彭明哲　李群松

摘 要：以先導(dǎo)式減壓閥壓力傳感器的標(biāo)定、減壓閥的卸壓-建壓特性試驗(yàn)為例，對(duì)先導(dǎo)式定壓減壓閥CAT系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理與誤差分析做了詳細(xì)的闡述。給出了試驗(yàn)中傳感器標(biāo)定方法及數(shù)據(jù)預(yù)處理的一種具體算法。結(jié)果表明：將正交多項(xiàng)式回歸應(yīng)用于動(dòng)、靜態(tài)特性試驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理中，回歸次數(shù)越高，回歸曲線越逼近真實(shí)曲線，正交多項(xiàng)式回歸的標(biāo)準(zhǔn)差就越小，數(shù)據(jù)處理的精度就越高。該法可以應(yīng)用于相關(guān)的數(shù)據(jù)處理中。

關(guān)鍵詞：減壓閥 傳感器 數(shù)據(jù)處理 誤差分析

中圖分類號(hào)：TH137 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）04（c）-0049-04

壓力控制閥幾乎在每個(gè)液壓系統(tǒng)中都要用到，其性能的好壞對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的正常工作有很大影響。定壓減壓閥應(yīng)用最廣，它是用來(lái)控制出口壓力為定值，使液壓系統(tǒng)中某一部分得到較供油壓力低的穩(wěn)定壓力。而在壓力測(cè)定的過(guò)程中，不可能獲得絕對(duì)準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果。因此我們通過(guò)測(cè)量所獲得的原始數(shù)據(jù)，都含有誤差。只有將這些含有誤差的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)加工處理，盡量消除誤差，使測(cè)量結(jié)果更加可靠，并估計(jì)其精確程度[1]。文章就先導(dǎo)式壓力減壓閥的數(shù)據(jù)處理提出了回歸等數(shù)據(jù)預(yù)處理和處理等辦法，以盡量消除測(cè)試誤差，使采集的數(shù)據(jù)更真實(shí)有效，以提高系統(tǒng)的測(cè)試精度。

1 先導(dǎo)式定壓減壓閥工作原理

圖1是先導(dǎo)式定壓減壓閥的工作原理圖。進(jìn)口壓力p經(jīng)減壓縫隙減壓后，壓力變?yōu)閜1（即出口壓力），出口壓力油經(jīng)主閥芯滑閥之軸向槽a進(jìn)入滑閥底部，然后經(jīng)滑閥中部軸向孔進(jìn)入滑閥上端油腔，進(jìn)入上腔的壓力油再經(jīng)閥蓋上通孔b、先導(dǎo)閥閥座孔c，作用在先導(dǎo)閥錐閥上。當(dāng)出口壓力低于調(diào)定壓力時(shí)，先導(dǎo)閥在調(diào)壓彈簧的作用下關(guān)閉閥口，滑閥上下腔的油壓均等于出口壓力，滑閥在彈簧力的作用下處于最下端位置，滑閥中間凸間與閥體之間構(gòu)成的減壓閥閥口全開(kāi)，不起減壓作用。當(dāng)出口壓力上升至調(diào)定壓力時(shí)，先導(dǎo)閥錐閥在油壓作用下被打開(kāi)溢流，流入先導(dǎo)閥彈簧腔的液體經(jīng)上蓋上的泄油孔（圖中未畫(huà)出）流回油箱，出口壓力油經(jīng)上述通道不斷補(bǔ)充、最后經(jīng)泄油孔流回油箱。由于滑閥中部軸向孔為阻尼孔，因此油液經(jīng)該孔時(shí)有壓力損失存在，滑閥上腔壓力p2低于滑閥下腔壓力p1。于是滑閥在上下兩端壓力差的作用下克服彈簧力向上運(yùn)動(dòng)，使得減壓閥閥口減小，運(yùn)動(dòng)到某一位置，作用在滑閥上的所有力處于平衡，記此平衡位置的減壓閥閥口減壓縫隙長(zhǎng)度為y。因?yàn)殚y口的減壓作用，使減壓閥的出口壓力低于進(jìn)口壓力。此時(shí)，先導(dǎo)閥錐閥在油壓p2和先導(dǎo)閥調(diào)壓彈簧的彈簧力以及閥口液動(dòng)力的共同作用下處于某一平衡位置，閥口開(kāi)度為x。如果先導(dǎo)閥調(diào)壓彈簧的彈簧力調(diào)定，則先導(dǎo)閥前的壓力p2為定值，相應(yīng)閥的出口壓力亦為定值，此值即為減壓閥的調(diào)定壓力。各參數(shù)的測(cè)定均通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助測(cè)試系統(tǒng)來(lái)完成。

