顧曉東

“認(rèn)識(shí)面積”是蘇教版數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容。這部分內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了一些幾何圖形，并掌握了周長(zhǎng)概念以及長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)計(jì)算方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。面積概念對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)全新的幾何概念，也是一次概念認(rèn)識(shí)難點(diǎn)的突破。本課教學(xué)的主要任務(wù)是幫助學(xué)生建立面、面積的概念，并讓學(xué)生主動(dòng)探究平面圖形面積比較的幾種基本方法，為后續(xù)的面積單位認(rèn)識(shí)、長(zhǎng)正方形面積計(jì)算做好準(zhǔn)備。

【案例】

在一次校本教研活動(dòng)中，一位教師呈現(xiàn)了如下認(rèn)識(shí)面積概念的教學(xué)過(guò)程：

1.摸物體的表面，感知面。

2.摸物體的表面，比較面的大小。

3.揭示面積的定義：物體表面的大小就是物體表面的面積。

4.回歸現(xiàn)實(shí)，說(shuō)說(shuō)身邊物體表面的面積。

5.引申到所學(xué)平面圖形，感受平面圖形的大小。

6.揭示平面圖形面積的定義。

7.引導(dǎo)學(xué)生探究比較平面圖形面積大小的幾種方法。

【思考】

這其中，看似讓學(xué)生經(jīng)歷了由對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的感知轉(zhuǎn)向?qū)?shù)學(xué)概念的逐步抽象的過(guò)程。但細(xì)細(xì)體味，學(xué)生對(duì)面積概念的認(rèn)識(shí)過(guò)程顯得不夠精致，尤其是對(duì)“面的大小”的認(rèn)識(shí)仍然比較模糊。從課末回顧反思“哪些留在了腦子里”的學(xué)生回答中，均未提到認(rèn)識(shí)了“什么是面？”“什么是面積？”等概念，只是說(shuō)到了一些平面圖形面積比較的方法?？梢?jiàn)學(xué)生并沒(méi)有很好地在頭腦中建立起面積概念，沒(méi)有使自己的幾何概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到有效拓展。究其原因主要是：

1.概念本質(zhì)的把握不夠全面

小學(xué)階段所學(xué)的點(diǎn)、線(xiàn)、面、體都是基于歐幾里得幾何的，它們是學(xué)生最早接觸到的幾何概念。事實(shí)上，越是最基本的概念就越是難以說(shuō)清楚，因?yàn)樵诿枋龅倪^(guò)程中無(wú)法借用其他的概念。在日常生活中，學(xué)生看到的物體都是立體的，而“面”則是一個(gè)平面概念，是從日常生活中的立體圖形中抽象出來(lái)的概念。這種抽象不僅舍去了物體的顏色、材質(zhì)等物體本質(zhì)要素，還忽略了其所占的空間：面不分厚薄。也就是說(shuō)，這種抽象了的概念本身只是存在于人們的頭腦中，正如歐幾里得在《幾何原本》中所寫(xiě)的：面只有長(zhǎng)度和寬度；平面是它上面的線(xiàn)一樣的平放著的面。這樣一種抽象的、又帶有點(diǎn)物理化傾向的描述，揭示了“面”的概念本質(zhì)。

此外，教師還忽視了“面的大小是面本身固有屬性”這一基本事實(shí)，單純借助于對(duì)不同物體表面大小的比較來(lái)得出“物體表面是有大有小”的這一結(jié)論，并直接據(jù)此下定義：物體表面的大小就是物體表面的面積。這里，需要澄清的認(rèn)識(shí)是：“物體表面有大小”并非是單純由比較而得出的一種相對(duì)結(jié)果，而是面本身所固有的本質(zhì)屬性。詞典中“大小”有一種意思是表示程度，因而“面的大小”應(yīng)是指“面”自身的大小程度?！拔矬w表面的大小”是物體表面自身存在的一個(gè)客觀屬性，指的是不同物體表面都有其各自確定的大小。由于對(duì)面積概念理解不夠全面到位，也就難以真正地讓學(xué)生準(zhǔn)確建立起面以及面積的概念。

2.概念建構(gòu)的過(guò)程顯得粗糙

現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)“有過(guò)程”地教學(xué)，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成過(guò)程。這樣的過(guò)程需要教師精心設(shè)計(jì)，也需要在課堂互動(dòng)中精彩生成。結(jié)合上述對(duì)面與面積概念的本質(zhì)解析，再對(duì)照上述教學(xué)過(guò)程，不由讓人覺(jué)得概念建構(gòu)的過(guò)程顯得粗糙，尤其是缺乏讓學(xué)生充分調(diào)動(dòng)各種感官，通過(guò)多樣化的實(shí)踐活動(dòng)來(lái)真正撥動(dòng)思維之弦，因而也就不能真正讓學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)屬性加以深刻體悟和準(zhǔn)確把握。

