任國強，尚明偉，潘秀麗

（1.南開大學 經(jīng)濟研究所，天津300071；2.天津理工大學 管理學院，天津300384）

一、引 言

相對剝奪一詞最先出現(xiàn)在Stouffer等（1949）的一篇文章中，他將一個人與比他成功的其他人比較時產(chǎn)生的失落感稱為相對剝奪，但是他既沒有給出剝奪正式的定義，也沒有給出具體測量方法。Runciman（1966）對相對剝奪做出了更加精確的描述，將相對剝奪定義如下：一個人感到剝奪要滿足四個條件：（1）他沒有X；（2）其他人在過去或者未來可以預期的某個時間里可以得到X；（3）他有得到X的欲望；（4）他認為他理應得到X。

自從Runciman給出相對剝奪概念以來，對相對剝奪的研究便成為社會科學領域內(nèi)一個非常重要的研究課題，這些研究可以劃分為兩個層面：一個是如何測度相對剝奪；另一個是相對剝奪對其他產(chǎn)出變量的影響。這些產(chǎn)出變量可以分為四類（J.Smith等，2011）：（1）集體行為，主要包括社會沖突和暴亂等；（2）群間態(tài)度，包括政治政策、移民、對外來人員的偏見和對內(nèi)部人員身份的認同等；（3）個體有導向的行為，包括行為不良、曠工、酗酒、腐敗和犯罪等；（4）對個體身心健康、沮喪與焦慮和自我評價的內(nèi)部反映。國內(nèi)有些學者雖然對這些變量進行了研究，但是大多采用的是群體不平等指標，例如基尼系數(shù)等，但是用群體不平等指標可能會掩蓋微觀水平的誘因，盡管基尼系數(shù)可以看作是相對剝奪指數(shù)——Kakwani指數(shù)的加總，但是在實證分析時使用基尼系數(shù)做自變量會使相對剝奪較低的個體和相對剝奪較高的個體忍受不平等帶來的相同的負面影響，這一點無論從理論上還是直覺上都是站不住腳的，因此，微觀水平的分析只能采用微觀的不平等指標——個體相對剝奪指數(shù)，而研究不平等的變動趨勢、區(qū)域間和群體間不平等的比較等宏觀層面，則應采用加總后的相對剝奪指數(shù)——不平等指數(shù)?？茖W合理的相對剝奪測度指標對于研究相對剝奪對其他產(chǎn)出變量的影響有著至關(guān)重要的意義，可以影響其顯著性和影響程度，進而影響相關(guān)政策的制定。目前比較有代表性的相對剝奪測度為：Yitzhaki指數(shù)、Kakwani指數(shù)、Podder指數(shù)和Esposito指數(shù)。Yitzhaki（1979）最早給出了相對剝奪的測度模型，他把收入作為測度相對剝奪的變量，認為群內(nèi)只要存在比該個體收入高的個體，那么該個體就會感到被剝奪，大小用相應的收入差距進行度量，該個體在群內(nèi)所感到的相對剝奪為這些差距的加總再除以該群的樣本數(shù)，Yitzhaki還證明所有個體剝奪的加權(quán)平均等于絕對基尼系數(shù)；Kakwani（1984）、Chakravarty（1997）和Deaton（2001）等學者則認為個體在一個群內(nèi)的相對剝奪應該等于Yitzhaki指數(shù)除以該群的收入均值，Kakwani還給出了一種圖形化工具——相對剝奪曲線，該曲線以分位數(shù)為橫坐標（收入按升序排列），該份額所對應個體的相對剝奪為縱坐標，相對剝奪曲線和兩個坐標軸圍成的圖形的面積等于基尼系數(shù)；Podder（1996）認為某個個體和收入比其高的其他個體比，所受到的相對剝奪大小應該用收入對數(shù)的差距進行度量，該個體在群內(nèi)所感到的相對剝奪為這些差距的加總再除以該群的樣本數(shù)；Esposito（2010）認為個體i和收入比他高的個體j相比，其感到的相對剝奪等于個體j與個體i的收入之差再除以個體j的收入，在群內(nèi)所感受到的相對剝奪為上述剝奪的加總再除以該群的樣本數(shù)，和其他三個指數(shù)相比，Esposito指數(shù)才是真正意義上的相對剝奪測度。無論采用何種測度對象，也不論采用哪種指數(shù)，經(jīng)過計算后得到的個體相對剝奪指數(shù)可以被認為是一種客觀存在，而不再是主觀感受，但是這兩者之間還是有著顯著的關(guān)聯(lián)關(guān)系，例如D’Ambrosio等 （2007）的實證分析結(jié)果表明相對剝奪和收入的主觀滿意度之間有著顯著的負相關(guān)關(guān)系。上述四個指數(shù)均是以全體社會成員作為參照群進行研究的，沒有對參照群的概念給予足夠的關(guān)注。

但是，個體間進行收入比較時，一個人往往是和與其具有某些共同特征的人比較，而不一定是一個社會的所有個體。Silber和Verme（2010）認為在評價一個人在社會中的狀況時，該個體把他自己和所處環(huán)境與其類似的個體進行比較，這里的環(huán)境，不僅指Frank（2007）所說的“居住環(huán)境”，還可以是一個個體的“職業(yè)環(huán)境”或他的“家庭環(huán)境”（背景）等其他方面?？傊?，一個群體所共有的一些特征都可以用來作為確定參照群的標準，這種特征可以是種族、性別、教育水平（Eibner和Evans，2004），也可以是種族、年齡、社會階層、宗教信仰、政治價值觀以及地理區(qū)域（Bylsma和Major，1994）等。此外，F(xiàn)errer－i-Carbonell（2005）認為和某個個體年齡相近、教育程度類似并且居住在同一區(qū)域內(nèi)的群體可以作為其參照群。

