāo)[JP2]系下y方向的位移和梁單元節(jié)點B在y方向的位移。[JP]

〖TPLhn1.tif；S*5，BP#〗

[TS（][JZ]

[HT5”H][WT5”HZ][ST5”HZ][KG*1][HL（1]圖1[KG2.7mm]多尺度模型耦合示意

Fig.1[KG2.7mm]Coupling Schematic of Multiscale Model

[HL）][TS）]

[HTH][STHZ][WTHZ]1.2[KG2.9mm]混凝土結(jié)構(gòu)的模擬

在進行混凝土結(jié)構(gòu)多尺度有限元分析時，因為選取不同的單元模擬混凝土，所以在鋼筋模擬、混凝土本構(gòu)模型選擇的問題上均有所差異。

本文中的鋼筋混凝土有限元模型通過以下方式進行模擬：混凝土精細(xì)單元采用八節(jié)點三維實體縮減積分單元C3D8R；混凝土粗糙單元采用B31梁單元模型。實體單元中利用Embedded命令，將鋼筋嵌入到混凝土中。梁單元中的鋼筋處理稍復(fù)雜：通過相同類型梁單元疊加的等效模擬方法來實現(xiàn)截面配筋。利用*Elcopy命令將鋼筋、混凝土分為2個相同類型的梁單元，然后讓這些梁單元共用節(jié)點。由于梁單元類型相同，梁單元共用節(jié)點，可以保證梁單元中任意點位移協(xié)調(diào)與平截面假定成立，從而實現(xiàn)模型的等效模擬。

梁單元混凝土本構(gòu)模型結(jié)合通用有限元軟件ABAQUS的隱式算法，利用潘鵬等提供的基于纖維模型的鋼筋與混凝土的材料子程序PQFiber進行模擬?；炷帘緲?gòu)關(guān)系根據(jù)混凝土規(guī)范的混凝土骨架曲線定義，輸出的狀態(tài)變量包括受壓殘余應(yīng)變(卸載至應(yīng)力為0時的壓應(yīng)變)、卸載/再加載剛度、截面的屈服狀態(tài)等。

混凝土實體單元選取混凝土塑性損傷本構(gòu)模型，對于應(yīng)力硬化，在ABAQUS中提供2種定義方法：基于應(yīng)力應(yīng)變的行為和斷裂能的行為。經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，采用應(yīng)力應(yīng)變行為具有更好的收斂性和控制性。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系按《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB 50010—2010)來模擬，該模型中受拉、受壓損傷因子dc，dt的計算公式分別為

dc=1-[SX(]σcE-10 εplc(1/bc-1)+σcE-10[SX)]

[FH](3)

dt=1-[SX(]σtE-10 εplt(1/bt-1)+σtE-10[SX)]

[FH](4)

式中：εplc，εplt分別為受壓、受拉階段塑性應(yīng)變；σc，σt分別為壓應(yīng)力和拉應(yīng)力；bc，bt分別為單軸受壓、受拉情況下塑性應(yīng)變與非彈性應(yīng)變的比值，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)取值，由循環(huán)荷載卸載再加載應(yīng)力路徑來標(biāo)定，此處分別取為0.7，0.1［10］。

[HTH][STHZ][WTHZ]1.3[KG2.9mm]算例分析

以某一鋼筋混凝土懸臂梁為分析對象，其截面尺寸為0.5 m×0.5 m，梁長為4 m，分別在自由端施加線性動荷載及不規(guī)則的震蕩荷載?；炷翗?gòu)件多尺度模型如圖2所示，取局部精細(xì)區(qū)域內(nèi)節(jié)點1和節(jié)點2的混凝土應(yīng)力以及自由端位移為參考值進行比較，以此來驗證這種多尺度分析的精確性。

〖TPLhn2.tif；S*2，BP#〗

[TS（][JZ]

[HT5”H][WT5”HZ][ST5”HZ][KG*1][HL（1]圖2[KG2.7mm]混凝土構(gòu)件多尺度模型

Fig.2[KG2.7mm]Multiscale Model of Concrete Member

[HL）][TS）]

