楊映全

一、教材分析

從近年來高考試題中分析得知，考查數(shù)列的比重越來越大，其價(jià)值越來越得到重視。尤其是相關(guān)數(shù)列的題型不僅能夠鍛煉學(xué)生的探究能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力，而且對學(xué)生分析能力、歸納能力的培養(yǎng)也起著不可替代的作用。同時(shí)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和也是上節(jié)課等差數(shù)列的后繼內(nèi)容。本節(jié)課的主要內(nèi)容是：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及運(yùn)用。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)：

（1）掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式以及推導(dǎo)過程；

（2）會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和解決相關(guān)的一些問題。

2.能力目標(biāo)：

通過讓學(xué)生自主推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式來鍛煉學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力

通過相關(guān)問題情境的創(chuàng)設(shè)來培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力和探究能力。

3.過程與方法：

自主探究模式、數(shù)學(xué)思想的滲透。

三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。

難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用。

四、學(xué)生分析

“以學(xué)生為中心”的教學(xué)思想是新課程改革下的基本教學(xué)理念，也是學(xué)生健全發(fā)展的保障。所以，對于高中階段的學(xué)生來說，他們已經(jīng)具備了自主學(xué)習(xí)的能力，而且多年的學(xué)習(xí)也促使學(xué)生有了特有的學(xué)習(xí)方法，因此，我們可以借助自主探究式教學(xué)模式來給學(xué)生搭建自主學(xué)習(xí)的平臺，進(jìn)而為學(xué)生獲得更大的發(fā)展空間打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

五、教學(xué)過程

導(dǎo)入環(huán)節(jié)：回顧等差數(shù)列的通項(xiàng)公式[（a■=a■+（n-1）d）]。思考：如果將某個(gè)等差數(shù)列各個(gè)項(xiàng)相加，會(huì)得到怎樣的結(jié)果？

（設(shè)計(jì)意圖：一是讓學(xué)生回顧和復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容；二是提出問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂。）

情境創(chuàng)設(shè)：德國偉大數(shù)學(xué)家高斯在九歲那年，用很短的時(shí)間完成了教師布置的一道數(shù)學(xué)題：對自然數(shù)從1到100的數(shù)進(jìn)行求和。老師非常驚訝高斯為什么能在這么短的時(shí)間里計(jì)算出對這個(gè)年齡來說相當(dāng)困難、相當(dāng)耗費(fèi)時(shí)間的題目。思考：高斯用了什么方法？

（設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)該環(huán)境只是為了要將本節(jié)課的正題引出，因?yàn)閷τ谶@樣的題，學(xué)生很容易回答出答案為5050；對50對構(gòu)造成和101的數(shù)列求和（1+100，2+99，3+98…）也就是我們通常所說的首尾相加。）

接著，讓學(xué)生簡述解題過程。接著，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果這道試題改為“對自然數(shù)從1到n的數(shù)進(jìn)行求和？”會(huì)得到怎樣的答案。即求1+2+3+4+…+（n-1）+n

學(xué)生1：延續(xù)高斯的首尾相加。

第一項(xiàng)和倒數(shù)第一項(xiàng)相加：1+n

第二項(xiàng)和倒數(shù)第二項(xiàng)相加：2+（n-1）=n+1

第三項(xiàng)和倒數(shù)第三項(xiàng)相加：3+（n-2）=n+1

……

第n項(xiàng)和倒數(shù)第n項(xiàng)相加：n+[n-（n-1）]=n+1

于是所有的前n項(xiàng)和為■

學(xué)生2：借助等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

設(shè)y=1+2+3+4+…+n

觀察可以看出，該式子各項(xiàng)之間是等差為1的等差數(shù)列。

即an=n所以，y=a■+a■+a■+a■+…+a■（1）

y=a■+an-1+an-2+an-3+…+a■+a■（2）

將（1）+（2）=（a■+a■）+（a■+an-2）+（a■+an-3）+…+（a■+a■）=2y

（1+n）+[2+（n-1）]+…（n+1）=2y

y=■

所以，1+2+3+…+n=■

……

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性，積極動(dòng)手、動(dòng)腦尋找解答的過程，這樣一來不僅能夠加深學(xué)生對相關(guān)知識的印象，提高學(xué)生的理解能力，而且對學(xué)生綜合能力的提高也起著非常重要的作用。同時(shí)，該環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)出來的前提。）

在學(xué)生給出不同的解答過程之后，我接著引導(dǎo)學(xué)生思考：如果對于一個(gè)等差數(shù)列，第一項(xiàng)未知用a1表示、公差未知用d表示，你能否推導(dǎo)出該等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。（學(xué)生思考，并在上述解答的思路中給予證明。）

證明：先求出等差數(shù)列的通項(xiàng)：an=a■+（n-1）d

設(shè)前n項(xiàng)和為Sn，即Sn=a■+a■+a■+a■+…+a■=a■+（a■+d）+（a■+2d）+…+[a■+（n-1）d]

=a■+a■+d+a■+2d+…+a■+（n-1）d

=na■+[d+2d+…+（n-1）d]=na■+d[1+2+3+…+（n-1）]

=na■+■d

當(dāng)然方法不止這一種，在此不再進(jìn)行詳細(xì)的介紹?？傊趯W(xué)生的解題過程給予肯定之后，我明確了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，并板書該公式，而且導(dǎo)入環(huán)節(jié)的問題也隨之得到了解決。

（設(shè)計(jì)意圖：該過程的設(shè)計(jì)就是為了讓學(xué)生自主動(dòng)手推導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，這樣不僅能夠加深學(xué)生的印象，而且對提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力也起著非常重要的作用。）

思考問題：（1）在等差數(shù)列{an}中，a3+a7-a10=8，a1-a4=4，則S13等于 ?； ?；。

（2）設(shè)等差數(shù)列{a■}的前n項(xiàng)和為S■，若a■=S■=12，則{a■}的通項(xiàng)a■= ?； ?；。

（3）已知等差數(shù)列前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求前3m項(xiàng)和為多少？

（4）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S■，已知：a■=12，S■>；0，S■<；0，求公差d的取值范圍？

……

（設(shè)計(jì)意圖：這幾道試題從難度上來說，由簡至難，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且對學(xué)生知識應(yīng)用能力的培養(yǎng)也起著非常重要的作用。）

六、教學(xué)反思

在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，我首先引導(dǎo)學(xué)生回顧了上節(jié)課的知識，既要起到復(fù)習(xí)的作用，又要為本節(jié)課的順利開展打好基礎(chǔ)。之后，借助學(xué)生熟悉的情境將學(xué)生引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)當(dāng)中。在整個(gè)過程中，我一直堅(jiān)持“以學(xué)生的發(fā)展為中心”“學(xué)生是課堂主體”的思想，借助自主探究模式，給學(xué)生搭建自主展示、自主思考的平臺，進(jìn)而讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、自主探究的過程中掌握本節(jié)課的重難點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)，為了能夠最大限度地發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。當(dāng)然，也為了加深學(xué)生的印象，使學(xué)生體驗(yàn)自主學(xué)習(xí)帶來的成功喜悅，我還設(shè)計(jì)了相關(guān)的問題，以促使高效課堂的順利實(shí)現(xiàn)。

編輯 李建軍