朱路進　貝淑坤　劉春平

摘 要：首先給出了一個反正切相減公式，然后研究了一類通項用反正切表示的數(shù)項級數(shù)，應用反正切相減公式，給出了求這類級數(shù)和的一般方法。

關鍵詞：反正切相減公式 通項 級數(shù)的和

中圖分類號：O174.66 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（c）-0209-01

在中學和大學教科書[1-3]中，有如下幾道習題：

題1.若，求

題2.求級數(shù)的和.

題3.求級數(shù)的和.

這幾題均是利用“拆項相消”的方法進行求解的.對題1，注意到

（1）

聯(lián)想一下兩角差的正切公式，易知應作“拆項”

（2）

在教學過程中，學生反映這種技巧他們也能夠想到，但對文獻[2]給出的關于題2的“拆項”提示：

（3）

學生普遍反映不易想到.觀察題1-題3，可見它們的通項均為其中是二次三項式.一個自然的問題是：對數(shù)項級數(shù)

（4）

能否用“拆項相消”的方法求和？如果能，又該怎樣“拆項”？本文將對此問題進行探討.

首先，我們給出一個反正切相減公式，即

定理1 如果是定義在I上的非負函數(shù)，則

（5）

證明： 因為故

（6）

從而

（7）

注意到

故有

下面，我們討論級數(shù)（4）能夠“拆項相消”的條件.因為

如果級數(shù)（4）能用“拆項相消”的方法求和，則存在正整數(shù)m，使得

（9）

根據(jù)公式（5），令

（10）

解方程組（10）得

（11）

且

（12）

將代入（12），并令的系數(shù)為零，得

（13）

從而得到

定理2 如果方程

（14）

有整數(shù)解，則級數(shù)（4）可用拆項相消的方法求和.且“拆項”方法為

（15）

其中

（16）

利用定理2，我們很容易求解題2～題3.

題2 將.代入（14）式，得

（17）

易知（17）有整數(shù)解.再由（16）式得由

知級數(shù)的和為

題3 將代入（14），得

（18）

易知（18）有整數(shù)解.由（16）式得注意到（8）式，可知

故級數(shù)的和為

參考文獻

[1] 周敏澤.中國華羅庚學校數(shù)學課本（高一年級）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.

[2] 孫清華，孫昊.數(shù)學分析疑難分析與解題方法（下冊）[M].武漢：華中科技大學出版社，2009-10.

[3] 郝彥.數(shù)學分析習題課指導書[M].浙江：浙江大學出版社，2009：127.endprint

摘 要：首先給出了一個反正切相減公式，然后研究了一類通項用反正切表示的數(shù)項級數(shù)，應用反正切相減公式，給出了求這類級數(shù)和的一般方法。

關鍵詞：反正切相減公式 通項 級數(shù)的和

中圖分類號：O174.66 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（c）-0209-01

在中學和大學教科書[1-3]中，有如下幾道習題：

題1.若，求

題2.求級數(shù)的和.

題3.求級數(shù)的和.

這幾題均是利用“拆項相消”的方法進行求解的.對題1，注意到

（1）

聯(lián)想一下兩角差的正切公式，易知應作“拆項”

（2）

在教學過程中，學生反映這種技巧他們也能夠想到，但對文獻[2]給出的關于題2的“拆項”提示：

（3）

學生普遍反映不易想到.觀察題1-題3，可見它們的通項均為其中是二次三項式.一個自然的問題是：對數(shù)項級數(shù)

（4）

能否用“拆項相消”的方法求和？如果能，又該怎樣“拆項”？本文將對此問題進行探討.

首先，我們給出一個反正切相減公式，即

定理1 如果是定義在I上的非負函數(shù)，則

（5）

證明： 因為故

（6）

從而

（7）

注意到

故有

下面，我們討論級數(shù)（4）能夠“拆項相消”的條件.因為

如果級數(shù)（4）能用“拆項相消”的方法求和，則存在正整數(shù)m，使得

（9）

根據(jù)公式（5），令

（10）

解方程組（10）得

（11）

且

（12）

將代入（12），并令的系數(shù)為零，得

（13）

從而得到

定理2 如果方程

（14）

有整數(shù)解，則級數(shù)（4）可用拆項相消的方法求和.且“拆項”方法為

（15）

其中

（16）

利用定理2，我們很容易求解題2～題3.

題2 將.代入（14）式，得

（17）

易知（17）有整數(shù)解.再由（16）式得由

知級數(shù)的和為

題3 將代入（14），得

（18）

易知（18）有整數(shù)解.由（16）式得注意到（8）式，可知

故級數(shù)的和為

參考文獻

[1] 周敏澤.中國華羅庚學校數(shù)學課本（高一年級）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.

[2] 孫清華，孫昊.數(shù)學分析疑難分析與解題方法（下冊）[M].武漢：華中科技大學出版社，2009-10.

[3] 郝彥.數(shù)學分析習題課指導書[M].浙江：浙江大學出版社，2009：127.endprint

摘 要：首先給出了一個反正切相減公式，然后研究了一類通項用反正切表示的數(shù)項級數(shù)，應用反正切相減公式，給出了求這類級數(shù)和的一般方法。

關鍵詞：反正切相減公式 通項 級數(shù)的和

中圖分類號：O174.66 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（c）-0209-01

在中學和大學教科書[1-3]中，有如下幾道習題：

題1.若，求

題2.求級數(shù)的和.

題3.求級數(shù)的和.

這幾題均是利用“拆項相消”的方法進行求解的.對題1，注意到

（1）

聯(lián)想一下兩角差的正切公式，易知應作“拆項”

（2）

在教學過程中，學生反映這種技巧他們也能夠想到，但對文獻[2]給出的關于題2的“拆項”提示：

（3）

學生普遍反映不易想到.觀察題1-題3，可見它們的通項均為其中是二次三項式.一個自然的問題是：對數(shù)項級數(shù)

（4）

能否用“拆項相消”的方法求和？如果能，又該怎樣“拆項”？本文將對此問題進行探討.

首先，我們給出一個反正切相減公式，即

定理1 如果是定義在I上的非負函數(shù)，則

（5）

證明： 因為故

（6）

從而

（7）

注意到

故有

下面，我們討論級數(shù)（4）能夠“拆項相消”的條件.因為

如果級數(shù)（4）能用“拆項相消”的方法求和，則存在正整數(shù)m，使得

（9）

根據(jù)公式（5），令

（10）

解方程組（10）得

（11）

且

（12）

將代入（12），并令的系數(shù)為零，得

（13）

從而得到

定理2 如果方程

（14）

有整數(shù)解，則級數(shù)（4）可用拆項相消的方法求和.且“拆項”方法為

（15）

其中

（16）

利用定理2，我們很容易求解題2～題3.

題2 將.代入（14）式，得

（17）

易知（17）有整數(shù)解.再由（16）式得由

知級數(shù)的和為

題3 將代入（14），得

（18）

易知（18）有整數(shù)解.由（16）式得注意到（8）式，可知

故級數(shù)的和為

參考文獻

[1] 周敏澤.中國華羅庚學校數(shù)學課本（高一年級）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.

[2] 孫清華，孫昊.數(shù)學分析疑難分析與解題方法（下冊）[M].武漢：華中科技大學出版社，2009-10.

[3] 郝彥.數(shù)學分析習題課指導書[M].浙江：浙江大學出版社，2009：127.endprint