圖3，4分別為3種模型在線性動荷載下節(jié)點1和節(jié)點2正應(yīng)力時程曲線。由圖3，4可知，多尺度模型時程曲線變化趨勢與精細(xì)尺度模型非常接近，應(yīng)力達(dá)到屈服時間以及屈服應(yīng)力的大小幾乎相等。圖5，6分別為不規(guī)則荷載下3種模型正應(yīng)力時程曲線與自由端縱向位移時程曲線。由圖5，6可以看出：多尺度模型整體的曲線變化與精細(xì)尺度模型差距并不大；各模型時程曲線變化趨勢基本一致，多尺度模型上各節(jié)點的參數(shù)值與精細(xì)尺度模型上節(jié)點的[CM(22]更為接近。從結(jié)構(gòu)多尺度分析的目的來看，本文中[CM)]

圖3線性動荷載下節(jié)點1正應(yīng)力時程曲線

Fig.3]Normal Stress Time History Curves of Node 1 UnderLinear Dynamic Load

圖4線性動荷載下節(jié)點2正應(yīng)力時程曲線

Fig.4Normal Stress Time History Curves of Node 2 UnderLinear Dynamic Load

圖5不規(guī)則荷載下節(jié)點1正應(yīng)力時程曲線

Fig.5Normal Stress Time History Curves of Node 1 UnderAbnormal Dynamic Load

圖6不規(guī)則荷載下自由端縱向位移時程曲線

Fig.6[Longitudinal Displacement Time History Curves of Free End Under Abnormal Dynamic Load

的耦合方法保證了關(guān)鍵構(gòu)件或部位的計算精度。表1中給出了各模型分析過程的計算時間。由表1可知，在線性動荷載與震蕩荷載作用下，多尺度模型

表1各模型的計算時間

Tab.1Computational Time of Models

荷載類型

計算時間/s

粗糙尺度模型 精細(xì)尺度模型 多尺度模型R/%

線性動荷載 80.4 231.7 124.0 46

震蕩荷載 633.3 1 789.6 1 332.5 26

注：R為多尺度模型計算時間相對精細(xì)尺度模型減小的百分比。

的計算時間相對精細(xì)尺度模型分別減少了46%和26%。綜上可知，該方法提供了有限元分析精度和計算效率之間的一種平衡，多尺度模型可以較為準(zhǔn)確地模擬局部構(gòu)件的受力情況，從而更有效地把握局部構(gòu)件和整個結(jié)構(gòu)的性能。

2框架結(jié)構(gòu)多尺度彈塑性時程分析

模型參數(shù)的選取

本文中參考常見的鋼筋混凝土框架的結(jié)構(gòu)布局，選擇四層三跨的鋼筋混凝土平面框架為研究對象，框架的具體尺寸為：混凝土柱為450 mm×450 mm，梁截面為600 mm×300 mm，底層高為4.2 m，其余各層高度均為3.6 m，跨度分別為7.2，2.4，7.2 m，混凝土強度等級為C30，鋼材強度為HRB335，模擬方法如第1節(jié)所述。所選用地震波為El Centro波，輸入波形見圖7，加載步為1 000步，時間間隔為0.02 s，時間總長為20 s。需要說明的是，對于大型工程結(jié)構(gòu)來說，將整個結(jié)構(gòu)完全用精細(xì)單元模擬不僅是計算條件不允許的，更是對計算資源的一種浪費，因此只考慮粗糙尺度模型和多尺度模型。

圖7El Centro波

Fig.7El Centro Seismic Waves

過程分析

建立粗糙單元模型后，通過屈服面的分布狀態(tài)云圖以及等效塑性應(yīng)變云圖變化，確定容易發(fā)生破壞的構(gòu)件或?qū)φw結(jié)構(gòu)性能影響較大的構(gòu)件位置。圖8為框架頂層負(fù)方向最大水平位移時刻(t=2.18 s)與正方向最大水平位移時刻(t=12.24 s)的屈服面分布狀態(tài)云圖，圖8中虛線圈出的部分為屈

圖8屈服面分布狀態(tài)云圖

Fig.8[KG2.7mm]Clouds of Yield Surface Distribution

[HL）][TS）]

