龍 偉 童富果 李 彪

（三峽大學 水利與環(huán)境學院，湖北 宜昌 443002）

地下巖體中，尤其是淺層巖體中，存在大量的斷層、節(jié)理和裂隙.完整巖塊的滲透系數(shù)相對較小，水在巖體中的運動主要是在裂隙中的流動［1］.裂隙網(wǎng)絡構成了地下水的滲流通道，裂隙水的流動會影響巖體的溫度場分布.研究裂隙巖體的水－巖耦合傳熱規(guī)律在土木工程、水利水電工程及地熱開采［2－4］等諸多領域有著重要應用.

裂隙網(wǎng)絡中水的流動會與巖石之間發(fā)生對流換熱，進而影響裂隙巖體的溫度場.單個裂隙是復雜裂隙系統(tǒng)的基本組成單元，對單個裂隙水－巖耦合傳熱規(guī)律的研究是探究復雜裂隙網(wǎng)絡傳熱機理的基礎.在簡單裂隙水－巖耦合傳熱方面，國內(nèi)外學者已做了大量的研究工作.王如賓［5－6］對單個裂隙內(nèi)水流的穩(wěn)定溫度場進行了理論分析，推導求出了平行板狀裂隙穩(wěn)態(tài)溫度場的理論公式.路威［7］推導出了單裂隙巖體滲流－傳熱解析解，計算分析裂隙水及巖體的溫度分布特征和參數(shù)的敏感度.張樹光［8］對單裂隙巖體進行了流－熱耦合方面的數(shù)值模擬.劉學艷［9］對裂隙巖體水流－傳熱進行了試驗和數(shù)值模擬分析，研究了裂隙開度、裂隙流量和熱源功率對流場和溫度場的影響.白蘭蘭［10］分析了平板裂隙滲流和圓柱形通道滲漏兩種情況下整個裂隙巖體的溫度分布特征，討論了流量、流體與巖體溫差等因素對裂隙巖體溫度場分布的影響.趙堅［11］通過加熱巖石和迫使水流在巖石裂隙的循環(huán)，進行了巖石裂隙的水力－熱力特性試驗研究.徐義洪［12］研究了滲流作用下深部礦場采動區(qū)圍巖的傳熱機理.董海洲［13］對巖石單裂隙滲流－傳熱模型及其參數(shù)進行了敏感性分析.基于各自不同的研究目的及需要，上述研究均做了不同程度的假設性規(guī)定，存在一定局限性.考慮到水－巖耦合傳熱的復雜性，有進一步深入研究的必要.

本文基于水－巖耦合傳熱控制微分方程，采用有限單元法計算分析裂隙水流通過單一裂隙時的溫度場.研究主要圍繞裂隙寬度、裂隙水流速等因素對水－巖耦合傳熱的影響開展工作.空間網(wǎng)格離散采用了迎風加權的有限元格式，以消除熱傳輸求解中遇到的數(shù)值振蕩難題.此外，在涉及水－巖耦合傳熱的病態(tài)方程組數(shù)值求解技術方面，本文也做了一定的探討.

1 數(shù)學模型

在傳統(tǒng)溫度場計算中，通常將流體和固體之間熱交換用對流換熱來描述，對流換熱量采用牛頓冷卻定律簡化計算.此簡化方法雖然可提高計算效率，但終究忽略了流體與固體接觸面的真實傳熱過程，不宜用于水－巖耦合傳熱規(guī)律研究.為滿足水－巖耦合傳熱精確研究的需要，本研究直接基于流－固耦合傳熱控制微分方程展開.

1.1 水－巖耦合傳熱控制方程

基于傳熱學的基本理論，裂隙巖體熱傳遞現(xiàn)象主要包括因溫度梯度導致的熱傳導和因裂隙水流流動引起的熱傳輸，其方程［14］描述為

在一般情況下水、巖的密度ρ，比熱c變化很小，可視為常數(shù)，進而式（1）簡化為

對于固體區(qū)域，由于沒有流動，可忽略傳輸項，式（2）可以簡化為

對于流體區(qū)域，既要考慮傳導，又要考慮傳輸式（2）可以表示為

其中，ρ是介質(zhì)（巖石或水）密度（kg／m3）；c是介質(zhì)比熱容（J／（kg·℃））；T 是溫度（℃）；K 是導熱系數(shù)矩陣（J／（m·℃·s））；vw是介質(zhì)流動速度（m／s）；Q 是熱源（J／（s·kg））.

式（2）中的第1項表示熱量對時間的變化率，第2項是熱傳導通量，第3項是熱傳輸量，第4項為熱源，由于本研究不涉及產(chǎn)熱過程，故此項可忽略.

1.2 幾何模型

計算分析對象為包含單一裂隙的矩形區(qū)域，模型高H＝32mm，長L＝32mm，裂隙寬度根據(jù)計算分析的需要分別設為b＝0.5、1.0、1.5、2.0、2.5mm.對于不同的裂隙寬度，有限元空間網(wǎng)格離散節(jié)點數(shù)為7 026～13 446個，單元數(shù)為6 970～13 370個（如圖1所示）.