目前相對剝奪的研究主要集中在群內(nèi)的相對剝奪，當考慮一個個體在其所在的某個參照群內(nèi)的相對剝奪時，學術(shù)界通常采用兩種方法：一是把現(xiàn)有的以全體社會成員為參照群的相對剝奪指數(shù)應用于該參照群，不同的是該參照群中的個體比較的對象是該參照群中收入比他高的個體，而不是全體社會成員中收入比他高的個體；二是建立集成參照群的相對剝奪指數(shù)，這方面開創(chuàng)性的工作可歸功于Ebert和Moyes（2000），他們假設任何一個人口的子集均可以作為一個參照群，該參照群中收入高于研究個體收入的所有個體構(gòu)成比較群，在此基礎上建立了集成參照群的相對剝奪模型，并探討了其滿足的公理化特征；Bossert和D’Ambrosio（2006）對參照群和比較群的定義做了明確的界定，他們認為參照群包括所有和該個體比較的成員，而比較群則是這些成員中收入較高的群體構(gòu)成的子集，在參照群被固定和整個社會給定的條件下，在一個統(tǒng)一的框架內(nèi)給出了Yitzhaki指數(shù)的公理化特征，彌補了Ebert和Moyes（2000）方法的不足；Silber和Verme（2010和2012）也嘗試在測度相對剝奪時集成參照群的思想。

但是在現(xiàn)實中一個人感受到的剝奪不僅來自自己所在的參照群內(nèi)部，也來自于和其他群體的比較，例如藍領和白領的比較、農(nóng)村居民和城鎮(zhèn)居民比較、非壟斷行業(yè)員工和壟斷行業(yè)員工的比較等。Runciman（1966）也沒有把相對剝奪的概念局限于一個參照群內(nèi)，他認為一個個體本身屬于一個群，但是進行比較的卻可能是另外的群。但是，到目前為止對不同群間相對剝奪研究的文獻卻比較稀少，Martín和Olmedo（2007）把Yitzhaki指數(shù)推廣到不同群之間，并把一個群內(nèi)的絕對剝奪分解為子群內(nèi)部和子群間絕對剝奪的加總；洪興建（2008）在研究基尼系數(shù)子群分解時也曾給出了群間相對剝奪的測度公式；任國強等（2011）采用推廣Kakwani指數(shù)的方法，克服了洪興建（2008）的缺陷。

盡管群間的相對剝奪已經(jīng)有了一定的研究進展，但仍在以下方面有待進行改進。首先，現(xiàn)有研究沒有把參照群的思想集成到群間剝奪的測度模型中，造成群內(nèi)剝奪測度和群間剝奪測度分別是在不同的框架下進行，沒有形成統(tǒng)一的分析框架；其次，已有研究只是解決了群間剝奪測度的一個方面，即構(gòu)造一個群間剝奪測度，然后分析該測度的性質(zhì)，沒有給出一個函數(shù)滿足哪些公理就是我們給出的群間剝奪測度的證明，即只證明了群間剝奪測度充分必要條件中的必要條件；再次，現(xiàn)有群間剝奪的出發(fā)點都是基尼系數(shù)的子群分解，偏重于群內(nèi)剝奪和群間剝奪形式的一致性、群間剝奪的正規(guī)性和是否為真正意義上的加權(quán)平均等方面，但是群間剝奪除了應用于基尼系數(shù)子群分解外，還有一個重要的目的是研究降低群間收入差距的措施，從而提出科學的、可操作性的政策建議，因此有必要對加總后的群間剝奪的性質(zhì)進行進一步深入研究。

本文的主要目的是把Kakwani方法擴展到不同的群體，使不同群體間的個體能夠進行比較。這樣就能夠獲得屬于某個群的個體相對于另一個群中所有個體的相對剝奪，進一步可得到一個群相對于另一個群的相對剝奪，并可深入分析群間剝奪的性質(zhì)，而Kakwani指數(shù)只是兩個群的收入變量具有相同分布情況下的一個特例。群內(nèi)和群間的個體剝奪可應用于確定相對剝奪對諸如健康、遷移、不良習慣和消費等指標的影響，而群間相對剝奪則是分析降低群間收入差距的一個重要工具。本文在已有研究的基礎上，首先通過構(gòu)造一個個體在另一個群中的比較群，建立集成參照群思想的相對剝奪測度的統(tǒng)一分析框架，得到個體絕對剝奪測度，分析了該個體絕對剝奪測度滿足的一系列性質(zhì)，并證明如果一個函數(shù)滿足聚焦性公理、加和可分解性公理、平移不變性公理、線性齊次性公理和正規(guī)化公理，則該函數(shù)就是我們給出的個體絕對剝奪測度，在此框架下現(xiàn)有的群內(nèi)相對剝奪只是個體所在群和參照群相同時的一個特例；其次，在個體絕對剝奪測度的基礎上，我們得到了個體相對剝奪測度，通過拓展Kakwani理論，繪制了不同群間的相對剝奪曲線；再次，在前面研究的基礎上進一步給出加總后的群間相對剝奪的性質(zhì)；最后，利用CGSS2008數(shù)據(jù)進行了實證分析。