2 CAT系統(tǒng)中傳感器的數(shù)字標(biāo)定

為便于計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理，可通過(guò)標(biāo)定幾組有效的值來(lái)對(duì)傳感器進(jìn)行標(biāo)定，并把標(biāo)定值保存到文件，以便后繼試驗(yàn)時(shí)調(diào)用。傳感器的數(shù)字標(biāo)定可以避免傳感器零點(diǎn)的校正、便于上、下位機(jī)間的數(shù)據(jù)傳輸。在本CAT系統(tǒng)中的實(shí)際值與傳感器所測(cè)量的上、下位機(jī)中的標(biāo)示值（也稱為測(cè)量值）符合線性關(guān)系，可以用回歸分

析法來(lái)進(jìn)行傳感器的標(biāo)定。假設(shè)實(shí)際值為Y，標(biāo)示值為X，這樣X(jué)和Y就可用式1來(lái)表達(dá)：

（1）

為使式2的E值達(dá)到最小，根據(jù)最小二乘法，可以確定式1的系數(shù)a，b的值

（2）

其中（xi，yi），i=0，1，…n-1，為（X，Y）的n組有效標(biāo)定值。

根據(jù)極值原理，a 與b應(yīng)滿足下列等式（3）：

（3）

從式（3）解得：

，

（4）

式4中：，

根據(jù)以上的數(shù)據(jù)處理方法，下面給出了本CAT系統(tǒng)的測(cè)試回路中A口的壓力傳感器標(biāo)定的演示，如圖2所示。圖3給出液壓元件CAT系統(tǒng)各壓力傳感器的標(biāo)定的曲線，并計(jì)算得出相應(yīng)的標(biāo)定誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。

，，， 。

3 數(shù)據(jù)處理

在壓力控制閥的靜特性試驗(yàn)中，其測(cè)試的數(shù)據(jù)是序列觀測(cè)值，要從實(shí)際的序列觀測(cè)數(shù)據(jù)中盡可能排除噪音等成分而讓真實(shí)信號(hào)保留下來(lái)，在此采用數(shù)字濾波方法。當(dāng)測(cè)試數(shù)據(jù)足夠致密，且每一測(cè)試點(diǎn)附近二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)時(shí)，即幾何上反映為曲線的凹凸方向一致時(shí)，數(shù)字濾波可取得較好的平滑效果[2-4]。本系統(tǒng)采用非線性滑動(dòng)平滑方法，具體實(shí)現(xiàn)如下。

設(shè)在某一點(diǎn)的左右兩側(cè)各取兩個(gè)相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)，橫坐標(biāo)值分別是x=-2，-1，0，1，2，設(shè)定函數(shù)對(duì)自變量

x的二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，可取擬合函數(shù)：作為被測(cè)信號(hào)在〔 -2，2〕上的近似。