服面的分布情況，此處屈服面的輸出值為1，即截面的屈服表現(xiàn)為鋼筋受拉屈服（輸出值為-1表示混凝土壓碎，輸出值為0表示未屈服）。從圖8可以看出，t=2.18，12.24 s變化過程中結(jié)構(gòu)屈服面分布情況并未產(chǎn)生太大變化，框架最右側(cè)邊節(jié)點處屈服面向梁端延伸，變化主要為屈服面內(nèi)材料塑性的發(fā)展，所以圖8中無法充分體現(xiàn)?？紤]到鋼筋的塑性性能發(fā)展，僅以鋼筋屈服的截面來判斷破壞構(gòu)件顯然是過于保守的。圖9為t=2.18,12.24 s這2個時刻等效塑性應(yīng)變云圖，圖9中虛線圈出的部分為等效塑性應(yīng)變較大的截面，其中的數(shù)值為節(jié)點區(qū)域內(nèi)等效塑性應(yīng)變最大值，由此可確定該結(jié)構(gòu)的精細(xì)尺度構(gòu)件位置為第1層中間2個節(jié)點，建立多尺度模型并進行分析，將左側(cè)節(jié)點作為節(jié)點1，右側(cè)節(jié)點作為節(jié)點2。

〖TPLhn9.tif；S*3，BP#〗

[TS（][JZ]

[HT5”H][WT5”HZ][ST5”HZ][KG*1][HL（1]圖9[KG2.7mm]等效塑性應(yīng)變云圖

Fig.9[KG2.7mm]Clouds of Equivalent Plastic Strain

[HL）][TS）]

由以上分析過程可確定，第1層中間2個節(jié)點為關(guān)鍵構(gòu)件，鋼筋混凝土框架多尺度模型如圖10所示。結(jié)合混凝土塑性損傷本構(gòu)的特點，即拉力作用下的開裂失效和壓力作用下的壓碎2個失效機制，對局部精細(xì)尺度模型進行分析。圖11為2種模型框架頂層相對位移對比，2種模型框架頂層位移的變化趨勢基本一致，這也在一定程度上驗證了多尺度方法的精確性。圖12,13分別給出了節(jié)點1在多尺度框架頂層負(fù)方向最大水平位移時刻(t=2.28 s)與正方向最大水平位移時刻(t=5.16 s)的受拉和受壓損傷云圖(由于節(jié)點2的分析方法與之相同，此

]圖10鋼筋混凝土框架多尺度模型

Fig.10]Multiscale Model of Reinforced Concrete Frame

圖112種模型頂層相對位移對比

Fig.11Comparisons of Relative Top Displacements of Two Models

圖12t=2.28 s時節(jié)點1受拉、受壓損傷云圖

Fig.12 Clouds of Tensile Damage and Compressive Damage of Node 1 when t=2.28 s

]圖13t=5.16 s時節(jié)點1受拉、受壓損傷云圖

Fig.13Clouds of Tensile Damage and Compressive Damage of Node 1 when t=5.16 s

圖14t=2.28,5.16 s時節(jié)點1最大主塑性應(yīng)變方向

Fig.14Symbols on Maximum Principal Plastic Strain of Node 1 when t=2.28, 5.16 s

處不再贅述)，以此來判斷混凝土損傷的狀態(tài)。由圖12（a）可以看出，受拉損傷因子偏大且集中的區(qū)域主要為梁的右邊緣和柱的下邊緣。圖14為在t=2.28，5.16 s時節(jié)點1最大主塑性應(yīng)變方向。Lubliner等［11］提出，最大主塑性應(yīng)變的方向與裂縫開展平面垂直，利用塑性損傷模型可以根據(jù)積分點處最大主塑性應(yīng)變的方向來觀察裂縫發(fā)展情況。圖13和圖14（b）基本說明了這2個時刻的區(qū)域塑性損傷與裂縫的繼續(xù)發(fā)展。由于圖12與圖13中受壓損傷因子值普遍低，認(rèn)為該節(jié)點在此過程中沒有壓碎失效。