二、參照群、群間個體絕對剝奪及其公理化特征

（一）符號說明。設R（R＋）代表所有的實數(shù)（正實數(shù)）。為每個分量均為正值的n維向量空間，In是n維單位向量。設X、Y是兩個群，樣本數(shù)分別為，這兩個群對應的收入向量分別為其中xi，yj分別為X中個體i和Y中個體j的收入，i∈N，j∈M，我們假設對于Y中任何一個個體k，其參照群為X，其比較群為X中收入高于yk的個體，則Bk（x）＝Bk（X）＝即為Y中個體k的比較群。我們令Min（Y）為群Y中的最低收入，Max（X）為群X中的最高收入，則為X中收入比Y中最低收入還要低的個體構(gòu)成的集合是Y中收入比X中最高收入還要高的個體構(gòu)成的集合。任給，N的一個子集K，向量x的定義如下：

對于任意i∈N，有

（二）集成參照群的群間個體絕對剝奪測度及其性質(zhì)。根據(jù)Runciman（1966）、Yitzhaki（1979）和任國強等（2011）的相關(guān)定義，我們給出屬于不同群的兩個個體間的剝奪的定義。

定義1：設X、Y是兩個群，xi是X中個體i的收入，yk是Y中個體k的收入。則X中個體i對Y中個體k的剝奪為：

由定義可得，如果xi＞yk，則X中個體i對Y中個體k的剝奪為xi-yk，否則為0。

由于X是群Y中個體k的參照群，個體k和群X中收入高于他的個體相比都會產(chǎn)生剝奪，根據(jù)已有文獻的通常做法，計算群X中每個個體與Y中個體k的剝奪，并對群X中的所有個體求和，然后除以群X的樣本數(shù)n，得到群X對群Y中個體k的絕對剝奪AD（x，yk）為：

根據(jù)公式（3），我們可以很容易地求出群X對群Y中任何一個個體的絕對剝奪。

群X對群Y中個體k的絕對剝奪AD（x，yk）是群X的收入分布x和群Y中某個個體收入yk的函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1：①證 明見任國強（2011），Martín和 Olmedo（2007）。在x保持不變的條件下，AD（x，yk）是群Y中收入的嚴格遞減函數(shù)，即對任意k，l∈M，如果yk＞yl，則AD（x，yk）＜AD（x，yl）。

性質(zhì)2：②證明見Martín和Olmedo（2007），在其證明中，采用的是連續(xù)的收入分布，AD（x，yk）對yk的二階導數(shù)等于yk在X中的密度函數(shù)，所以大于0，即在x保持不變的條件下，AD（x，yk）是群Y中收入的嚴格凹函數(shù)。在x保持不變的條件下，AD（x，yk）是群Y中個體收入的嚴格凹函數(shù)。

性質(zhì)3：AD（x，yk）是非負的，如果群Y中某個個體的收入比X中的最高收入都高，則群X對該個體的剝奪為0。

因為對任意一對xi和yk，ADXY（xi，yk）都≥0，所以AD（x，yk）是非負的。如果MaxY（X）≠Φ，即至少存在一個k∈M使得yk∈MaxY（X），則對X中任意一個個體i的收入xi，都有xi＜yk，所以ADXY（xi，yk）＝0，1≤i≤n；進而可得AD（x，yk）＝0。

性質(zhì)4：AD（x，yk）只與X中收入高于yk的個體有關(guān)，與低于yk的個體無關(guān)。

性質(zhì)4在很多文獻中被稱為焦點（Focus）公理，其嚴格數(shù)學意義的表述如下：任給兩個樣本數(shù)為n的群X、Z，其收入分布為如果＝Bk（Z），且對于i∈Bk（X）都有yi＝zi，那么就有AD（x，yk）＝AD（z，yk）。

性質(zhì)5和性質(zhì)6說明X中個體收入的變化如何影響AD（x，yk）。

性質(zhì)5：群X中收入高于yk的任何一個個體收入的增加，都會使AD（x，yk）增加；X中收入高于yk的任何一個個體收入的減少，都會使AD（x，yk）減少。

性質(zhì)6：群X中收入低于yk的任何一個個體收入的增加，只要增加后的收入不超過yk，AD（x，yk）就不變；X中收入低于yk的任何一個個體收入的減少，AD（x，yk）都不變。

性質(zhì)7和性質(zhì)8說明群X中個體的收入轉(zhuǎn)移對AD（x，yk）的影響。

性質(zhì)7：群X中收入高于yk的兩個個體間的收入轉(zhuǎn)移，只要轉(zhuǎn)移后兩個個體的收入仍都高于yk，則AD（x，yk）不變；群X中收入低于yk的兩個個體間的收入轉(zhuǎn)移，只要轉(zhuǎn)移后兩個個體的收入仍都低于yk，則AD（x，yk）不變。

性質(zhì)8：群X中收入高于yk的個體向收入低于yk的個體進行收入轉(zhuǎn)移，AD（x，yk）減少。

性質(zhì)9和性質(zhì)10說明如果群X中所有個體的收入和群Y中個體k的收入yk，都發(fā)生同一程度的變化，AD（x，yk）如何變化。

性質(zhì)9：如果群X中所有個體i的收入xi和群Y中個體k的收入yk都增加一個相同的數(shù)值，則AD（x，yk）不變。

性質(zhì)9在很多文獻中被稱為平移不變性（Translation invariance）公理，Bossert和D’Ambrosio（2006）給出的嚴格數(shù)學意義的表述如下：對所有使得成立的，都有AD（x＋δ×In，yk＋δ）＝AD（x，yk）。

因為對群X中任何一個個體i，都有ADXY（xi＋δ，yk＋δ）＝ADXY（xi，yk），所以性質(zhì)9成立。但是，如果δ∈R為負值，那么可能存在，使得x＋δ×In的某些分量小于0，不滿足其的假設，因此，上述平移不變性公理是有條件限制的，為了使平移不變性公理對所有都成立，我們對Bossert和D’Ambrosio（2006）的不變性公理進行了如下擴展：