【改進(jìn)教學(xué)】

結(jié)合上例的反思，我們覺(jué)得教學(xué)中應(yīng)盡可能準(zhǔn)確地把握概念本質(zhì)，使概念建構(gòu)過(guò)程精致化。這其中，對(duì)“面”的感知活動(dòng)要充分、到位，抽象過(guò)程要精致、自然，在此基礎(chǔ)上水到渠成地建立起面積概念，讓學(xué)生充分經(jīng)歷一個(gè)精致的概念建構(gòu)過(guò)程?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，我們對(duì)“面”的認(rèn)識(shí)過(guò)程進(jìn)行了再設(shè)計(jì)與再實(shí)踐：

1.精致地感知“面”，把握面的特征。

（1）在摸“物體表面”中具體感知面的形象。

①摸摸課本的封面。（方法指導(dǎo)：用手掌認(rèn)真地、慢慢地摸課本封面的全部。要求：在摸時(shí)要靜靜地感受它。）

②按同樣的方法和要求繼續(xù)摸摸課桌的面。

（2）在議“物體表面”中初步形成面的表象時(shí)，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己剛才摸物體表面的感覺(jué)。

生：它們的面都是平平的。

生：還很光滑的。

（3）在比劃“物體表面”中不斷豐富面的表象。

師：找一找身邊物體的表面繼續(xù)摸摸，感受一下它有多大，用手比劃一下。

生：我摸的是橡皮這一個(gè)面，只有這么大的。

生：我摸的是文具盒蓋子的面，有這么大。

2.精致地抽象“面”，建立面積概念。

（1）想象物體表面的大小。

師：接下來(lái)我們不摸了，想象一下老師說(shuō)的這些物體的表面有多大，也可以用手比劃一下。比如我們常見(jiàn)的一張?jiān)嚲淼拿?、一張光盤(pán)的面有多大？

學(xué)生一一用手比劃著大小。

（2）指出黑板面，揭示面積概念。

師：黑板面在哪兒？請(qǐng)上臺(tái)指一指。

學(xué)生上臺(tái)在黑板上指了一下。

教師在他指的那里畫(huà)了個(gè)小圈，問(wèn)：哦，這一塊就是黑板面嗎？

學(xué)生又重新指了指，教師順勢(shì)又畫(huà)了一個(gè)大一點(diǎn)的圈，問(wèn)：是這里嗎？大家都不認(rèn)同。

師：到底哪里是黑板面？

另有學(xué)生跑上前來(lái)用手繞著黑板一周，指出：這一周邊線(xiàn)圍成的面，就是黑板面。

師：對(duì)啊，黑板四周一圈邊線(xiàn)圍起來(lái)的面才是黑板面。如果讓你上來(lái)摸黑板面，要摸多久？

生：要摸好久了。因?yàn)楹诎迕婧艽蟆?/p>

師小結(jié)：從剛才的活動(dòng)中，我們可以知道，物體都有自己的表面，而且都有各自的大小，有的大，有的小。物體表面的大小就是物體表面的面積。

讓學(xué)生照樣子說(shuō)說(shuō)數(shù)學(xué)書(shū)封面、課桌面等的面積。（略）

（3）描下物體表面，認(rèn)識(shí)平面圖形面積。

讓一位學(xué)生到講臺(tái)前，蒙上眼睛，摸一個(gè)皮鞋盒的上面和側(cè)面，并說(shuō)說(shuō)哪個(gè)面積大。

師：我們剛才所認(rèn)識(shí)的“面“都是在物體上的，大家能想個(gè)辦法把這兩個(gè)面“請(qǐng)”到黑板上來(lái)嗎？

生：把它們描在黑板上。（教師按照學(xué)生意思描下來(lái)）師：這兩個(gè)都是我們以前所學(xué)過(guò)的平面圖形。剛才摸的皮鞋盒兩個(gè)面的大小就是這兩個(gè)平面圖形的大小。平面圖形的大小也就是平面圖形的面積。

