趙效鋒，管志川，廖華林，吳彥先

(中國石油大學石油工程學院，山東青島 266580)

收斂約束法是一種將理論基礎、實測數(shù)據(jù)和工程經驗結合為一體的隧道結構設計方法［1］。類比于隧道開挖過程中需要添加支護結構支撐開挖后的圍巖收斂，石油工程中的鉆井過程與其有一定的相似之處，即鉆出井眼后需要下套管并注水泥固井以達到支撐井壁的作用。因此，可將隧道結構設計中的收斂約束法引入石油工程中，用于水泥環(huán)力學完整性評價。目前，國內對水泥環(huán)完整性的研究多集中于水泥環(huán)力學特性分析和影響規(guī)律上［2-6］，缺乏系統(tǒng)化的水泥環(huán)完整性評價方法;盡管Fourmaintraux等［7］提出了基于收斂約束思想的系統(tǒng)響應曲線法可以直觀地對水泥環(huán)進行力學完整性評價，但對于破壞程度的量化卻沒有涉及。筆者在彈塑性力學的基礎上，結合收斂約束思想提出一種新的方法，以描繪水泥環(huán)的破壞形式及破壞程度，評價水泥環(huán)完整性和指導鉆井工程設計。

1 隧道收斂約束法的引入

隧道收斂約束法又名特性曲線法。圍巖向隧道中心產生變形即為收斂，支護提供壓力約束這種收斂。隧道開挖后，圍巖松弛并將應力逐漸傳遞給隧道支護結構，直到圍巖和支護達到變形相等的穩(wěn)定狀態(tài)。收斂約束法基于彈塑性理論求出圍巖特性曲線與支護特性曲線，找出特征曲線交點，用于判別隧道的安全狀態(tài)。Deer［8］最早利用圖解法闡述了隧道收斂約束法的基本概念，如圖1所示。圖1中收斂線表示圍巖壓力隨隧道內邊界徑向位移增大而減小，約束線表示支護壓力隨外邊界徑向位移增大而增大;假如支護時圍巖已產生初始位移u1，此時對應徑向應力為p1，圍巖仍處于彈性變形階段。由于支護可變形，圍巖與支護發(fā)生相互作用，最終圍巖徑向位移增大到u2時二者達到平衡，對應約束線與收斂線相交于a點，徑向應力為p2，此時已進入收斂線的塑性段，圍巖已發(fā)生塑性破壞，組合體結構失穩(wěn)。

圖1 收斂約束法原理圖Fig.1 Principle diagram of convergenceconfinement method

圖2 系統(tǒng)響應曲線原理圖Fig.2 Principle diagram of system response curve

同樣，結合收斂約束思想提出的系統(tǒng)響應曲線(圖2)由內外兩條響應曲線組成，分別等同于收斂約束法中的約束線和收斂線，內響應曲線為彈性介質，所以為直線，外響應曲線為彈塑性介質，因此有直線段和曲線段，同樣，二者反映的是接觸界面上的力與位移關系，交點即是界面形變相等的平衡點。當內外兩條響應曲線相交于彈性段(c點)時表明界面未產生塑性破壞，而相交于塑性段(b點)時則表明界面上產生了塑性破壞。

油氣井井筒主要由套管、水泥環(huán)、地層3部分組成，因此有兩個接觸界面，即套管－水泥環(huán)界面(固井Ⅰ界面)和水泥環(huán)－地層界面(固井Ⅱ界面)。如圖3所示，將系統(tǒng)響應曲線應用于油氣井井筒繪制水泥環(huán)界面系統(tǒng)響應曲線時，界面一側的另外兩個部分將被視為一體進行求解。

圖3 水泥環(huán)系統(tǒng)響應曲線界面分解模型Fig.3 Interface decomposition model of cement system response curve

2 組合體力學模型

通過對井筒系統(tǒng)幾何特征和邊界條件的分析，若不考慮井筒縱向上位移的變化及軸向力，依據(jù)彈塑性力學理論，可將模型簡化為厚壁圓筒的平面應變問題［2］，組合體力學模型如圖4所示。另外，求解過程須對模型作如下假設:①套管為各向均勻的彈性材料，水泥環(huán)、地層為彈塑性材料;②套管、水泥環(huán)、地層均為均勻壁厚的同心圓筒;③整個分析基于連續(xù)介質力學，且接觸界面無相對滑動。

