孫翌晨 李軍

摘 要：針對(duì)粒子濾波存在的樣本貧化現(xiàn)象，提出了一種優(yōu)化重選樣本粒子的粒子濾波算法。這種方法在引入最新量測(cè)后將狀態(tài)后驗(yàn)概率密度逼近為一個(gè)高斯分布，在粒子貧化問(wèn)題逐漸凸顯后，通過(guò)該分布重新采集粒子后再進(jìn)行運(yùn)算，有效緩解了傳統(tǒng)方法在粒子貧化后出現(xiàn)的濾波精度下降的問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，新的粒子濾波算法有更高的濾波精度和運(yùn)行效率。

關(guān)鍵詞：粒子濾波；后驗(yàn)概率；粒子貧化；重新選取

近年來(lái)，粒子濾波在目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。常見(jiàn)的非線性濾波方法，如擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF），無(wú)跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）都是針對(duì)非線性系統(tǒng)的線性卡爾曼濾波方法的變形與改進(jìn)，因此使用條件也受到卡爾曼濾波算法的條件限制[1]。而粒子濾波算法通過(guò)蒙特卡羅仿真手段產(chǎn)生大量粒子，隨著采樣粒子數(shù)不斷增大，其散布情況將逐漸逼近狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度。粒子濾波在解決非高斯分布系統(tǒng)問(wèn)題上具有明顯的優(yōu)勢(shì)，可以說(shuō)它是目前非高斯非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的“最優(yōu)”濾波器[2]。但是，隨著時(shí)間的遞推，會(huì)出現(xiàn)粒子的退化問(wèn)題。通常，有兩種方法可以減輕粒子退化問(wèn)題：一是增加重采樣環(huán)節(jié)；二是選擇合適的重要密度函數(shù)進(jìn)行更有效的采樣[3-5]。常規(guī)的重采樣方法隨著迭代次數(shù)的增加，會(huì)出現(xiàn)粒子貧化問(wèn)題，為此，人們提出了許多不同的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，如高斯粒子濾波算法（Gaussian particle filter），重采樣粒子移動(dòng)算法（Resample-Move Alogrithm）[6]，增加馬爾可夫鏈蒙特卡羅（Markov Chain Monte Carlo）移動(dòng)步驟[7-9]，對(duì)粒子進(jìn)行正則（Regula—rization）重采樣[10]。

筆者將標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法和高斯粒子濾波相結(jié)合，引入一個(gè)重新選擇粒子的過(guò)程，即粒子優(yōu)化重選粒子濾波（Optimized Repicking Particle Filter）。當(dāng)粒子貧化問(wèn)題出現(xiàn)時(shí)，通過(guò)由當(dāng)前濾波值和方差生成的高斯密度函數(shù)來(lái)逼近后驗(yàn)概率分布，重新采樣后再進(jìn)行運(yùn)算。由于引入粒子優(yōu)化重選的過(guò)程，緩解了粒子的退化與貧化問(wèn)題，所以濾波精度要高于標(biāo)準(zhǔn)算法。最后的仿真結(jié)果也證明了這一點(diǎn)。

1 高斯粒子濾波算法

GPF通過(guò)由高斯密度函數(shù)來(lái)逼近后驗(yàn)概率分布，其基本思想是利用描述k時(shí)刻目標(biāo)狀態(tài)xk的后驗(yàn)概率分布 ，是對(duì)應(yīng)權(quán)值為的粒子集，其中是0到k時(shí)刻的狀態(tài)集。權(quán)值被歸一化為 。由此，k時(shí)刻的后驗(yàn)概率密度可表示為

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，選擇=為IDF可使權(quán)值的方差最小化，但通常情況下很難求得的表達(dá)式，因此一種簡(jiǎn)單常用的替代方案是選擇先驗(yàn)作為重要密度函數(shù)。因此，可將重要性權(quán)值寫(xiě)為：

1.1 量測(cè)更新

當(dāng)接受到第k個(gè)觀測(cè)值z(mì)k之后，可以利用樣本及其權(quán)值來(lái)計(jì)算濾波值和方差pk，將狀態(tài)后驗(yàn)概率密度逼近為一個(gè)高斯分布，可表示為

其中

1.2 時(shí)間更新

由于已經(jīng)將近似為高斯函數(shù)，故可將狀態(tài)預(yù)測(cè)概率密度近似為：

其蒙特卡羅逼近為

式中，是從 采樣得到的粒子，狀態(tài)預(yù)測(cè)概率密度函數(shù)的均值和方差可表示為

2 樣本優(yōu)化重選粒子濾波

與一般的粒子濾波相比，GPF不需要對(duì)粒子進(jìn)行重采樣，降低了計(jì)算量和復(fù)雜度，但是濾波精度較之一般的粒子濾波稍差，因而考慮將兩者結(jié)合。