因為對群X中任何一個個體i，如果xi＞yk，則xi＋δ＞yk＋δ，此時ADXY（xi＋δ，yk＋δ）＝ADXY（xi，yk），如果xi＜yk，則不管zi＞0或zi＝0，都有zi＜yk＋δ，所以ADXY（zi，yk＋δ）＝0，而此時ADXY（xi，yk）＝0，所以有AD（x＋δ×In，yk＋δ）＝AD（x，yk），也就是AD（z，yk＋δ）＝AD（x，yk）。

性質(zhì)10：①性質(zhì)10在很多文獻中被稱為線性齊次性（Linear homogeneity）。如果群X中所有個體的收入和群Y中個體k的收入都按同一比例變化，則AD（x，yk）也按同一比例變化。即對任意，λ∈R＋有

（三）群間個體絕對剝奪的公理化特征。集成參照群思想的個體絕對剝奪測度模型研究文獻主要有二，一是Ebert和 Moyes（2000）給出，二是Bossert和D’Ambrosio（2006）給出。兩者的一個重大區(qū)別就是參照群選取不同，由此帶來的個體絕對剝奪的公理化特征無論是個數(shù)還是內(nèi)涵都有很大的區(qū)別。Bossert和D’Ambrosio（2006）認為對其選擇的參照群，個體獨立性和匿名性并非需要，加和可分解性的內(nèi)涵也大有不同，加和可分解性是一種分離性質(zhì)，Ebert和Moyes（2000）稱之為加性分解，其假定在收入分配保持不變的情況下，如果參照群被分為兩個子群，則相對于該參照群的個體絕對剝奪等于相對于被分解成的兩個子群的個體絕對剝奪的加總。顯然，如果參照群是固定的而且是由整個社會給出的，除了退化的情況外，加性公理是不成立的。Bossert和D’Ambrosio（2006）的解決辦法是：如果一個個體k的比較群被分為兩個子群，則由原先的收入分配可以得到兩個新的收入分配，令這兩個收入分配中屬于其他子群的個體的收入都等于個體k的收入yk，其他收入不變，然后對這兩個收入分配應用可加性。他們的做法雖然存在一定的合理性，但是其將收入分配中屬于其他子群的個體的收入強行改為yk的做法，缺乏科學依據(jù)。

那么，如何定義加和可分解性公理才合理呢？我們試圖先對AD（x，yk）滿足的分解性質(zhì)進行分析，然后通過分析得到的公式，反過來定義加和可分解性公理。

考慮個體絕對剝奪的公理化特征時，有一個公理是必須包含的，這個公理就是正規(guī)化公理。本文采用的正規(guī)化公理和Bossert和D’Ambrosio（2006）的類似，但是由于本文考慮的是不同群間的相對剝奪，因此對被參照的個體要明確指定其收入為0。進而本文使用的正規(guī)化公理如下：對于收入分配x，當存在個體j使得xj＝1且對任意i∈N，i≠j都有xi＝0時，AD（x，0）＝1／n。有了上述準備，我們可以得到如下定理：

定理1：一個個體剝奪指數(shù)D（x，yk）滿足聚焦性公理、平移不變性公理、線性齊次性公理、正規(guī)化公理及加和可分性公理的充分必要條件是D（x，yk）＝AD（x，yk）

證明：當D（x，yk）＝AD（x，yk）時，很容易可證該指數(shù)滿足以上公理。反向證明如下：

假設D（x，yk）是滿足以上公理化特征的個體剝奪指數(shù)，考慮如下分布 （xjIn，其中xj＞yk，即該分布中除了第j個個體外，其他個體的收入都為0，即根據(jù)平移不變性公理，令δ＝-yk則有：

個體絕對剝奪指數(shù)盡管有很多良好的性質(zhì)，但也有很多缺點：（1）由于個體絕對剝奪沒有一個明確的范圍界限，我們很難根據(jù)一個個體絕對剝奪的數(shù)值對其剝奪程度給出一個明確的評價；（2）個體絕對剝奪指數(shù)是有量綱的，而且取值不在［0，1］，因此不能用于多維剝奪的加總過程；（3）個體絕對剝奪不僅對樣本數(shù)目敏感，也對收入規(guī)模敏感，例如所有樣本的收入增加一倍，個體的絕對剝奪也增加一倍，這一點明顯與實際的經(jīng)驗不符，當把個體絕對剝奪指數(shù)應用于不同社區(qū)、不同時間比較時，這一點尤其要引起注意（Eibner和Evans，2005；Lhila和Simon，2010）。因此，有必要在個體絕對剝奪指數(shù)的基礎上，得到性質(zhì)更佳的相對剝奪測度。

三、群間個體相對剝奪測度及相對剝奪曲線

（一）個體相對剝奪測度的定義和性質(zhì)。

證明：?j∈Bk（x），都有xj-yk≤xj，當且僅當yk＝0時等號成立，所以ADx，yk（ ）＝

當群X和群Y是同一個群時，RD（x，yk）就是傳統(tǒng)意義上的Kakwani指數(shù)。根據(jù)公式（3）我們可以給出個體相對剝奪的一個簡單的計算公式：

為了和傳統(tǒng)的相對剝奪的概念相一致，群X對群Y中個體k的個體相對剝奪）也記為，這個記號的一個好處是我們可以認為群X的維數(shù)是可變的，RD具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1：在群X保持不變的條件下，RD（X，yk）是群Y中收入的嚴格遞減函數(shù)，即如果yk＞yl，則RD（X，yk）＜RD（X，yl）。

