薛勝菊

（河北棗強(qiáng)中學(xué)，河北 棗強(qiáng) 053100）

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中可以說是“叱咤風(fēng)云”，具有深刻的內(nèi)涵與豐富的外延，在應(yīng)用中顯示出獨(dú)特的魅力和勢不可擋的滲透力.從近幾年新課標(biāo)高考來看，數(shù)列的考查逐漸趨向于簡單化，但是數(shù)列求最值，卻成了高考命題的熱點(diǎn)，也成了聯(lián)系數(shù)列與函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式求解等知識交匯題型的紐帶.本文主要談?wù)剶?shù)列求最值的幾個常規(guī)解法，供讀者參考.

一、均值定理求數(shù)列中項(xiàng)的最值

例1（2013屆閔行區(qū)二模）公差為d，各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列{an}中，若a1=1，an=73，則n+d的最小值等于（ ）.

解：Q a1=1，an=73，∴（n-1）+1，∴n=9時，n+d取最小值18.

點(diǎn)評：利用式子特征構(gòu)造均值定理應(yīng)用環(huán)境，適用于所求式子為齊次分式，或分子分母一、二次能分離的，可以構(gòu)造均值定理的數(shù)列求最值問題.

【變式1】設(shè)a1，a2，…，a2007均為正實(shí)數(shù)，且，則a1a2…a2007的最小值是（ ） .

二、函數(shù)性質(zhì)法求解數(shù)列最值

例2（2013江蘇理14題）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5=，a6+a7=3，則滿足a1+a2+L+an＞a1a2Lan的最大正整數(shù)n的值為_______.

解法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q，則q>0，根據(jù)題意得化簡得q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍），∴a1=2-5，又∵a1·a2·…·，又Qa1+a2+…+an＞a1·a2·…·an，所以，將n=1，2，3，…帶入驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)n≥13時上述不等式成立.故n取最大整數(shù)12.

點(diǎn)評：數(shù)列是特殊的函數(shù)，若其通項(xiàng)或前n項(xiàng)和有明確的函數(shù)解析式時，一般考慮用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)求取最值，但要注意自變量n的取值范圍.一般情況下用作差或作商來證明單調(diào)性求解，有時也用導(dǎo)數(shù)來證明.本題易忽視公比的取值范圍而致錯，對指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)不熟也會導(dǎo)致錯誤.

【變式2】已知數(shù)列{an}滿足，數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為_______.

三、導(dǎo)數(shù)法在數(shù)列求最值當(dāng)中的應(yīng)用

例3[2013新課標(biāo)Ⅱ卷（理）]等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為_______.

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)法求數(shù)列最值，一般用于所求解析式是高次，或作商和作差不好判斷單調(diào)性的題型，是利用函數(shù)性質(zhì)求數(shù)列最值的一種特況，作為研究數(shù)列和函數(shù)的橋梁，使問題解決便捷.

【變式3】 （2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題解答）數(shù)列，2，L，則數(shù)列中最大項(xiàng)的值為（ ）.

四、數(shù)列特性法求解最值

例4 （2011北約13校自主選拔）在等差數(shù)列 {an}中，a3=-13，a7=3，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求數(shù)列{Sn}的最小項(xiàng)，并指出其值為何.

解：因?yàn)閍3=-13，a7=3，所以d=4，所以an=4n-25，

點(diǎn)評：等差數(shù)列求解最值問題，一般利用等差數(shù)列的特性、單調(diào)性或其前n項(xiàng)和的二次函數(shù)性質(zhì)求解最方便.

總之，數(shù)列最值問題求法多種多樣，運(yùn)用技巧靈活，知識綜合性強(qiáng)，它成為數(shù)列與函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式求解等知識交匯題型的紐帶.均值定理法、函數(shù)性質(zhì)法、導(dǎo)數(shù)法等都巧妙地把數(shù)列求最值轉(zhuǎn)化成了函數(shù)最值問題，并且數(shù)列本身性質(zhì)也為求取最值開辟了巧妙的思路.