圖4 套管-水泥環(huán)-地層組合體模型Fig.4 Combined model of casing，cement sheath and stratum

圖4中，r0為套管內半徑，mm;r1為水泥環(huán)內半徑，mm;r2為水泥環(huán)外半徑，mm;r3為近井地層外半徑，mm;虛線為彈塑性區(qū)域分界線;rp1和rp2分別為水泥環(huán)和地層的塑性半徑，mm;p0和p3分別為套管內壓和地層外邊界壓力，MPa;p1和p2分別為套管－水泥環(huán)界面、水泥環(huán)－地層界面作用力，MPa。

3 系統(tǒng)響應曲線公式推導

公式推導過程中，假設壓力為正，拉力為負。并選取Mohr-Coulomb準則作為水泥環(huán)的屈服準則。現(xiàn)實中由套管內壓變化所導致的水泥環(huán)塑性破壞始于水泥環(huán)內壁并向外擴展，當套管內壓大到使地層開始塑性變形時，水泥環(huán)早已完全塑性破壞，所以套管－水泥環(huán)界面較水泥環(huán)－地層界面更容易產生完整性問題，因此本文中暫不考慮水泥環(huán)－地層界面。

對套管－水泥環(huán)界面系統(tǒng)響應曲線計算時，須將水泥環(huán)和地層兩部分合為一體求解，相當于兩個厚壁筒緊密嵌套，而對套管則單獨進行求解，相當于單層厚壁筒。

3.1 彈性階段

由拉梅問題的基本解可得套管區(qū)域外徑處位移為

式中，G 為剪切模量，GPa;υ 為泊松比;下標1、2、3表示套管、水泥環(huán)和地層區(qū)域。

3.2 塑性階段

在套管內壓過大的情況下有可能出現(xiàn)水泥環(huán)塑性破壞，當界面作用力p1達到水泥環(huán)彈性極限時，水泥環(huán)內壁開始屈服，此時塑性半徑等于水泥環(huán)內徑;當p1逐漸增加時，水泥環(huán)內的彈塑性狀態(tài)也隨著改變，塑性半徑不斷增大，直到完全塑性變形。

平面應變問題中的切應力為0，則正應力σr、σθ和σz均為主應力，在外擠壓力小于內壓情況下，由拉梅公式基本解可以得出厚壁筒中σθ＜0、σr＞0且有 σθ＜ σr，由軸向應變 εz=0可以得 σz=υ(σr+σθ)，故σz為中間主應力，3個主應力的排序為σr≥σz≥σθ，則Mohr-Coulomb屈服準則的形式為

其中

式中，σr為徑向應力，第一主應力，MPa;σθ為周向應力，第三主應力，MPa;φ為內摩擦角，(°);c為黏聚力，MPa。

rp1為水泥環(huán)彈性區(qū)與塑性區(qū)分界線，根據(jù)彈塑性力學理論，可將水泥環(huán)彈性區(qū)與塑性區(qū)視為雙層厚壁筒求解，并根據(jù)r=rp1處應力、位移的連續(xù)性條件，最終推導出塑性階段水泥環(huán)－地層區(qū)域內徑處位移為

其中，rp1和p2滿足方程組:

式(5)為超越方程，可以用試算法求出。

3.3 拉伸破壞臨界線

在水泥環(huán)內壓大于外壓的情況下，水泥環(huán)應力超過其抗拉強度時可能產生拉伸破壞，則拉伸破壞臨界線需滿足以下條件。

首先，根據(jù)最小主應力σθ等于水泥環(huán)抗拉強度，可得

式中，σTS為水泥環(huán)抗拉強度，MPa。

通過判斷響應曲線位移平衡后的交點與拉伸破壞線的相對位置來判斷是否發(fā)生拉伸破壞，因此還應該滿足臨界線上的點均為響應曲線的交點，即

聯(lián)立方程(7)和(8)，即可得出拉伸破壞臨界線的表達式。

4 水泥環(huán)力學完整性評價方法

4.1 水泥環(huán)的破壞形式

在油氣井的長期服役過程中，造成水泥環(huán)力學完整性失效的破壞形式主要有:①Ⅰ界面微間隙。Ⅰ界面微間隙是水泥環(huán)長期完整性失效的主要形式之一。有分析指出，套管內壓交變作用下的水泥環(huán)塑性殘余變形是導致Ⅰ界面微間隙產生的主要原因。②Ⅱ界面微間隙。排除施工工藝、過程等不利因素，在油井長期服役過程中，相比Ⅰ界面，在套管內壓力交替變化條件下的Ⅱ界面不易產生微間隙。③剪切破壞。水泥環(huán)的剪切破壞是由于套管內壓過大所造成的，其破壞方向與界面法線方向呈一定角度。④徑向裂紋。徑向裂紋是水泥環(huán)的周向拉伸破壞的表現(xiàn)形式，而套管內壓過大及水泥環(huán)宏觀體積收縮是造成徑向裂紋的主要原因。

4.2 水泥環(huán)力學完整性的系統(tǒng)響應曲線

基于以上水泥環(huán)的破壞形式及破壞機制的分析，分別對水泥環(huán)的系統(tǒng)響應曲線所表示的結果進行說明。計算中將徑向位移朝向井筒軸線方向記為正。水泥環(huán)響應曲線如圖5所示。

如圖5(a)所示，套管、水泥環(huán)－地層區(qū)域分別在一定套管內壓和圍巖應力的作用下膨脹和收縮，因此當水泥環(huán)界面壓力為0時內外兩條響應曲線分別有相應的初始位移(圖中a和b兩點)。隨著界面壓力的不斷增大，套管徑向位移不斷增大，水泥環(huán)－地層區(qū)域徑向位移不斷減小，直到二者相交于一點c，此時界面應力相等且徑向位移相等，達到穩(wěn)定狀態(tài)，結果顯示平衡交點c位于水泥環(huán)－地層區(qū)域響應曲線的彈性段且在拉伸破壞臨界線以下，因此并未發(fā)生剪切破壞及拉伸破壞，水泥環(huán)完整性良好。

圖5 水泥環(huán)系統(tǒng)響應曲線Fig.5 Cement system response curve

相比曲線1，圖5(b)中曲線2中內響應曲線1的平衡交點c位于水泥環(huán)－地層區(qū)域響應曲線的塑性段及拉伸破壞臨界線以下，此種工況下水泥環(huán)只產生了剪切破壞，而沒有拉伸破壞;內響應曲線2的平衡交點d位于水泥環(huán)－地層區(qū)域響應曲線的塑性段且位于拉伸破壞臨界線以上，此種工況下水泥環(huán)不但產生剪切破壞并且出現(xiàn)了徑向裂紋。

在油氣井建井及生產過程中，不同階段、不同工況下套管內壓均不相同，微間隙的產生取決于前后兩個工況套管內壓的變化，如果水泥環(huán)在高應力作用下產生了塑性應變，套管壓力隨之降低則很可能產生微間隙。因此，微間隙的產生和評價是一個動態(tài)的過程。

如圖5(c)所示，內響應曲線1與外響應曲線相交于c點，表示在一定水泥環(huán)界面壓力下套管和水泥環(huán)－地層區(qū)域達到穩(wěn)定狀態(tài)，根據(jù)c點的位置可以判斷出水泥環(huán)發(fā)生了剪切破壞和拉伸破壞;當套管內壓減小時，內響應曲線1將會向徑向位移增大方向平移(圖中內響應曲線2)，根據(jù)彈塑性力學理論，當壓力超過材料的屈服極限時，卸壓后其應力－應變曲線將不再沿原路徑返回。因此，當水泥環(huán)－地層區(qū)域發(fā)生塑性破壞后界面壓力減小，其位移也不再沿收斂線變化，而是沿圖中的虛擬卸載線變化。根據(jù)塑性理論，總位移可以分解為彈性位移ue和塑性位移up，且在變形不大時，多數(shù)材料的塑性應變和殘余應變近似相等。圖5(c)中e點為彈塑性分界點，c點和e點二者所對應位移的差值即為殘余應變所對應的塑性位移，bb'是卸載后徑向位移與初始位移的差值即為殘余應變所對應的塑性位移，即ts=bb'，因此可以通過b點位置得出水泥環(huán)虛擬卸載線。圖5(c)中d點為內響應曲線2與虛擬卸載線的交點。若水泥環(huán)－地層區(qū)域沿原收斂線卸載，則在此平衡界面壓力下所對應的位移應該在n點處。由于虛擬卸載線的斜率大于原收斂線，因此隨著水泥環(huán)界面壓力的減小，水泥環(huán)－地層區(qū)域位移沿虛擬卸載線變化比原外響應曲線要快，二者之間存在位移差mn，tm為套管內壓減小所產生的卸載位移，當卸載后達到穩(wěn)定狀態(tài)時，如果套管的卸載位移tm比水泥環(huán)－地層區(qū)域的卸載位移mn大，即tm＞mn，二者間產生尺寸為(tm－mn)的微間隙;若狀態(tài)穩(wěn)定，套管內壓降低所產生的位移不足以抵消水泥環(huán)－地層區(qū)域的卸載位移差時，即tm＜mn，則不會產生微間隙。