性質(zhì)2：RD（X，yk）取值范圍在0和1之間，而且無量綱。

性質(zhì)3：如果群Y中某個個體的收入比X中的最高收入都高，則群X對該個體的相對剝奪為0。

性質(zhì)4：RD（X，yk）滿足規(guī)模不變性，即如果群X中所有個體i的收入xi和群Y中個體k的收入yk都按同一比例變化，則RD（X，yk）不變。

性質(zhì)5：群X中收入高于yk的兩個個體間的收入轉(zhuǎn)移，只要轉(zhuǎn)移后兩個個體的收入仍都高于yk，則RD（X，yk）不變；群X中收入低于yk的兩個個體間的收入轉(zhuǎn)移，只要轉(zhuǎn)移后兩個個體的收入仍都低于yk，則RD（X，yk）也不變。

但是個體絕對剝奪的很多重要性質(zhì)，個體相對剝奪RD（X，yk）卻不一定具備，如RD（X，yk）不一定是凹函數(shù)；它不僅與X中收入高于yk的個體有關(guān)，也與收入低于yk的個體有關(guān)，其中收入低于yk的個體對RD（X，yk）的影響主要是通過μX來實現(xiàn)的；此外個體相對剝奪不再滿足平移不變公理和線性其次性公理等。但是，由于其取值在0和1之間、無量綱、規(guī)模不變性等性質(zhì)，以及良好的圖形表現(xiàn)工具，在實證分析中還是得到了廣泛應用。

（二）群間個體相對剝奪曲線。Kakwani（1984）給出的個體相對剝奪測度只是我們?nèi)洪g個體相對剝奪的一個特殊情況（兩個群相同），下面我們要對Kakwani（1984）的相對剝奪曲線繪制方法進行擴展，給出群內(nèi)相對剝奪曲線和群間相對剝奪曲線的一個統(tǒng)一的分析框架。

設X，Y是兩個收入群，群X的均值為μX，概率密度函數(shù)為dy為其概率分布函數(shù)；群Y的均值為μY，概率密度函數(shù)為為其概率分布函數(shù)，群Y中一個個體的收入為y0，根據(jù)Martín和Olmedo（2007）的結(jié)果，群X對群Y中收入為y0的個體的絕對剝奪可以寫成：

則群X對群Y中收入為y0的個體的相對剝奪即為：

令p為分位數(shù)，則0＜p＜1，與p對應的群Y中個體收入為yp，則p＝F2（yp），那么，代入（8）式有：

我們稱（9）式為群X對群Y中分位數(shù)p的相對剝奪，記為RD（X，p），這樣給定群Y中的一個分位數(shù)p，我們就可以得到群X對p的相對剝奪RD（X，p），把這些點描繪在以分位數(shù)為橫軸、以相對剝奪為縱軸的坐標平面上，就可以得到群X對群Y中個體的相對剝奪曲線。Kakwani給出的相對剝奪曲線是我們給出方法當群X和群Y是同一個群即F1＝F2＝F時的一個特例，所以（9）式就可寫成：

RD（X，p）＝（1-L（p））-（F-1（p）／μX）（1-p），這里函數(shù)L（p）代表洛倫茲曲線，滿足：（1）p＝0，L（p）＝0；（2）p＝1，L（p）＝1；（3）（dL（p）／dp）＝y(tǒng)p／μX；（4）（d2L（p）／dp2）＝1／f（yp）。所以

（10）式即為Kakwani（1984）給出的個體相對剝奪的計算公式，通過相對剝奪曲線，可以給出相對剝奪隨分位數(shù)變化的一個直觀認識。相對剝奪曲線具有以下特點：

（1）相對剝奪曲線是向右下方傾斜的一條曲線，但不是嚴格單調(diào)下降的，因為對應不同的分位數(shù)p，其對應的收入可能是相同的；

（2）當p＝0時，RD（X，p）不一定等于1，因為如果群Y中的最低收入不等于0，則群X對該收入的相對剝奪一定小于1；同樣，當p＝1時，RD（X，p）也不一定等于0，因為群X中可能存在某些個體其收入比群Y的最高收入還要高。但是，如果X＝Y(jié)，則有p＝1，RD（X，p）＝0。

（3）相對剝奪曲線的陡峭程度取決于兩個量：一是分位數(shù)p，二是概率密度函數(shù)f（x）。為簡單起見我們以群X和群Y為同一群這一特殊情況加以證明，因為：RD（X，p）＝（1-L（p））-（dL（p）／dp）（1-p），所以dRD（X，p）／dp＝-（dL（p）／dp）-（d2L（p）／dp2）（1-p）＋（dL（p）／dp）＝-（d2L（p）／dp2）（1-p）＝-（1-p）／f（x）。

因此，如果p越小，f（x）越小，則dRD（X，p）／dp的絕對值越大，相對剝奪曲線越陡峭。

雖然，給了個體相對剝奪函數(shù)RD（X，p），我們就可以繪出相對剝奪曲線，但是實際繪制時往往不是采用RD（X，p），而是按下述步驟來進行：

（1）將群Y中所有個體按照收入遞增的順序排列；

（2）對群Y中的個體進行分組，找出每個分位數(shù)pi（可以是百分位或十分位），對應的個體的序號ki，然后根據(jù)序號找到其對應的收入yki；

四、群間總體剝奪及其性質(zhì)