據(jù)最小二乘原理 ，誤差的平方和為：

由，得：

，

，

我們的目的是校正x=0處的y0的實(shí)際值，得y0的估計(jì)值為：

（5）

式5即為五點(diǎn)加權(quán)平滑濾波公式，它的實(shí)質(zhì)是在小區(qū)間[-2，2]上的曲線擬合問(wèn)題，顯然具有局部性的特點(diǎn)，這一特點(diǎn)決定了它不能適用于大幅值干擾的場(chǎng)合；另外，由于推導(dǎo)的前提條件是二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，對(duì)有周期性脈動(dòng)干擾的處理，效果必然不佳。它適合于噪聲較微弱，并且不存在高頻周期性干擾的緩變信號(hào)，故我們用于靜態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)預(yù)處理的濾波中[5-6]。

運(yùn)用此平滑濾波公式對(duì)先導(dǎo)式定壓減壓閥的穩(wěn)態(tài)壓力-流量特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，其處理前后試驗(yàn)曲線如圖4所示。圖4（a）為濾波前的原始數(shù)據(jù)曲線，圖4（b）為濾波后的數(shù)據(jù)曲線。處理后的曲線明顯光滑，去除了原始曲線中的毛刺。

在測(cè)試數(shù)據(jù)的回歸分析中，為了求得回歸參數(shù)的大小，最常用的是采用最小二乘法。這是因?yàn)榫€性回歸模型在符合Gauss-Markov假定的條件下，采用最小二乘法估計(jì)其回歸參數(shù)具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，如無(wú)偏性、一致性等[7]。endprint

為不失一般性，假設(shè)要擬合的動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)為（i=0，1，…，N-1），擬合函數(shù)為f（x，），它是的非線性函數(shù)；，為待求的參數(shù)向量。定義殘差向量e = [e，e，…，e]。其中y，i = 0，1，…，N-1，通常N>m。要求選擇使得擬合函數(shù)f（x，）在某種準(zhǔn)則函數(shù)意義上盡可能好地?cái)M合數(shù)據(jù)。定義準(zhǔn)則函數(shù)為殘差向量e的l范數(shù)，即：

（6）

極小化式6求得參數(shù)，就得到所謂的數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題。為了求解的方便，極小化式6等價(jià)于極小化如下準(zhǔn)則函數(shù)：

，p=1，2， （7）

當(dāng)p=2 時(shí)，就是我們要求的二次準(zhǔn)則函數(shù)：

對(duì)于測(cè)試定壓減壓閥的靜特性和動(dòng)特試驗(yàn)曲線，很難找到線性化的函數(shù)形式來(lái)表達(dá)，而用多項(xiàng)式逼近是一種有力的工具。然而用一般多項(xiàng)式回歸，存在著諸如計(jì)算趨于復(fù)雜等一些缺點(diǎn)[8]。一種有效的克服辦法是采用正交多項(xiàng)式的回歸分析。它的法方程組系數(shù)矩陣為對(duì)角陣，所以不會(huì)出現(xiàn)病態(tài)問(wèn)題，其逆陣也是對(duì)角陣，且求逆非常方便。由正交多項(xiàng)式組成的回歸方程，除了計(jì)算回歸系數(shù)方便外，還有一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)，從已有的回歸方程中刪去或增加一個(gè)自變量的多項(xiàng)式函數(shù)后，其余的自變量多項(xiàng)式函數(shù)的回歸系數(shù)都沒(méi)有變化。下面是基于二次準(zhǔn)則下的正交多項(xiàng)式的回歸，其基本實(shí)現(xiàn)方法如下：

設(shè)已知N數(shù)據(jù)點(diǎn)（i=0，1，…，N-1），求（m-1）次最小二乘擬合多項(xiàng)式

（8）

這一多項(xiàng)式函數(shù)組的生成步驟為：

可以證明，由上述遞推構(gòu)造的多項(xiàng)式函數(shù)組（j=0，1，…，m-1）是相互正交的[9]。根據(jù)最小二乘原理，可得的表達(dá)式為：，j=0，1，…，m-1