師：大家會(huì)用粉筆來(lái)表示出這兩個(gè)平面圖形的面積嗎？（學(xué)生上臺(tái)涂出平面圖形的大小。）

師小結(jié)：平面圖形的大小就是平面圖形的面積。

3.精致地鞏固“面”，完善面積認(rèn)識(shí)。

（1）在線(xiàn)與面的對(duì)比中直觀鞏固面的特征。

師（課件出示一條線(xiàn)段）：大家能上來(lái)指出這個(gè)圖形的面積嗎？

生：不行，它是一條線(xiàn)段，只有長(zhǎng)度。

師（課件出示一個(gè)封閉平面圖形）：這個(gè)圖形有面積嗎？上臺(tái)指指。（學(xué)生上臺(tái)用手掌比劃著指出。）

（2）在線(xiàn)向面的變形中抽象、鞏固面的概念。

師：老師想來(lái)變個(gè)魔術(shù)，讓這條線(xiàn)變出面積來(lái)。（課件展示線(xiàn)圍成封閉圖形的過(guò)程）現(xiàn)在這條線(xiàn)段變成什么圖形了？

生：封閉平面圖形。

師：現(xiàn)在這個(gè)圖形有面積了嗎？大家比劃一下這個(gè)圖形面積的大小。（學(xué)生比劃）

師（課件繼續(xù)圍成一個(gè)不封閉的圖形）：這個(gè)圖形有它的面積嗎？

生：沒(méi)有，因?yàn)樗鼪](méi)有封閉起來(lái)，摸的時(shí)候可以向外面摸出去，不能確定面的大小。

師小結(jié)：是啊，只有一條線(xiàn)圍成一個(gè)封閉圖形時(shí)，它才可以確定面的大小，也才有它的面積。

【反思】

圖形與幾何領(lǐng)域的基本概念源自于日常生活，它是生活中具體實(shí)物的幾何抽象物。小學(xué)生所學(xué)習(xí)的幾何圖形概念都是最基礎(chǔ)的概念，比如線(xiàn)、面等，他們頭腦中尚無(wú)相關(guān)的前知識(shí)系統(tǒng)進(jìn)行合理遷移、擴(kuò)充，學(xué)生建構(gòu)這些基本概念主要是依靠幾何抽象而實(shí)現(xiàn)的。我們需要從小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展的實(shí)際情況出發(fā)，精心設(shè)計(jì)幾何概念建構(gòu)的過(guò)程，并努力使其精致化，讓學(xué)生自然地實(shí)現(xiàn)由生活經(jīng)驗(yàn)向數(shù)學(xué)概念的順利過(guò)渡。

1.精致化的前提是精確把握概念本質(zhì)

理解和掌握概念的過(guò)程實(shí)際上是掌握同類(lèi)事物的共同、本質(zhì)屬性的過(guò)程。就面積概念的建構(gòu)而言，其重要的基礎(chǔ)是“面”的認(rèn)識(shí)和建構(gòu)。教材中并沒(méi)有直接呈現(xiàn)“面”的概念，只是讓學(xué)生摸摸有關(guān)物體的表面。在此，教師應(yīng)該進(jìn)一步發(fā)掘、精確把握“面”概念的本質(zhì)內(nèi)涵，先讓學(xué)生準(zhǔn)確形成對(duì)“面”的認(rèn)識(shí)。上述改進(jìn)教學(xué)中，教師豐滿(mǎn)并精致了面的認(rèn)識(shí)過(guò)程，在學(xué)生動(dòng)手操作感悟的基礎(chǔ)上，自由表達(dá)對(duì)物體面的感性認(rèn)識(shí)，突出面是平平的、光滑的這些共同特征，進(jìn)而通過(guò)比劃、想象活動(dòng)，認(rèn)識(shí)到每個(gè)物體面都是有自身大小的。如前文所說(shuō)，面的大小是面本身固有的屬性，體會(huì)面的大小并不是單純通過(guò)不同面的比較而得出的，而是通過(guò)讓學(xué)生在感受體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，用自己的方式表達(dá)出面的大小。在這樣的活動(dòng)中學(xué)生能比較全面地把握面的特征。面積概念的核心就是“面的大小”，因而準(zhǔn)確建立面的概念之后，面積概念的理解也就水到渠成、瓜熟蒂落了。此外，面積與長(zhǎng)度這兩個(gè)基本的幾何概念具有本質(zhì)上的不同，教學(xué)中應(yīng)該適度地讓學(xué)生在矛盾沖突中得到較為深刻的體驗(yàn)和感悟。