對群內(nèi)所有個體的相對剝奪進行加權(quán)平均就得到一個群的總體相對剝奪，這個做法把一些不平等指數(shù)和個體相對剝奪建立起密切的聯(lián)系，使得不平等指數(shù)有了其微觀基礎，對于加總的權(quán)重大多數(shù)文獻采用的是等權(quán)重的方法，即如果一個全體有n個樣本，則每個樣本的權(quán)重就是1／n，例如Yitzhaki指數(shù)采用等權(quán)重進行加總得到絕對基尼系數(shù)，Kakwani指數(shù)采用等權(quán)重進行加總得到基尼系數(shù)，Imedio－Olmedo等（2011）定義了兩個個體剝奪指數(shù)，并證明這兩個個體剝奪指數(shù)采用等權(quán)重進行加總得到的總體剝奪分別為不平等指數(shù)絕對Bonferroni指數(shù)和絕對DeVergottini指數(shù)，而Cowell等（2004）則分析了個體相對剝奪的三種情況：BOP（和收入最高者相比）、AVE（和均值相比）和ATBO（和收入比他高的人相比），并采用不同的權(quán)重定義了加總后的不平等指數(shù)。根據(jù)上述研究文獻采用等權(quán)重方法對Y中所有元素yk相對于群X受到的剝奪RD（X，yk）取算術(shù)平均，得到群X對群Y的相對剝奪：

定理3：（任國強，2011）RD（X，Y），RD（Y，X）均小于1。

定理4：給了我們一個計算群X對群Y的相對剝奪RD（X，Y）和群Y對群X的相對剝奪RD（Y，X）的便捷方法，也即：

而且，當μX＝μY時，RD（X，Y）＝RD（Y，X）。

定理5：如果群X和群Y是分離的，即MinX（）＞MaxY（），則有RD（X，Y）＝1-（μY／μX），RD（Y，X）＝0。

證明：如果MinX（）＞MaxY（），則有μX-μY，所以RD（X，Y）＝1-（μY／μX），RD（Y，X）＝0。

定理6：RD（X，Y）＝RD（Y，X）的充分必要條件為μX＝μY；RD（X，Y）＞RD（Y，X）的充分必要條件為μX＞μY。

根據(jù)ΔXY的定義，有，該等式成立除非所有yj＝0，j＝1，2，…，m，所以，如果μX＝μY，則有RD（X，Y）＝RD（Y，X），反之，如果RD（X，Y）＝RD（Y，X），則有μX＝μY；如果μX＞μY，則有RD（X，Y）＞RD（Y，X），反之如果RD（X，Y）≥RD（Y，X），則有μX≥μY，RD（X，Y）＝RD（Y，X）的充分必要條件為μX＝μY；RD（X，Y）＞RD（Y，X）的充分必要條件為μX＞μY。

定理5、定理6表明，群間相對剝奪和兩個群樣本的均值有一定的關(guān)系，即如果兩個群樣本的均值相等，則這兩個群的群間相對剝奪也相等，反過來也成立；如果一個群樣本的均值大于另一個群樣本的均值，則均值高的群對均值低的群的剝奪大于均值低的群對均值高的群的剝奪，反過來也成立。把群X和群Y的群間的收入差距分解為X對Y的相對剝奪RD（X，Y）和Y對X的相對剝奪RD（Y，X）兩個指標，具有十分重要的現(xiàn)實意義。如果μX≥μY，則RD（X，Y）反映了兩個群間的差異，而RD（Y，X）則反映了兩個群間的交錯情況；如果兩個群是分離的，則RD（Y，X）＝0，假如有兩個群Y1和Y2，它們的均值相等，即，根據(jù)群X與群群Y1和Y2的分離狀況，群間相對剝奪的結(jié)果也是不一樣的，假如群X與群Y1分離，群X與群Y2交錯，則，而RD（Y1，X）＝0，RD（Y2，X）＞0，這一結(jié)果是采用均值比較來分析群間差距所不能得出的。

政府收入分配政策的一個重要目標是降低不同群體間的收入差距，特別是壟斷行業(yè)和非壟斷間的收入差距，那么哪些措施能夠降低不同群間的收入差距呢？下面就進行具體的分析。

定理7：假設群X和群Y的均值分別為μX和μY，μX＞μY，則提高低收入群體Y中個體收入的任何措施，都會降低群X對群Y的相對剝奪。

除了提高低收入群體的收入可以達到降低群間的收入差距外，還有一種措施可以達到降低群間收入差距的目的，那就是改變低收入群體的收入分配狀況。這一點雖然現(xiàn)在不能給出證明，但可以通過一個例子加以說明。

假設群X中有一個個體，收入為10 000，群Y中有兩個個體收入分別為12 000和6 000，則μX＞μY，假如我們對群Y的收入分布做如下改變：高收入者收入降低1 000，低收入者收入增加1 000，這樣得到的收入集合為Y0。顯然，Y0的分配狀況比Y要好，而且；但是，RD（X，Y）＝0.2，RD（X，Y0）＝0.15。這樣就通過調(diào)節(jié)低收入者的收入分配狀況，達到了降低群間收入差距的目的。這個結(jié)論也不是使用兩個群的均值比作為度量群間收入差距的方法所能得出的。

定義3：如果RD（X，Y）≥RD（Y，X），則稱群X對群Y相對剝奪占優(yōu)，或群X相剝奪占優(yōu)群Y，記為X≥RDY。

定理8：群間的相對剝奪關(guān)系是一個偏序關(guān)系。

說明：（1）當X＝Y(jié)時，RD（X，Y）＝RD（Y，X）＝GX＝GY，其中：GX和GY分別為群 X和群Y的基尼系數(shù)，所以群間的相對剝奪關(guān)系滿足自反性；（2）當X≠Y時，如果群X對群Y相對剝奪占優(yōu)，則有RD（X，Y）＞RD（Y，X），那么，群Y不對群X相對剝奪占優(yōu)；所以，群間的相對剝奪關(guān)系滿足反對稱性；（3）如果群X對群Y相對剝奪占優(yōu)，群Y對群Z相對剝奪占優(yōu)，則有RD（X，Y）≥RD（Y，X），RD（Y，Z）≥RD（Z，Y），根據(jù)定理6可知μX≥μY，μY≥μZ，所以μX≥μZ，再根據(jù)定理6可知RD（X，Z）≥RD（Z，X）；所以，群間的相對剝奪關(guān)系滿足傳遞性。一個關(guān)系如果滿足自反性、反對稱性和傳遞性，則該關(guān)系就是偏序關(guān)系。所以群間的相對剝奪關(guān)系是偏序關(guān)系。