圖1 水－巖耦合傳熱有限元分析幾何模型

1.3 初始及邊界條件

巖石及裂隙水流初始溫度均為30℃.巖石區(qū)域外邊界為已知溫度邊界，其中裂隙左側入口處水溫為20℃，巖石上下邊界溫度均為30℃，左右邊界為絕熱邊界.

1.4 主要計算參數(shù)

裂隙水密度為ρw＝997kg／m3，導熱系數(shù)λw＝0.6W／（m·℃），比熱容cw＝4 190kJ／（kg·℃）；巖石的密度ρs＝2 500kg／m3，導熱系數(shù)λs＝1.5W／（m·℃），比熱容cs＝970kJ·（kg·℃）.鑒于裂隙滲流遠遠大于巖石本身的滲流，故本研究僅考慮水在裂隙通道內(nèi)的流動，基于平行板裂隙模型［1］，裂隙水流流速呈拋物線性分布，如圖2所示，流速方程為

其中，J為水力梯度，υ為水的動力粘滯系數(shù).

圖2 裂隙水流速分布圖

1.5 時間、空間離散及求解

對控制微分方程（2），時間離散采用一維差分格式，空間離散采用迎風加權的有限元格式，以避免傳統(tǒng)伽遼金有限元格式所遇到的數(shù)值震蕩問題［15］.方程除了包含熱傳導，也考慮了裂隙水流的熱傳輸，最終離散所得線性方程組的系數(shù)矩陣具有病態(tài)、非對稱等特點，為保證求解過程的數(shù)值穩(wěn)定性、收斂性，提高計算效率，需采用特殊的數(shù)據(jù)存儲及方程求解技術，傳統(tǒng)的一維半帶寬存儲技術及平方根分解方法不再適用.

2 計算結果分析

2.1 裂隙寬度對溫度場的影響

為比較裂隙寬度對巖體溫度場分布的影響，本文計算獲取了裂隙水最大流速為1.0×10－4m／s，裂隙寬度分別為0.5、1、1.5、2和2.5mm 時的巖體穩(wěn)定溫度場.裂隙中心水溫沿裂隙分布曲線如圖3所示，結果表明當流入水溫低于巖體溫度時，裂隙中心水溫沿流程遞增；在裂隙中心的相同處，水溫隨裂隙寬度的增加而減小.此外，圖3也表明水溫沿裂隙變化率取決于裂隙水與巖石的溫差，溫差越大，變化越顯著.

圖4～5分別呈現(xiàn)了裂隙寬度為0.5mm和2.5 mm時的最終穩(wěn)定溫度分布情況，結果總體表明，當裂隙水溫低于巖石溫度時，裂隙巖體穩(wěn)態(tài)溫度場分布隨裂隙寬度的增大而呈減小的趨勢.

圖4 b＝0.5mm時裂隙巖體穩(wěn)定溫度分布

圖5 b＝2.5mm時裂隙巖體穩(wěn)定溫度分布

2.2 流速對溫度場的影響

本研究計算分析了裂隙寬度b＝1mm，裂隙水流最大速度分別為0.000 1、0.000 5、0.001、0.002和0.005m／s時的溫度場.當水溫低于巖體溫度，不同流速對應的裂隙中心溫度沿裂隙分布曲線如圖6所示，結果表明裂隙流速對裂隙水溫度影響顯著；圖7分別表示了垂直裂隙向，離裂隙中心由近到遠的A、B、C、D、E、F、G（如圖8所示）7個點處溫度隨裂隙水流速變化分布情況，結果表明遠離裂隙中心的位置溫度基本呈線性變化，裂隙中心附近位置點的溫度變化呈現(xiàn)明顯的非線性變化，同時可以看出，裂隙水流速對于這7個參考點的溫度影響較大，流速越大，巖石的溫度梯度越大，溫差越顯著.

圖6 1mm裂隙中心水流溫度與流速關系

圖7 特征點溫度隨流速變化曲線

圖8～9分別呈現(xiàn)了裂隙水流速為5.0×10－4m／s和5.0×10－3m／s時的最終穩(wěn)定溫度分布情況.結果表明，裂隙寬度一定時，裂隙巖體的準穩(wěn)態(tài)溫度場隨不同量級裂隙水流變化明顯.

圖8 b＝1.0mm，v＝5.0×10－4 m／s時裂隙巖體溫度分布

圖9 b＝1.0mm，v＝5.0×10－3 m／s裂隙巖體溫度分布

3 結 語

基于水－巖耦合傳熱控制微分方程，采用有限單元法計算分析水流通過簡單裂隙巖體的溫度場.主要研究了裂隙寬度、裂隙水流速等關鍵因素對水－巖耦合傳熱的影響.在裂隙水流速不變條件下，裂隙寬度變化對水流耦合傳熱的影響并不顯著.裂隙單寬一定時，周邊巖體溫度場分布對裂隙水流速較為敏感.當裂隙巖體溫度高于裂隙水溫時，裂隙周邊區(qū)域的巖石溫度隨裂隙水流速增大而呈非線性遞減趨勢.裂隙內(nèi)滲流流速是決定裂隙巖體溫度場的主要因素.

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