2.精致化的重點(diǎn)是精細(xì)設(shè)計(jì)、建構(gòu)層次

與原先案例相比，改進(jìn)后的案例突出了對(duì)概念建構(gòu)過(guò)程的精細(xì)設(shè)計(jì)。這種精致化主要體現(xiàn)在教師結(jié)合兒童概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知心理特征，對(duì)概念建構(gòu)過(guò)程作出了清晰的層次設(shè)計(jì)。一是在動(dòng)手操作中感悟。先讓學(xué)生在實(shí)物的觸摸中感受面的特點(diǎn)，然后要求學(xué)生表達(dá)出觸摸的感受，在說(shuō)、議的過(guò)程中初步領(lǐng)悟面的特征，學(xué)生對(duì)面的感悟呈現(xiàn)出多樣化的表述，在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)加強(qiáng)操作感悟，讓學(xué)生比劃出面的大小，逐步形成面的表象。這樣的操作過(guò)程層層深入，學(xué)生的體驗(yàn)感悟逐步深入，接近本質(zhì)。二是在想象再現(xiàn)中抽象。空間想象能力是空間觀念的核心，想象是培養(yǎng)空間觀念的重要手段。直接想象并比劃出所說(shuō)物體面的大小，這是對(duì)學(xué)生頭腦中已有面的表象積累的再現(xiàn)考驗(yàn)，也是學(xué)生對(duì)面概念的深層次體驗(yàn)。在指出黑板面大小的過(guò)程中，有意地引導(dǎo)學(xué)生的空間思維逐步向整個(gè)黑板面過(guò)渡，“逼迫”學(xué)生感受、抽象出面的大小是指周?chē)蝗吘€(xiàn)圍出來(lái)的內(nèi)部平面大小，可以說(shuō)此時(shí)學(xué)生對(duì)面概念的認(rèn)識(shí)基本到位了。在這個(gè)過(guò)程中，注重發(fā)揮空間想象能力，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從概念表象到概念本質(zhì)的逐步抽象。三是在對(duì)比溝通中深化。改進(jìn)教學(xué)中及時(shí)地讓學(xué)生對(duì)比一維圖形和二維圖形的不同，其實(shí)質(zhì)是進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)二維空間面積概念的深化認(rèn)識(shí)。通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到線(xiàn)是以長(zhǎng)短而論的，面是以大小而論的，進(jìn)而在變化過(guò)程中直觀地感受到“面是有邊界的”“面是由線(xiàn)圍起來(lái)的”，有了邊界才使“面有了確定的大小”，每個(gè)面的大小是這個(gè)面的面積。因而深化了對(duì)面積概念本質(zhì)的理解。

3.精致化的關(guān)鍵是精心打磨活動(dòng)細(xì)節(jié)

教學(xué)細(xì)節(jié)能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)更具有效性。教學(xué)細(xì)節(jié)是指教學(xué)過(guò)程中富有教育、教學(xué)價(jià)值的細(xì)小環(huán)節(jié)和情節(jié)。每一處自然而真實(shí)的教學(xué)細(xì)節(jié)都會(huì)讓課堂教學(xué)變得更加豐滿(mǎn)、更富魅力。學(xué)生在這些細(xì)節(jié)中往往能夠得到比較充分的體驗(yàn)和感悟。在上述教學(xué)改進(jìn)中，教師針對(duì)學(xué)生對(duì)面和面積概念建構(gòu)的關(guān)鍵之處，精心設(shè)計(jì)和打磨若干個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)活動(dòng)，幫助學(xué)生精致化地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。教師設(shè)計(jì)了比劃“面”的活動(dòng)細(xì)節(jié)：讓學(xué)生摸摸身邊實(shí)物上的面，然后用手比劃出“面有多大”，接著讓學(xué)生想象生活中其他物體的面，繼續(xù)進(jìn)行比劃，旨在通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)來(lái)進(jìn)一步豐富、積累學(xué)生頭腦中面的表象，初步把握面的本質(zhì)。教師通過(guò)多次追問(wèn)，“逼迫”學(xué)生自主地清晰和完善面的概念，領(lǐng)悟到一圈邊線(xiàn)圍出來(lái)的部分才是“面”，在這樣一種樸素的認(rèn)識(shí)中進(jìn)一步把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵。在引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)線(xiàn)與面的不同時(shí)，教師還精心設(shè)計(jì)了由線(xiàn)變面的動(dòng)態(tài)變化細(xì)節(jié)，首先讓學(xué)生對(duì)線(xiàn)、面進(jìn)行直接對(duì)比，體會(huì)一維圖形和二維圖形的不同之處，接著通過(guò)“變魔術(shù)”的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，讓學(xué)生直觀地感受到線(xiàn)與面的密切關(guān)聯(lián)，認(rèn)識(shí)到線(xiàn)是以長(zhǎng)短而論的，面是以大小而論的，進(jìn)而體會(huì)到“面是有邊界的”“面是由線(xiàn)圍起來(lái)的”，有了邊界才使“面有了確定的大小”，每個(gè)面的大小就是這個(gè)面的面積。在這些細(xì)節(jié)活動(dòng)中，進(jìn)一步抽象了面積的本質(zhì)特征，加深了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】