由此，引入樣本優(yōu)化重選粒子濾波算法ORPF。在粒子貧化問(wèn)題出現(xiàn)后，引入高斯粒子濾波的思想將后驗(yàn)概率密度逼近為一個(gè)高斯分布。由通過(guò)蒙特卡羅仿真得到粒子集各個(gè)粒子的權(quán)值為1/N。進(jìn)而，在的基礎(chǔ)上通過(guò)狀態(tài)方程產(chǎn)生新的粒子集 進(jìn)行K+1時(shí)刻的計(jì)算。這樣，后一時(shí)刻的粒子根據(jù)前一時(shí)刻的新采樣的粒子集更新而來(lái)，這樣就可以保留粒子的多樣性。所以，當(dāng)在出現(xiàn)粒子貧化問(wèn)題時(shí)，可以采用這種方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

新算法的描述如下：

（1）由p（x0）得到N個(gè)采樣點(diǎn) 。

（2）計(jì)算權(quán)值 并對(duì)其歸一化，得到

（3）輸出K時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)為：

方差為

（4）判斷是否需要重采樣：計(jì)算的值，如果Neff

（5）進(jìn)行重采樣，將原來(lái)的帶權(quán)樣本映射為等權(quán)樣本

（6）判斷是否要重新采集粒子，設(shè)重采樣后被復(fù)制次最多的粒子繁殖出了a個(gè)子代，當(dāng)a>0.2N時(shí)則認(rèn)為粒子多樣性喪失，此時(shí)進(jìn)入步驟（7），否則，跳入步驟（8）。

（7）根據(jù)通過(guò)蒙特卡羅采樣得到粒子集

（8）通過(guò)狀態(tài)方程產(chǎn)生新粒子集

（9）重復(fù)步驟（2）～（8）。

3 實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果及分析

3.1 仿真一

選用單變量非靜態(tài)增長(zhǎng)模型（UNGM），仿真對(duì)象的過(guò)程模型和量測(cè)模型如下。

過(guò)程模型：

量測(cè)模型：

式中，ω（t）和v（t）為零均值高斯噪聲。仿真取噪聲方差Q為10，量測(cè)噪聲方差R為1。分別用增加馬爾可夫鏈蒙特卡羅粒子濾波（MCMCPF）和樣本優(yōu)化重選粒子濾波算法（ORPF）來(lái)對(duì)這樣的非線性系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)和跟蹤。時(shí)間步長(zhǎng)50次。

其中均方根誤差

具體數(shù)據(jù)如表1所示：

狀態(tài)估計(jì)曲線如圖1、2所示：

如表1所示，過(guò)程噪聲方差Q=10、量測(cè)噪聲方差R=1時(shí)。在N=100，MCMCPF的誤差均值為3.6946，而ORPF為3.5602；MCMCPF的RMSE為5.2191，而ORPF為4.0066；在狀態(tài)估計(jì)時(shí)間上，MCMCPF為0.009502s，而ORPF為0.010143s。在N=500時(shí)，MCMCPF的誤差均值為2.6765，而ORPF為2.4154；MCMCPF的RMSE為3.6747，而ORPF為3.2293；在時(shí)間估計(jì)上，MCMCPF為0.085130s，而ORPF為0.028229s。由此，說(shuō)明ORPF的估計(jì)精度比MCMCPF略高，在粒子數(shù)較少時(shí)，兩種算法的估計(jì)時(shí)間相差不大，但隨著粒子數(shù)的增加，MCMCPF的估計(jì)時(shí)間急劇上升，遠(yuǎn)超ORPF。

如圖1、2、3、4所示，ORPF算法的估計(jì)誤差是略小于MCMCPF的，濾波精度是略優(yōu)于MCMCPF的。

綜上，可以得出，在高度非線性模型下，ORPF在濾波精度上略優(yōu)于MCMCPF，在實(shí)時(shí)性上要優(yōu)于MCMCPF。

3.2 仿真二

選用被動(dòng)定位系統(tǒng)中二維純方位目標(biāo)跟蹤模型，仿真對(duì)象的過(guò)程模型和量測(cè)模型如下：

過(guò)程模型：

量測(cè)模型：

其中為系統(tǒng)k時(shí)刻的狀態(tài)值，即目標(biāo)在x和y軸上的位置和速度，為k-1時(shí)刻x，y方向的系統(tǒng)噪聲，為k時(shí)刻的觀測(cè)噪聲。為k時(shí)刻的觀測(cè)角度。

如圖5、6所示，ORPF在X軸方向和Y軸方向上的估計(jì)誤差都小于PF的估計(jì)誤差，說(shuō)明ORPF的估計(jì)精度高于PF。圖7展示了2種算法的狀態(tài)估計(jì)曲線，顯然ORPF的跟蹤精度要好。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于GPF的加入了粒子優(yōu)化重選步驟的新的粒子濾波。傳統(tǒng)的重采樣方法中權(quán)值較大的粒子會(huì)被多次復(fù)制，造成粒子的貧化。在貧化問(wèn)題出現(xiàn)時(shí)，利用當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值和方差構(gòu)建高斯密度函數(shù)來(lái)逼近后驗(yàn)概率分布，從中重新采樣并更新粒子。該方法能夠有效的緩解粒子貧化帶來(lái)的問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，提出的ORPF在估計(jì)性能上要好于傳統(tǒng)的PF。

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