最后可以化成一般的m-1次多項(xiàng)式為：

以上算法便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，為了防止運(yùn)算溢出，用代替，其中， i=0，1，..，N-1。

擬合多項(xiàng)式如下：

在數(shù)據(jù)處理的軟件模塊中，設(shè)置了交互式的數(shù)據(jù)處理模式，即對(duì)采集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式回歸時(shí)，根據(jù)用戶輸入要求進(jìn)行m次的回歸，軟件并將所得的各多項(xiàng)式要進(jìn)行顯著水平的檢驗(yàn)和正交多項(xiàng)式回歸的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算，直至達(dá)到試驗(yàn)要求為止。

運(yùn)用此正交多項(xiàng)式回歸分析，對(duì)減壓閥出口流量階躍壓力響應(yīng)特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，經(jīng)過(guò)6次回歸，得到其處理前后的曲線如圖5所示。

4 CAT系統(tǒng)的誤差分析

一個(gè)CAT系統(tǒng)的測(cè)試誤差來(lái)源是多方面的，實(shí)際情況很復(fù)雜。主要包括硬件、軟件、及數(shù)據(jù)處理幾個(gè)方面。對(duì)于傳感器、A/D轉(zhuǎn)換引起的誤差、上、下位機(jī)間數(shù)碼轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的誤差，其相對(duì)誤差很小，在此不再討論。主要對(duì)應(yīng)用正交多項(xiàng)式回歸分析處理數(shù)據(jù)時(shí)產(chǎn)生的誤差進(jìn)行分析。

以減壓閥的卸壓-建壓特性試驗(yàn)為例，具體分析正交多項(xiàng)式回歸的誤差分析。在卸壓-建壓特性曲線中，右邊的建壓特性曲線是用正交多項(xiàng)式最小二乘擬合的，曲線如圖6所示。圖6（a）為擬合前的曲線，圖6（b）為擬合后的曲線。

在此試驗(yàn)中，右邊建壓曲線所采集的點(diǎn)數(shù)N=625，回歸次數(shù)為m-1=5次。則其[10]：

總離差平方和為：，回歸差平方和為：jy

第j個(gè)多項(xiàng)式的偏回歸平方和：，剩余平方和：

其中為正交多項(xiàng)式回歸的系數(shù)（前已推導(dǎo)）；為：

方差比：

其中：的相應(yīng)自由度為，所以偏回歸方差估計(jì)值為：

剩余平方和的相應(yīng)自由度為，所以剩余的方差估計(jì)值為：

根據(jù)以上計(jì)算，可以得到以下正交多項(xiàng)式回歸的方差分析，如表1所示：

經(jīng)查F檢驗(yàn)的臨界值（Fa）表，取a=0.01，f1=1，f2=（因?yàn)閒2=618>500）。

在方差分析表1中，F(xiàn)計(jì)算值全都大于，故認(rèn)為都是高度顯著的，所以表中注以“**”，即表示1-5次項(xiàng)都是高度顯著，則所配制的多項(xiàng)式能夠正確地代表試驗(yàn)結(jié)果。其正交多項(xiàng)式回歸的標(biāo)準(zhǔn)差為

這樣的精度是比較滿意的。如果對(duì)數(shù)據(jù)處理的結(jié)果不滿意，還可以提高正交多項(xiàng)式的回歸次數(shù)來(lái)更加逼近測(cè)試數(shù)據(jù)，獲得更高的精度。

5 結(jié)語(yǔ)

（1）在CAT系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)測(cè)量的誤差來(lái)自多個(gè)方面。其中，由A/D轉(zhuǎn)換引起的誤差以及上、下位機(jī)間數(shù)據(jù)的數(shù)碼轉(zhuǎn)換引起的誤差極其微小，可以忽略。