通過該算例可知，多尺度數(shù)值模擬可以較為準(zhǔn)確地模擬整體結(jié)構(gòu)的受力情況，而且能夠直觀有效地把握局部構(gòu)件的性能，如損傷演變、裂縫發(fā)展等過程。

3結(jié)語

(1)通過通用有限元軟件ABAQUS中Couple功能，利用參照點來約束耦合面上的耦合點，實現(xiàn)不同尺度模型之間的變形協(xié)調(diào)，通過不同的算例驗證該方法的有效性和準(zhǔn)確性。結(jié)果表明，該方法可有效實現(xiàn)不同尺度模型之間的變形協(xié)調(diào)，多尺度有限元分析可在不降低計算精度的前提下，提高了計算效率，是精度與計算效率之間的平衡。

(2)多尺度有限元分析可結(jié)合不同的本構(gòu)模型，對混凝土結(jié)構(gòu)進行分析。本文中結(jié)合纖維模型子程序與混凝土塑性損傷模型，以平面框架多尺度分析實例，在整體結(jié)構(gòu)彈塑性時程分析中考察局部節(jié)點的受力性能，通過該方法對節(jié)點的損傷演變、裂縫方向等進行了分析。相對于單一的梁單元模型，該方法分析過程更為直觀，可以更好地反映其材料開裂、屈服、失穩(wěn)等局部非線性行為。多尺度計算可較好地模擬局部構(gòu)件的復(fù)雜邊界條件，為大型工程結(jié)構(gòu)進行多尺度計算提供參考。

參考文獻(xiàn)：

References:

［1］GLIMM J,SHARP D V.Multiscale Science:a Challenge for the Twentyfirst Century［J］.Advances in Mechanics,1998,28(4):545550.

［2］DHIA B D,RATEAU G.Application of the Arlequin Method to Some Structures with Defects［J］.Revue Europenne des lments Finis,2002,11(2/3/4):291304.

［3］DHIA B D,RATEAU G.The Arlequin Method as a Flexible Engineering Design Tool［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering,2005,62(11):14421462.

［4］RANNOU J,GRAVOUIL A,COMBESCURE A.A Multigrid Extend Finite Element Method for Elastic Crack Growth Simulation［J］.European Journal of Computational Mechanics,2007,16(2):161182.

［5］RANNOU J,GRAVOUIL A,BAIETTODUBOURG M C.A Local Multigrid XFEM Strategy for 3D Crack Propagation［J］.International Journal for Numerical Method in Engineering,2008,77(4):581600.

［6］李兆霞,孫正華,郭 力,等.結(jié)構(gòu)損傷一致多尺度模擬和分析方法［J］.東南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,37(2):251260.

LI Zhaoxia,SUN Zhenghua,GUO Li,et al.Concurrent Multiscale Modeling of Structures and Damage Analyses［J］.Journal of Southeast University:Natural Science Edition,2007,37(2):251260.

[CM2-3]［7］孫正華,李兆霞,陳鴻天,等.考慮局部細(xì)節(jié)特性的結(jié)構(gòu)多尺度模擬方法研究［J］.特種結(jié)構(gòu),2007,24(1):7175.

SUN Zhenghua,LI Zhaoxia,CHEN Hongtian,et al.Multiscale Finite Element Analysis Considering Local Details［J］.Special Structures,2007,24(1):7175.

［8］林旭川,陸新征,葉列平.鋼混凝土混合框架結(jié)構(gòu)多尺度分析及其建模方法［J］.計算力學(xué)學(xué)報,2010,27(3):469475,495.

LIN Xuchuan,LU Xinzheng,YE Lieping.Multiscale Finite Element Modeling and Its Application in the Analysis of a Steelconcrete Hybrid Frame［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics,2010,27(3):469475,495.

［9］喬 華,陳偉球.基于ARLEQUIN方法和XFEM的結(jié)構(gòu)多尺度模擬［J］.工程力學(xué),2010,27(增1):2933.

QIAO Hua,CHEN Weiqiu.Multiscale Simulation of Structures Based on ARLEQUIN Method and XFEM［J］.Engineering Mechanics,2010,27(S1):2933.