定理9：群間的相對剝奪RD（X，Y）滿足線性齊次性。

證明：假設λ＞0，由于當群X和群Y中每個個體的收入都變?yōu)樵瓉淼摩吮稌r，則其均值也變?yōu)樵瓉淼摩吮叮?/p>

定理10：群間相對剝奪RD（X，Y）滿足加和可分解性。即對所有的X1，X2?X，使得并且，那么

證明：根據(jù)群X對群Y中個體k的加和可分性可得，所以

定理11：群間的相對剝奪RD（X，Y）滿足焦點性公理，即RD（X，Y）與X中收入比Y中最低收入還低的個體無關(guān)，也與Y中收入比X中最高收入還高的個體無關(guān)，也即RD（X，Y）＝RD（X-MinX（Y），Y-MaxY（X））

證明：當i∈MinX（Y），?yk∈Y，都有ADXY（xi，yk）＝0，所以RD（X，Y）與X中收入比Y中最低收入還低的個體無關(guān)；當k∈MaxY（X）時，?xi∈X，都有ADXY（xi，yk）＝0，所以RD（X，Y）與Y中收入比X中最高收入還高的個體無關(guān)。

五、實證分析

（一）數(shù)據(jù)。本文所用數(shù)據(jù)來自CGSS2008全國調(diào)查數(shù)據(jù)，該調(diào)查樣本包含27個省市的6 000個個體，其中城鎮(zhèn)數(shù)據(jù)3 982個，農(nóng)村數(shù)據(jù)2 118個。剔除樣本中年職業(yè)收入、職業(yè)外收入指標值為不知道、拒絕回答和不適用的個體，最終剩余符合要求的城鎮(zhèn)數(shù)據(jù)2 980個、農(nóng)村數(shù)據(jù)1 690個。本文中將區(qū)域指標為城鎮(zhèn)的所有樣本個體集合設為群U，將區(qū)域指標為農(nóng)村的所有樣本個體集合設為群R。將兩個群中分別按年人均收入的遞增順序?qū)θ簝?nèi)個體進行排列。城鎮(zhèn)群體和農(nóng)村群體的十分位數(shù)、十分位數(shù)對應個體序號及該個體收入見表1。

表1 城鎮(zhèn)群體和農(nóng)村群體的十分位數(shù)據(jù)特征

（二）城鎮(zhèn)和農(nóng)村內(nèi)部的個體相對剝奪。對于每個分位數(shù)，我們采用第三部分給出的方法，分別計算與該分位數(shù)對應的農(nóng)村個體被農(nóng)村群體的相對剝奪和城鎮(zhèn)個體被城鎮(zhèn)群體的相對剝奪，結(jié)果見表2。

表2 對應城鎮(zhèn)群體和農(nóng)村群體十分位數(shù)據(jù)的相對剝奪

根據(jù)表2中數(shù)據(jù)可以得到城鎮(zhèn)和農(nóng)村內(nèi)部的個體相對剝奪曲線，見圖1和圖2。

圖1 城鎮(zhèn)內(nèi)部的個體相對剝奪曲線

圖2 農(nóng)村內(nèi)部的個體相對剝奪曲線

從表2和圖1、圖2可知，城鎮(zhèn)居民對應各分位數(shù)的相對剝奪，從pi＝0到pi＝0.1、從pi＝0.1到pi＝0.2變動幅度很大，均超過了0.1；從pi＝0.9到pi＝1變動的幅度也很大，其值超過0.15，其原因主要是收入變化幅度較大，而其他各階段變化的幅度都比較小。另一方面，城鎮(zhèn)內(nèi)部的個體相對剝奪曲線上的點大部分落在（0，1）和（1，0）點連線的下方，由于相對剝奪曲線和兩個坐標軸圍成的面積為基尼系數(shù)，說明城鎮(zhèn)內(nèi)部差距的基尼系數(shù)小于0.5；但是農(nóng)村內(nèi)部的個體剝奪呈現(xiàn)出和城鎮(zhèn)居民明顯不同的特點，從pi＝0到pi＝0.1以及從pi＝0.6以后的變動幅度都超過了0.1，而且農(nóng)村內(nèi)部的個體相對剝奪曲線上的點大部分落在（0，1）和（1，0）點連線的上方，說明農(nóng)村內(nèi)部差距的基尼系數(shù)大于0.5；從城鎮(zhèn)內(nèi)部和農(nóng)村內(nèi)部每一分位數(shù)點相對剝奪的數(shù)值來看，除個別點外，農(nóng)村內(nèi)部的個體相對剝奪要高于城鎮(zhèn)內(nèi)部。

（三）城鎮(zhèn)群體對農(nóng)村個體和農(nóng)村群體對城市個體的相對剝奪。對于每個分位數(shù)，我們采用第三部分給出的方法，分別計算與該分位數(shù)對應的農(nóng)村個體被城鎮(zhèn)群體的相對剝奪和城鎮(zhèn)個體被農(nóng)村群體的相對剝奪，結(jié)果見表3。