（2）在壓力控制閥的靜特性試驗(yàn)中，當(dāng)測(cè)試數(shù)據(jù)足夠致密，且每一測(cè)試點(diǎn)附近二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)時(shí)，即幾何上反映為曲線的凹凸方向一致時(shí)，對(duì)采集的數(shù)據(jù)采用非線性滑動(dòng)平滑方法，可以取得比較好的平滑效果。

（3）在用正交多項(xiàng)式回歸試驗(yàn)曲線時(shí)，回歸次數(shù)越高，回歸曲線越逼近真實(shí)曲線，正交多項(xiàng)式回歸的標(biāo)準(zhǔn)差就越小，數(shù)據(jù)處理的精度就越高，可以根據(jù)需要選擇合適的回歸次數(shù)，以獲得所需的測(cè)量精度。

參考文獻(xiàn)

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[4] Khalatova L.V.， Accuracy Estimation for Automated Computer- measurement Process[J].Meas Tech，1985，1985，123（3）.

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[9] P.J. Torpey. Minicomputericing analog data collection[M].USA： McGraw-Hill， 1980.

[10] 胡上序，陳德釗.觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析與處理[M].浙江：浙江大學(xué)出版社，1996.endprint

為不失一般性，假設(shè)要擬合的動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)為（i=0，1，…，N-1），擬合函數(shù)為f（x，），它是的非線性函數(shù)；，為待求的參數(shù)向量。定義殘差向量e = [e，e，…，e]。其中y，i = 0，1，…，N-1，通常N>m。要求選擇使得擬合函數(shù)f（x，）在某種準(zhǔn)則函數(shù)意義上盡可能好地?cái)M合數(shù)據(jù)。定義準(zhǔn)則函數(shù)為殘差向量e的l范數(shù)，即：

（6）

極小化式6求得參數(shù)，就得到所謂的數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題。為了求解的方便，極小化式6等價(jià)于極小化如下準(zhǔn)則函數(shù)：

，p=1，2， （7）

當(dāng)p=2 時(shí)，就是我們要求的二次準(zhǔn)則函數(shù)：

對(duì)于測(cè)試定壓減壓閥的靜特性和動(dòng)特試驗(yàn)曲線，很難找到線性化的函數(shù)形式來(lái)表達(dá)，而用多項(xiàng)式逼近是一種有力的工具。然而用一般多項(xiàng)式回歸，存在著諸如計(jì)算趨于復(fù)雜等一些缺點(diǎn)[8]。一種有效的克服辦法是采用正交多項(xiàng)式的回歸分析。它的法方程組系數(shù)矩陣為對(duì)角陣，所以不會(huì)出現(xiàn)病態(tài)問(wèn)題，其逆陣也是對(duì)角陣，且求逆非常方便。由正交多項(xiàng)式組成的回歸方程，除了計(jì)算回歸系數(shù)方便外，還有一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)，從已有的回歸方程中刪去或增加一個(gè)自變量的多項(xiàng)式函數(shù)后，其余的自變量多項(xiàng)式函數(shù)的回歸系數(shù)都沒(méi)有變化。下面是基于二次準(zhǔn)則下的正交多項(xiàng)式的回歸，其基本實(shí)現(xiàn)方法如下：

設(shè)已知N數(shù)據(jù)點(diǎn)（i=0，1，…，N-1），求（m-1）次最小二乘擬合多項(xiàng)式

（8）

這一多項(xiàng)式函數(shù)組的生成步驟為：

可以證明，由上述遞推構(gòu)造的多項(xiàng)式函數(shù)組（j=0，1，…，m-1）是相互正交的[9]。根據(jù)最小二乘原理，可得的表達(dá)式為：，j=0，1，…，m-1

最后可以化成一般的m-1次多項(xiàng)式為：

以上算法便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，為了防止運(yùn)算溢出，用代替，其中， i=0，1，..，N-1。

