李巧玲

摘要：本文給出了在定數(shù)截尾情形，在錐序約束α1λ1≤λ2≤α2λ1，α1>0，α2>0，α1≤α2條件下，兩指數(shù)總體均值λ的約束極大似然估計i，i=1，2。證明了i具有比常用估計量Si更小的均方誤差，并且給出了i對Si的漸進(jìn)效率，i=1，2。

關(guān)鍵詞：錐序約束約束極大似然估計均方誤差漸進(jìn)效率

本文首先給出了錐序約束下定數(shù)截尾情形兩指數(shù)總體均值的極大似然估計；然后討論了錐序約束下的極大似然估計的一些性質(zhì)，得出了錐序約束下的極大似然估計具有比常用估計更小的均方誤差，并且給出了錐序約束下的極大似然估計對常用估計的漸近效率。

設(shè)X1，…，Xn1和 Y1，…，Yn2分別為來自均值為λ1和λ2的指數(shù)總體的簡單隨機(jī)樣本，其中α1λ1≤λ2≤α2λ1，α1>0，α2>0，α1≤α2。X(1)，…，X(r)和Y(1)，…，Y(r)分別為(n1，r)和(n2，r)定數(shù)截尾方案下的前r個次序統(tǒng)計量。記

則S1：（r，r/λ1），S2：（r，r/λ2）。

1 錐序約束α1λ1≤λ2≤α2λ1下λi(i=1，2)的約束極大似然估計

①當(dāng)α1S1≤S2≤α2S1時，易知λi在錐序約束下的極大似然估計為Si，i=1，2。

②當(dāng)S2<α1S1時，易知似然函數(shù)應(yīng)在錐的邊界上達(dá)到最大，因此只需考慮參數(shù)空間{(λ1，λ2):λ2=α1λ1}上的點，這相當(dāng)于在約束λ2=α1λ1下求Lagrange函數(shù)G（λ1，λ2，α）=2(lnn！-ln(n-r)！)-rlnλ1-rS1/λ1-rlnλ2-

rS2/λ2+α(λ2-α1λ1)的最大值點，即錐序約束下的極大似然估計。由Lagrange乘子法可得：

解之，得到λ1，λ2在錐序約束下的極大似然估計分別為

③當(dāng)S2>α2S1 時，同②一樣，只需在約束λ2=α2λ1下求Lagrange函數(shù)G(λ1，λ2，α)=2（lnn！-ln(n-r)?。?rlnλ1-rS1/λ1-rlnλ2-rS2/λ2+α（λ2-α1λ1）的最大值點，同樣可得到λ1，λ2在錐序約束下的極大似然估計分別為：

由①，②，③可知在錐序約束α1λ1≤λ2≤α2λ1下，

λ1和λ2的約束極大似然估計分別為

2 均方誤差的比較及對Si的漸進(jìn)效率

本節(jié)我們通過定理1和2證明錐序約束下的極大似然估計具有比常用估計更小的均方誤差，并且給出了錐序約束下的極大似然估計對常用估計的漸近效率。

為了以后討論的方便，記

易見 和R（Si）分別是 和Si的均方誤差，

也是它們在平方損失下的風(fēng)險， 是對Si的

效率。

并且記y1=λ2/α1λ1，y2=λ2/α2λ2，y3=1/y1，y4=1/y2，則y1≥1，0

因

又因S1：（r，r/λ1），S2：（r，r/λ2）且S1與S2相互獨(dú)立，類似于文獻(xiàn)[6]的證明方法，可得

其中

A(y1)=(2r+1)/4(y12-2y1-3)，

B(y1)=1/2(y1+4r+3)>0，

C=-2(2r+3)/4<0。

用同樣的方法我們可以得到

其中

A1(y2)=(2r+1)/4(y22-2y2-3)<0，

B1(y2)=(2r+1)/2(y2-y22)+r(1+y2)>0，

C1(y2)=y22-ny2<0。

對的有關(guān)性質(zhì)，有定理1成立。

定理1

①

②當(dāng)=c0（大于0的常數(shù)）時，有

③當(dāng)a2/a1→+∞時，有 。

證明：

①只需證K1<0，K2≤0。

記f(t)=A(y1)t2+B(y1)t+C則我們可得出當(dāng)A(y1)≠0時，二次方程f(t)=0的兩根分別為：1/(1+y1)，。

當(dāng)A(y1)>0時，1/(1+y1)是唯一的正根；當(dāng)A(y1)<0時，1/(1+y1)是較小正根。

當(dāng)A(y1)=0時，1/(1+y1)是唯一正根。于是當(dāng)t∈[0，1/（1+y1）]時，f(t)<0。于是k1<0。

a記f1(t)=A1(y2)t2+B1(y2)t+C1(y2)

當(dāng)0

b當(dāng)r/(r+1)≤y2≤1時，把K2看作y2的函數(shù)并記φ（y2）=K2，對φ（y2）求二階導(dǎo)數(shù)得

于是當(dāng)y2>r/(r+1)時， >0，即φ（y2）是凸函數(shù)。

又因為

因此當(dāng)y2∈[r/（y+1，1）時，φ（y2）≤0，于是結(jié)論①成立。

②因

a當(dāng)y1>1時，即λ2>α1λ1時，

因y1>1，故（1+y1）2/4y1>1，于是當(dāng)r→∞時，K1→0。

同理可得0

b當(dāng)y1=1時，即λ2<α1λ1時，

由Stirling公式可知當(dāng)r→∞時，

于是當(dāng)n1→∞時，K1→-1/4。

而K2=φ(1)= ，

同樣可得當(dāng)n1→∞時，K2→-1/4。

由a知，α1λ1≤λ2≤α2λ1時，

從而有。

由a，b知，當(dāng)λ2=α1λ1或λ2=α2λ1，且a1≠a2時，

有

于是有。

由b知當(dāng)α1λ1=λ2=α2λ1時，

于是有，綜上可知結(jié)論②成立。

③因4t(1-t)≤1，可得

可知當(dāng)a2/a1→∞時，有K1=0，K2=0，于是

從而當(dāng)a2/a1→∞時， 于是結(jié)論③成

立。

對的有關(guān)性質(zhì)，有定理2成立。

定理2

①

②當(dāng)=c0(大于0的常數(shù))時，有

③當(dāng)a2/a1→+∞時，有。

證明：因為

。

類似于前面的計算可得

其中

A2(y3)=(2r+1)/4(y32-2y3-3)<0，

B2(y3)=(2r+1)/2(y3-y32)+r(1+y3)>0，

C2(y3)=y32-ny3。

其中A3(y4)=(2r+1)/4(y42-2y4-3)

B3(y4)=1/2(y4+4r+3)>0

C=-(2r+3)/4<0。

類似于定理1的證明方法可得此定理成立。

參考文獻(xiàn)：

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