褚曉冬

摘 要：“猜想——驗(yàn)證”不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要方法，而且是一種重要的數(shù)學(xué)思想。本文歸納了在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“猜想—驗(yàn)證”的四個(gè)途徑，即在問題情境中感知（操作感知、創(chuàng)境感知），在觀察分析中猜想（溝通新舊知識(shí)間的聯(lián)系、個(gè)例啟發(fā)），在舉例、動(dòng)手操作中驗(yàn)證，在引導(dǎo)中歸納。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；猜想；驗(yàn)證

“猜想——驗(yàn)證”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說：“真正的數(shù)學(xué)家常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實(shí)?！睌?shù)學(xué)猜想并不是胡思亂想，基本思維模式是：?jiǎn)栴}情景—觀察分析—提出猜想—驗(yàn)證結(jié)論—?dú)w納總結(jié)。

一、在問題情景中感知

心理學(xué)研究表明：學(xué)生感知越豐富，建立的表象越清晰，就越能發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，獲得知識(shí)。因此，教學(xué)中要給學(xué)生提供充足的能揭示規(guī)律的感性材料，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手做、動(dòng)腦想、動(dòng)口說、動(dòng)眼看，使學(xué)生在做一做、算一算、想一想、說一說、看一看中獲得豐富的感性認(rèn)識(shí)，建立清晰的表象，促使學(xué)生形成初步的猜想。

1.操作感知

如在“長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式”教學(xué)中，讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的24張l平方厘米的正方形紙片，然后用這24張紙片拼成盡可能多的長(zhǎng)方形，拼好后逐一按長(zhǎng)、寬、面積等數(shù)據(jù)填在記錄表格中。這樣，通過拼、量、填、算、說，學(xué)生進(jìn)一步初步感知了長(zhǎng)方形的面積。至此，猜想長(zhǎng)方形的面積已是水到渠成。

2.創(chuàng)境感知

在“加法交換律與結(jié)合律”教學(xué)中，教師提出問題：大猴上午吃3個(gè)桃子，下午吃4個(gè)桃子，小猴上午吃4個(gè)桃子，下午吃3個(gè)桃子。大猴小猴誰吃得多？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：大猴小猴吃的桃子的總數(shù)相等，即3+4=4+3。學(xué)生觀察等式左右兩邊的特點(diǎn)，初步感知了加法交換律。

二、在觀察分析中猜想

波利亞曾說過：“一個(gè)孩子一旦表示出某些猜想，他就把自己與該題連在一起，會(huì)急切地想知道自己的猜想正確與否。于是，便主動(dòng)地關(guān)心這道題，關(guān)心課堂上的進(jìn)展?！币虼耍趯W(xué)生大量感知且形成豐富的表象后，教師要給予學(xué)生充足的時(shí)間和空間，讓學(xué)生根據(jù)自己的感知，用自己的思維方式自由地觀察思考、分析推理，逐步從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，然后相互交流討論，形成合理的猜想。

1.溝通新舊知識(shí)間的聯(lián)系

在“平行四邊形面積”的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬、面積和平行四邊形底、高、面積的數(shù)據(jù)，進(jìn)而思考長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與平行四邊形底、高有什么關(guān)系，長(zhǎng)方形的面積和平行四邊形面積有什么關(guān)系。學(xué)生通過做比較，交流討論后，形成初步猜想。

2.個(gè)例啟發(fā)

在“乘法結(jié)合侓”教學(xué)中，學(xué)生觀察兩個(gè)算式——（3×12）×5與3×（12×5），計(jì)算得出結(jié)果一致。他們通過找出等式兩邊的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)進(jìn)行猜想，教師引導(dǎo)學(xué)生舉例，通過舉例，學(xué)生進(jìn)一步啟發(fā)得出猜想。值得注意的是，學(xué)生猜想出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師不能立即給予否定或提醒，而應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生舉例驗(yàn)證，必要時(shí)教師可舉出反例，讓學(xué)生在驗(yàn)證中發(fā)現(xiàn)猜想錯(cuò)誤，調(diào)整思考方向，重新提出猜想。

三、在舉例、動(dòng)手操作中驗(yàn)證

驗(yàn)證是用實(shí)例或邏輯推理證明結(jié)論是否正確的一種方法。沒有驗(yàn)證的猜測(cè)，只是一種“懸念”。小學(xué)數(shù)學(xué)一般不要求作嚴(yán)格論證，可采用符合小學(xué)生年齡特征的舉例驗(yàn)證法和動(dòng)手操作驗(yàn)證法。

1.舉例驗(yàn)證

在“商不變性質(zhì)”教學(xué)中，學(xué)生通過觀察除法算式猜測(cè)出“當(dāng)被除數(shù)、除數(shù)都乘以或除以同一個(gè)數(shù)時(shí)，它們的商不變” 的結(jié)論。教師請(qǐng)生舉例驗(yàn)證猜測(cè)的結(jié)論是否正確，生以12÷6=6÷3=4÷2=為例，說明“被除數(shù)、除數(shù)都除以同一個(gè)數(shù)，商仍然不變”。而小組在舉例驗(yàn)證時(shí)發(fā)現(xiàn)當(dāng)被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)乘以0或除以0時(shí)，商的結(jié)果算不出來了。舉例證明時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生不但要舉一般的例子，更要舉一些特殊的例子。同時(shí)乘以、除以0就是例證中的一個(gè)特殊例子。

2.動(dòng)手操作驗(yàn)證

如“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)，在學(xué)生提出初步的猜想后，引導(dǎo)學(xué)生在操作中探索驗(yàn)證：

（1）折一折：根據(jù)書中實(shí)驗(yàn)，分別折疊三種不同三角形，得到三角形的內(nèi)角和是180°。

（2）拼一拼：分別把每種三角形的三個(gè)角剪下來，拼在一起成為一個(gè)平角，得到三角形的內(nèi)角和是180°。

（3）算一算：把正方形的紙片沿對(duì)角線分成兩個(gè)完全相同的三角形，由正方形4個(gè)角是90°×4=360°，推算出其中一個(gè)三角形內(nèi)角和是180°。

四、在引導(dǎo)中歸納

驗(yàn)證之后，教師要不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生說一說、議一議，相互交流，達(dá)成共識(shí)。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生理一理，準(zhǔn)確地歸納、概括出知識(shí)結(jié)論。歸納時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生深刻理解結(jié)論的普遍性和結(jié)論中的每一句話。如歸納分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，讓學(xué)生思考討論“相同的數(shù)”是不是什么數(shù)都可以，為什么？在學(xué)生準(zhǔn)確概括出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)后，再讓學(xué)生舉例說明這個(gè)性質(zhì)，然后引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)。這樣不但加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，使其進(jìn)一步鞏固和掌握知識(shí)，而且培養(yǎng)了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。