擬合多項(xiàng)式如下：

在數(shù)據(jù)處理的軟件模塊中，設(shè)置了交互式的數(shù)據(jù)處理模式，即對(duì)采集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式回歸時(shí)，根據(jù)用戶輸入要求進(jìn)行m次的回歸，軟件并將所得的各多項(xiàng)式要進(jìn)行顯著水平的檢驗(yàn)和正交多項(xiàng)式回歸的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算，直至達(dá)到試驗(yàn)要求為止。

運(yùn)用此正交多項(xiàng)式回歸分析，對(duì)減壓閥出口流量階躍壓力響應(yīng)特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，經(jīng)過(guò)6次回歸，得到其處理前后的曲線如圖5所示。

4 CAT系統(tǒng)的誤差分析

一個(gè)CAT系統(tǒng)的測(cè)試誤差來(lái)源是多方面的，實(shí)際情況很復(fù)雜。主要包括硬件、軟件、及數(shù)據(jù)處理幾個(gè)方面。對(duì)于傳感器、A/D轉(zhuǎn)換引起的誤差、上、下位機(jī)間數(shù)碼轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的誤差，其相對(duì)誤差很小，在此不再討論。主要對(duì)應(yīng)用正交多項(xiàng)式回歸分析處理數(shù)據(jù)時(shí)產(chǎn)生的誤差進(jìn)行分析。

以減壓閥的卸壓-建壓特性試驗(yàn)為例，具體分析正交多項(xiàng)式回歸的誤差分析。在卸壓-建壓特性曲線中，右邊的建壓特性曲線是用正交多項(xiàng)式最小二乘擬合的，曲線如圖6所示。圖6（a）為擬合前的曲線，圖6（b）為擬合后的曲線。

在此試驗(yàn)中，右邊建壓曲線所采集的點(diǎn)數(shù)N=625，回歸次數(shù)為m-1=5次。則其[10]：

總離差平方和為：，回歸差平方和為：jy

第j個(gè)多項(xiàng)式的偏回歸平方和：，剩余平方和：

其中為正交多項(xiàng)式回歸的系數(shù)（前已推導(dǎo)）；為：

方差比：

其中：的相應(yīng)自由度為，所以偏回歸方差估計(jì)值為：

剩余平方和的相應(yīng)自由度為，所以剩余的方差估計(jì)值為：

根據(jù)以上計(jì)算，可以得到以下正交多項(xiàng)式回歸的方差分析，如表1所示：

經(jīng)查F檢驗(yàn)的臨界值（Fa）表，取a=0.01，f1=1，f2=（因?yàn)閒2=618>500）。

在方差分析表1中，F(xiàn)計(jì)算值全都大于，故認(rèn)為都是高度顯著的，所以表中注以“**”，即表示1-5次項(xiàng)都是高度顯著，則所配制的多項(xiàng)式能夠正確地代表試驗(yàn)結(jié)果。其正交多項(xiàng)式回歸的標(biāo)準(zhǔn)差為

這樣的精度是比較滿意的。如果對(duì)數(shù)據(jù)處理的結(jié)果不滿意，還可以提高正交多項(xiàng)式的回歸次數(shù)來(lái)更加逼近測(cè)試數(shù)據(jù)，獲得更高的精度。

5 結(jié)語(yǔ)

（1）在CAT系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)測(cè)量的誤差來(lái)自多個(gè)方面。其中，由A/D轉(zhuǎn)換引起的誤差以及上、下位機(jī)間數(shù)據(jù)的數(shù)碼轉(zhuǎn)換引起的誤差極其微小，可以忽略。

（2）在壓力控制閥的靜特性試驗(yàn)中，當(dāng)測(cè)試數(shù)據(jù)足夠致密，且每一測(cè)試點(diǎn)附近二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)時(shí)，即幾何上反映為曲線的凹凸方向一致時(shí)，對(duì)采集的數(shù)據(jù)采用非線性滑動(dòng)平滑方法，可以取得比較好的平滑效果。