5 實例分析

從文獻資料中選取一口垂直井的數(shù)據(jù)作為實例，該井井眼規(guī)則，固井質量良好且套管、水泥環(huán)完全居中，水泥環(huán)短期完整性良好，其幾何特征及材料參數(shù)見表1。

表1 實例井幾何特征及材料參數(shù)Table 1 Geometrical characteristic and material parameter of sample well

該井垂深4.575 km，水泥返高4.1175 km;在油井的整個生命周期中，近井區(qū)域的水平地應力未發(fā)生變化為92 MPa，在不同的作業(yè)階段和工況下，套管內壓力隨著套管內流體介質及井口壓力的不同而發(fā)生變化，計算過程中對套管內壓依次進行編號，如圖6所示。

圖6 不同作業(yè)階段套管內壓變化排序Fig.6 Casing pressure order at different operation stages

利用以上系統(tǒng)響應曲線法對油氣井生命周期中的水泥環(huán)力學完整性進行評價，評價結果如圖7所示。

圖7 水泥環(huán)力學完整性評價Fig.7 Evaluation of cement mechanical integrity

在鉆井、固井、完井前3個作業(yè)階段中(圖7(a))，套管和水泥環(huán)－地層區(qū)域達到穩(wěn)定狀態(tài)時的交點均未超過水泥環(huán)－地層區(qū)域的彈塑性臨界點，整個過程位于響應曲線的彈性段，水泥環(huán)完整性良好。隨著該井作業(yè)的繼續(xù)進行(圖7(b))，當油井處于試壓第1個階段時，水泥環(huán)－地層區(qū)域已進入塑性段，直到試壓的第3個階段，水泥環(huán)－地層區(qū)域進入完全塑性階段，由于試壓過程套管內壓力沒有降低，所以不可能產生微間隙。當套管中流體被置換時(圖7(c))，套管內壓降低，水泥環(huán)－地層區(qū)域響應曲線沿虛擬卸載線進行卸載，達到穩(wěn)定狀態(tài)后產生了0.07 mm的微間隙;當生產階段套管內壓再次上升時，在上一階段的界面位置基礎上繪制系統(tǒng)響應曲線，在產生塑性破壞后再次加載響應曲線存在應變硬化的現(xiàn)象，在界面壓力為110.5 MPa時再次與套管達到穩(wěn)定狀態(tài)，而此時水泥環(huán)－地層區(qū)域并未發(fā)生塑性破壞，平衡壓力距離彈塑性臨界點118 MPa仍有一段距離，但由于此前水泥環(huán)已發(fā)生過塑性破壞，存在破碎區(qū)，所以水泥環(huán)的完整性依然會失效。

6 結論

(1)將隧道結構設計中的收斂約束法引入石油工程中，提出的水泥環(huán)力學完整性評價方法可行，運用該方法可以對水泥環(huán)力學完整性進行直觀的評價，同時可以對破壞程度進行量化。

(2)水泥環(huán)力學完整性的評價需要縱觀油氣井的整個生產作業(yè)歷史。若前一階段水泥環(huán)完整性已經發(fā)生失效，會對后續(xù)階段的完整性產生影響。

(3)水泥環(huán)力學破壞準則的選取與破壞機制的研究在水泥環(huán)力學完整性評價中非常重要，其理論體系還有待于進一步研究。

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