黃友波

（福建省寧德市第五中學(xué)，福建 寧德 352100）

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)新課程中的重要內(nèi)容，在這些內(nèi)容中強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)作為函數(shù)的作用，強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的基本模型等，這是數(shù)學(xué)課程發(fā)展中的一個變化.雖然高中數(shù)學(xué)新課程已對一些內(nèi)容降低了要求，但很多學(xué)生同樣不適應(yīng)，不能很好地理解與掌握。高考試題中的三角函數(shù)題相對比較傳統(tǒng)，位置靠前，通常以簡單題形式出現(xiàn)。因此，在學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)過程中要特別注重三角知識的基礎(chǔ)性，突出三角函數(shù)的圖象及其變換、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)，以及化簡、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生熟練記憶和應(yīng)用三角公式及其恒等變形，同時要注重三角知識的工具性.對此本人從幾個方面加以闡述，希望能夠幫助學(xué)生認(rèn)識“三角函數(shù)”在數(shù)學(xué)中的地位，能較為全面地把握“三角函數(shù)”知識脈絡(luò)，學(xué)好三角函數(shù)知識，提高綜合能力.

一、解決角的問題是學(xué)好三角函數(shù)的前提

（一）解決好特殊角的三角函數(shù)值的求法

在初中，學(xué)生對0°～90°之間的特殊角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值已了如指掌，但到了高中，隨著角度的擴(kuò)展，求與特殊角有關(guān)的角的三角函數(shù)值也隨之增多，如對120°、135°、330°、—30°等角的三角函數(shù)值的求法開始出現(xiàn)了混亂。如何解決這一問題呢？通過學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式，學(xué)生明白了求這一類角的三角函數(shù)值，看似眾多，其實(shí)都與0°、30°、45°、60°、90°的三角函數(shù)值有關(guān)，且只有符號的異同。因此幫助學(xué)生弄清誘導(dǎo)公式所概括的“奇變偶不變，符號看象限”這一規(guī)律，計算這一類角的三角函數(shù)值的問題也就迎刃而解。

（二）解決好角與角之間的關(guān)系

相當(dāng)多的學(xué)生直觀地把cos（α+β） 化為cosα+cosβ-sinαsinβ用于計算，造成運(yùn)算煩瑣或無功而返。究其原因是缺乏整體思想，沒有注意到對角的關(guān)系進(jìn)行觀察、分析。事實(shí)上若清楚β=（α+β）-α，則問題迎刃而解。又如：

（三）解決好隱含條件的問題

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個主要環(huán)節(jié)，它的一般過程是：問題條件→知識方法→結(jié)果，可見尋找問題條件是解題的第一步.可是在一些數(shù)學(xué)題中，它的某些條件較為隱蔽，需要經(jīng)過反復(fù)推敲，剖析題意.挖掘題設(shè)隱含條件，所謂隱含條件，是指題中若明若暗、含蓄不露的條件，它們常常巧妙地隱蔽在題設(shè)的背后，不易被人們所覺察，或者極易被人忽視，而直接制約整個解題過程，三角函數(shù)在許多方面如定義、公式、三角函數(shù)值，條件等式中都存在著隱含條件。在解三角函數(shù)題時，常因未能發(fā)掘其隱含條件造成一開始解題就無法進(jìn)行，或者解到某一個階段而陷入困境，或者造成解題失誤。

例3.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，cos，求B.

二、熟記，靈活運(yùn)用公式是學(xué)好三角函數(shù)的基礎(chǔ)

（一）熟練掌握三角變換的公式

很多學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)三角函數(shù)時，因?yàn)槿呛瘮?shù)的公式太多，而造成混亂。其實(shí)公式之間也有一定的內(nèi)在聯(lián)系，比如誘導(dǎo)公式（k∈z）中，只需把“α”看成銳角，畫出的終邊表示在X軸正半軸、X軸負(fù)半軸、Y軸正半軸、Y軸負(fù)半軸中的哪一個，終邊在X軸上則函數(shù)名不變，終邊在Y軸函數(shù)名改變；終邊再按順時針還是逆時針轉(zhuǎn)一個銳角定象限，確定函數(shù)符號。掌握了誘導(dǎo)公式以后，就可以把任意角的三角函數(shù)化為0°～90°間角的三角函數(shù)。又如：以兩角和的余弦公式為基礎(chǔ)推導(dǎo)得出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握這些公式的內(nèi)在聯(lián)系及推導(dǎo)的線索，能夠幫助我們理解和記憶這些公式；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式是進(jìn)行三角變換的重要基礎(chǔ)之一，它們在化簡三角函數(shù)式和證明三角恒等式等問題中要經(jīng)常用到，必須熟記，并能熟練運(yùn)用.這也是學(xué)好本單元知識的關(guān)鍵.

（二）靈活運(yùn)用三角公式

熟練掌握三角變換的所有公式理解每個公式的意義，特征；熟悉三角變換常用的方法——化弦法、降冪法、角的變換法等；并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點(diǎn)，并能結(jié)合三角形中的有關(guān)公式解決一些實(shí)際問題.

1.運(yùn)用化弦（切）法：

2.運(yùn)用增減倍與升降冪法：在運(yùn)用公式化簡三角函數(shù)時，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體問題分析采用增倍還是減倍，升冪還是降冪。

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=π處取最小值，所以sin（x+φ）=-1，由誘導(dǎo)公式知sinφ=1，因?yàn)?＜φ＜π，所以

例7：已知函數(shù)f（x）=sin2x+sinxcosx+2cos2x，x∈R.求函數(shù)（fx）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；其中sinxcosx可轉(zhuǎn)化為sin2x，所以將sin2x、cos2x降冪同時把角轉(zhuǎn)化二倍角。

3.運(yùn)用輔助角及常用模式的轉(zhuǎn)換法。在三角函數(shù)中除了運(yùn)用課本內(nèi)的公式外，還利用類似輔助角公式asinθ+bcosθ=進(jìn)行解題。（這里輔助角φ所在象限由a、b的符號確定，φ角的值由tanφ確定。）而且在實(shí)際解題中，這一類問題大部分集中在sinα±cosα=cosα和等常用模式的轉(zhuǎn)化。

如上例7函數(shù)化簡為：

總之，只要我們讓學(xué)生注重三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，熟練掌握三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)，學(xué)會運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想等思想方法解決問題，那么學(xué)生將會順利學(xué)好三角函數(shù)，使數(shù)學(xué)真正成為形成學(xué)生的理性思維和促進(jìn)學(xué)生個人智力發(fā)展的動力，在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中，發(fā)揮出獨(dú)特的不可替代的作用。