（3）在用正交多項(xiàng)式回歸試驗(yàn)曲線時(shí)，回歸次數(shù)越高，回歸曲線越逼近真實(shí)曲線，正交多項(xiàng)式回歸的標(biāo)準(zhǔn)差就越小，數(shù)據(jù)處理的精度就越高，可以根據(jù)需要選擇合適的回歸次數(shù)，以獲得所需的測(cè)量精度。

參考文獻(xiàn)

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[10] 胡上序，陳德釗.觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析與處理[M].浙江：浙江大學(xué)出版社，1996.endprint

為不失一般性，假設(shè)要擬合的動(dòng)態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)為（i=0，1，…，N-1），擬合函數(shù)為f（x，），它是的非線性函數(shù)；，為待求的參數(shù)向量。定義殘差向量e = [e，e，…，e]。其中y，i = 0，1，…，N-1，通常N>m。要求選擇使得擬合函數(shù)f（x，）在某種準(zhǔn)則函數(shù)意義上盡可能好地?cái)M合數(shù)據(jù)。定義準(zhǔn)則函數(shù)為殘差向量e的l范數(shù)，即：

（6）

極小化式6求得參數(shù)，就得到所謂的數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題。為了求解的方便，極小化式6等價(jià)于極小化如下準(zhǔn)則函數(shù)：

，p=1，2， （7）

當(dāng)p=2 時(shí)，就是我們要求的二次準(zhǔn)則函數(shù)：

對(duì)于測(cè)試定壓減壓閥的靜特性和動(dòng)特試驗(yàn)曲線，很難找到線性化的函數(shù)形式來(lái)表達(dá)，而用多項(xiàng)式逼近是一種有力的工具。然而用一般多項(xiàng)式回歸，存在著諸如計(jì)算趨于復(fù)雜等一些缺點(diǎn)[8]。一種有效的克服辦法是采用正交多項(xiàng)式的回歸分析。它的法方程組系數(shù)矩陣為對(duì)角陣，所以不會(huì)出現(xiàn)病態(tài)問(wèn)題，其逆陣也是對(duì)角陣，且求逆非常方便。由正交多項(xiàng)式組成的回歸方程，除了計(jì)算回歸系數(shù)方便外，還有一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)，從已有的回歸方程中刪去或增加一個(gè)自變量的多項(xiàng)式函數(shù)后，其余的自變量多項(xiàng)式函數(shù)的回歸系數(shù)都沒(méi)有變化。下面是基于二次準(zhǔn)則下的正交多項(xiàng)式的回歸，其基本實(shí)現(xiàn)方法如下：

設(shè)已知N數(shù)據(jù)點(diǎn)（i=0，1，…，N-1），求（m-1）次最小二乘擬合多項(xiàng)式

（8）

這一多項(xiàng)式函數(shù)組的生成步驟為：

可以證明，由上述遞推構(gòu)造的多項(xiàng)式函數(shù)組（j=0，1，…，m-1）是相互正交的[9]。根據(jù)最小二乘原理，可得的表達(dá)式為：，j=0，1，…，m-1

最后可以化成一般的m-1次多項(xiàng)式為：

以上算法便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，為了防止運(yùn)算溢出，用代替，其中， i=0，1，..，N-1。

擬合多項(xiàng)式如下：

在數(shù)據(jù)處理的軟件模塊中，設(shè)置了交互式的數(shù)據(jù)處理模式，即對(duì)采集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式回歸時(shí)，根據(jù)用戶輸入要求進(jìn)行m次的回歸，軟件并將所得的各多項(xiàng)式要進(jìn)行顯著水平的檢驗(yàn)和正交多項(xiàng)式回歸的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算，直至達(dá)到試驗(yàn)要求為止。

運(yùn)用此正交多項(xiàng)式回歸分析，對(duì)減壓閥出口流量階躍壓力響應(yīng)特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，經(jīng)過(guò)6次回歸，得到其處理前后的曲線如圖5所示。