［10］張戰(zhàn)廷,劉宇峰.ABAQUS中的混凝土塑性損傷模型［J］.建筑結(jié)構(gòu),2011,41(增2):229231.

ZHANG Zhanting,LIU Yufeng.Concrete Damaged Plasticity Model in ABAQUS［J］.Building Structure,2011,41(S2):229231.

［11］LUBLINER J,OLIVER J,OLLER S,et al.A Plasticdamage Model for Concrete［J］.International Journal of Solids and Structures,1989,25(3):299329.

[CM2-3]［7］孫正華,李兆霞,陳鴻天,等.考慮局部細(xì)節(jié)特性的結(jié)構(gòu)多尺度模擬方法研究［J］.特種結(jié)構(gòu),2007,24(1):7175.

SUN Zhenghua,LI Zhaoxia,CHEN Hongtian,et al.Multiscale Finite Element Analysis Considering Local Details［J］.Special Structures,2007,24(1):7175.

［8］林旭川,陸新征,葉列平.鋼混凝土混合框架結(jié)構(gòu)多尺度分析及其建模方法［J］.計算力學(xué)學(xué)報,2010,27(3):469475,495.

LIN Xuchuan,LU Xinzheng,YE Lieping.Multiscale Finite Element Modeling and Its Application in the Analysis of a Steelconcrete Hybrid Frame［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics,2010,27(3):469475,495.

［9］喬 華,陳偉球.基于ARLEQUIN方法和XFEM的結(jié)構(gòu)多尺度模擬［J］.工程力學(xué),2010,27(增1):2933.

QIAO Hua,CHEN Weiqiu.Multiscale Simulation of Structures Based on ARLEQUIN Method and XFEM［J］.Engineering Mechanics,2010,27(S1):2933.

［10］張戰(zhàn)廷,劉宇峰.ABAQUS中的混凝土塑性損傷模型［J］.建筑結(jié)構(gòu),2011,41(增2):229231.

ZHANG Zhanting,LIU Yufeng.Concrete Damaged Plasticity Model in ABAQUS［J］.Building Structure,2011,41(S2):229231.

［11］LUBLINER J,OLIVER J,OLLER S,et al.A Plasticdamage Model for Concrete［J］.International Journal of Solids and Structures,1989,25(3):299329.

[CM2-3]［7］孫正華,李兆霞,陳鴻天,等.考慮局部細(xì)節(jié)特性的結(jié)構(gòu)多尺度模擬方法研究［J］.特種結(jié)構(gòu),2007,24(1):7175.

SUN Zhenghua,LI Zhaoxia,CHEN Hongtian,et al.Multiscale Finite Element Analysis Considering Local Details［J］.Special Structures,2007,24(1):7175.

［8］林旭川,陸新征,葉列平.鋼混凝土混合框架結(jié)構(gòu)多尺度分析及其建模方法［J］.計算力學(xué)學(xué)報,2010,27(3):469475,495.

LIN Xuchuan,LU Xinzheng,YE Lieping.Multiscale Finite Element Modeling and Its Application in the Analysis of a Steelconcrete Hybrid Frame［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics,2010,27(3):469475,495.

［9］喬 華,陳偉球.基于ARLEQUIN方法和XFEM的結(jié)構(gòu)多尺度模擬［J］.工程力學(xué),2010,27(增1):2933.

QIAO Hua,CHEN Weiqiu.Multiscale Simulation of Structures Based on ARLEQUIN Method and XFEM［J］.Engineering Mechanics,2010,27(S1):2933.

［10］張戰(zhàn)廷,劉宇峰.ABAQUS中的混凝土塑性損傷模型［J］.建筑結(jié)構(gòu),2011,41(增2):229231.

ZHANG Zhanting,LIU Yufeng.Concrete Damaged Plasticity Model in ABAQUS［J］.Building Structure,2011,41(S2):229231.

［11］LUBLINER J,OLIVER J,OLLER S,et al.A Plasticdamage Model for Concrete［J］.International Journal of Solids and Structures,1989,25(3):299329.