表3 對于每一分位數(shù)城鎮(zhèn)群體對農(nóng)村個體和農(nóng)村群體對城鎮(zhèn)個體的相對剝奪

根據(jù)表3數(shù)據(jù)可以得到城鎮(zhèn)群體對農(nóng)村個體的相對剝奪曲線和農(nóng)村群體對城鎮(zhèn)個體的相對剝奪曲線，見圖3和圖4。

圖3 城鎮(zhèn)群體對農(nóng)村個體的相對剝奪曲線

圖4 農(nóng)村群體對城鎮(zhèn)個體的相對剝奪曲線

由表3和圖3、圖4可知，對于每一分位數(shù)，城鎮(zhèn)群體對農(nóng)村個體的相對剝奪遠遠高于農(nóng)村群體對城鎮(zhèn)個體的相對剝奪，其原因在于對每一分位數(shù)城鎮(zhèn)居民收入比重比該分位數(shù)對應的農(nóng)村居民收入比重都要高；農(nóng)村對城鎮(zhèn)最低收入的個體的相對剝奪很高，達到了0.9766，說明城鎮(zhèn)中最低收入也很低，大部分農(nóng)村居民的收入都高于他，但是對其他每一分位數(shù)，農(nóng)村群體對城鎮(zhèn)個體的相對剝奪基本上都大于0（除了pi＝1外），但是數(shù)值比較小，說明每一分位數(shù)上農(nóng)村居民中收入高于城鎮(zhèn)居民收入的比重比較低。

（四）城鎮(zhèn)與農(nóng)村群體的群間剝奪和群內(nèi)剝奪。利用定理4的推論（14）式和（15）式，我們很容易計算任意兩個群間的相對剝奪，采用這兩個公式可以計算出城鎮(zhèn)和農(nóng)村群體內(nèi)部的相對剝奪、城鎮(zhèn)對農(nóng)村的群間相對剝奪以及農(nóng)村對城鎮(zhèn)的群間相對剝奪，見表4。

表4 不同群體間的相對剝奪

從表4可知，農(nóng)村居民內(nèi)部收入差距較大，基尼系數(shù)達到了0.542689，城鎮(zhèn)居民內(nèi)部收入差距略小于農(nóng)村居民，基尼系數(shù)為0.452422。城鎮(zhèn)對農(nóng)村的相對剝奪達到了0.748796，處于一個較高的水平，然而農(nóng)村居民對城鎮(zhèn)居民的相對剝奪則較小，僅為0.223951，而且城鎮(zhèn)居民對農(nóng)村居民的相對剝奪遠遠高于農(nóng)村居民對城鎮(zhèn)居民的相對剝奪，說明城鎮(zhèn)居民的總體收入水平遠遠高于農(nóng)村居民，農(nóng)村居民的收入水平要趕上城鎮(zhèn)居民還有一個很長的路要走。

六、結(jié)論及未來展望

本文在已有研究的基礎上，對不同群間的個體進行比較，分別研究了群間個體絕對剝奪、群間個體相對剝奪、不同群間總剝奪測度的性質(zhì)、公理化特征及其具體形式，并將相對剝奪曲線擴展到不同群之間，給出了一個群相對于另一個群的相對剝奪曲線的繪制方法。與以往研究成果相比，本文在以下方面取得一定進展：第一，將參照群的思想集成到群間剝奪的測度模型中，形成了統(tǒng)一的分析框架，得到了一個群對另一個群中個體的絕對剝奪測度公式，并證明一個個體剝奪函數(shù)如果滿足聚焦性公理、平移不變性公理、線性齊次性公理、加和可分性公理及正規(guī)化公理，則該函數(shù)就是我們給出的個體絕對剝奪函數(shù)，在上述框架下群內(nèi)個體絕對剝奪只是個體所在群和參照群相同時的一個特例；第二，在群間個體絕對剝奪的基礎上給出了群間個體相對剝奪的測度公式并分析了其性質(zhì)，以此為基礎，將Kakwani的相對剝奪曲線理論擴展到不同群之間，繪制出群間相對剝奪曲線；第三，給出一個群對另一個群相對剝奪的計算公式（此時群內(nèi)不平等指標——基尼系數(shù)只是兩個群相等時群間相對剝奪的一個特例），并對群間相對剝奪的性質(zhì)進行了詳細的探討，該研究使我們對群間的收入差距有了更進一步的認識，與平均收入比這一指標相比，兩個群體之間的相對剝奪更能反映群間的收入差距，平均收入高的群體對平均收入低的群體的相對剝奪反映了高收入群體和低收入群體間的收入差異狀況，而平均收入低的群體對平均收入高的群體的相對剝奪則反映了兩個群間的收入交錯狀況，后者更為重要，在一定程度上代表了低收入群體的希望，也是調(diào)節(jié)群間收入差距應重點關(guān)注之所在，任何提高低收入群體中個體收入的措施，都會降低高收入群體和低收入群體的群間收入差距；第四，利用CGSS2008全國調(diào)查數(shù)據(jù)，繪制了城鎮(zhèn)內(nèi)部、農(nóng)村內(nèi)部、城鎮(zhèn)對農(nóng)村和農(nóng)村對城鎮(zhèn)的相對剝奪曲線，并計算了它們總體的相對剝奪，對理論成果進行了實證檢驗。

盡管研究得到了一些進展，但仍有一些問題需要進一步研究，特別是群間個體絕對剝奪除以參照群的收入均值得到群間個體相對剝奪的做法缺乏強有力的理論支撐，但卻是目前最好的處理方法，其特例Kakwani指數(shù)由于不滿足平移不變性和焦點性公理也得到了很多學者的批評。因此，如何得到一個具有“更好”的個體相對剝奪測度成為未來有待解決的一個重要課題。

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