4 CAT系統(tǒng)的誤差分析

一個(gè)CAT系統(tǒng)的測(cè)試誤差來(lái)源是多方面的，實(shí)際情況很復(fù)雜。主要包括硬件、軟件、及數(shù)據(jù)處理幾個(gè)方面。對(duì)于傳感器、A/D轉(zhuǎn)換引起的誤差、上、下位機(jī)間數(shù)碼轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的誤差，其相對(duì)誤差很小，在此不再討論。主要對(duì)應(yīng)用正交多項(xiàng)式回歸分析處理數(shù)據(jù)時(shí)產(chǎn)生的誤差進(jìn)行分析。

以減壓閥的卸壓-建壓特性試驗(yàn)為例，具體分析正交多項(xiàng)式回歸的誤差分析。在卸壓-建壓特性曲線中，右邊的建壓特性曲線是用正交多項(xiàng)式最小二乘擬合的，曲線如圖6所示。圖6（a）為擬合前的曲線，圖6（b）為擬合后的曲線。

在此試驗(yàn)中，右邊建壓曲線所采集的點(diǎn)數(shù)N=625，回歸次數(shù)為m-1=5次。則其[10]：

總離差平方和為：，回歸差平方和為：jy

第j個(gè)多項(xiàng)式的偏回歸平方和：，剩余平方和：

其中為正交多項(xiàng)式回歸的系數(shù)（前已推導(dǎo)）；為：

方差比：

其中：的相應(yīng)自由度為，所以偏回歸方差估計(jì)值為：

剩余平方和的相應(yīng)自由度為，所以剩余的方差估計(jì)值為：

根據(jù)以上計(jì)算，可以得到以下正交多項(xiàng)式回歸的方差分析，如表1所示：

經(jīng)查F檢驗(yàn)的臨界值（Fa）表，取a=0.01，f1=1，f2=（因?yàn)閒2=618>500）。

在方差分析表1中，F(xiàn)計(jì)算值全都大于，故認(rèn)為都是高度顯著的，所以表中注以“**”，即表示1-5次項(xiàng)都是高度顯著，則所配制的多項(xiàng)式能夠正確地代表試驗(yàn)結(jié)果。其正交多項(xiàng)式回歸的標(biāo)準(zhǔn)差為

這樣的精度是比較滿意的。如果對(duì)數(shù)據(jù)處理的結(jié)果不滿意，還可以提高正交多項(xiàng)式的回歸次數(shù)來(lái)更加逼近測(cè)試數(shù)據(jù)，獲得更高的精度。

5 結(jié)語(yǔ)

（1）在CAT系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)測(cè)量的誤差來(lái)自多個(gè)方面。其中，由A/D轉(zhuǎn)換引起的誤差以及上、下位機(jī)間數(shù)據(jù)的數(shù)碼轉(zhuǎn)換引起的誤差極其微小，可以忽略。

（2）在壓力控制閥的靜特性試驗(yàn)中，當(dāng)測(cè)試數(shù)據(jù)足夠致密，且每一測(cè)試點(diǎn)附近二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)時(shí)，即幾何上反映為曲線的凹凸方向一致時(shí)，對(duì)采集的數(shù)據(jù)采用非線性滑動(dòng)平滑方法，可以取得比較好的平滑效果。

（3）在用正交多項(xiàng)式回歸試驗(yàn)曲線時(shí)，回歸次數(shù)越高，回歸曲線越逼近真實(shí)曲線，正交多項(xiàng)式回歸的標(biāo)準(zhǔn)差就越小，數(shù)據(jù)處理的精度就越高，可以根據(jù)需要選擇合適的回歸次數(shù)，以獲得所需的測(cè)量精度。

參考文獻(xiàn)

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[10] 胡上序，陳德釗.觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析與處理[M].浙江：浙江大學(xué)出版社，1996.endprint