羅永忠

摘要：數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是形成數(shù)學(xué)概念、建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系、思考和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的主線與靈魂。數(shù)學(xué)思想方法能促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，讓學(xué)生終身受益。本文結(jié)合“矩形與菱形的性質(zhì)”這一教學(xué)內(nèi)容，闡述了滲透六種數(shù)學(xué)思想與方法的做法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法 矩形 菱形 滲透

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“課程基本理念”部分指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法”。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，也成為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“四基”目標(biāo)中的一個(gè)。數(shù)學(xué)思想方法伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建立而確立，貫穿于“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率以及綜合與實(shí)踐”的學(xué)習(xí)過(guò)程，集中體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的靈魂，對(duì)提升學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)有著舉足輕重的作用。因此，教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)依托現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材，以數(shù)學(xué)基本思想為統(tǒng)領(lǐng)，充分重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透。下面筆者就結(jié)合蘇教版八年級(jí)“矩形與菱形的性質(zhì)”的教學(xué)來(lái)闡述如何滲透以下六種數(shù)學(xué)思想方法。

一、類(lèi)比的思想與方法

不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過(guò)對(duì)某一事物的認(rèn)識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)與它相似的另一事物，這種認(rèn)識(shí)事物的思維方法就是類(lèi)比。類(lèi)比的類(lèi)型主要有：表層類(lèi)比（形式或結(jié)構(gòu)上的簡(jiǎn)單類(lèi)比）；深層類(lèi)比（方法或模式上的縱向類(lèi)比）；溝通類(lèi)比（各分科之間的類(lèi)比）。類(lèi)比推理，它是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的主要方法之一。在探究矩形的性質(zhì)時(shí)，可類(lèi)比利用中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)研究平行四邊形性質(zhì)的方法，通過(guò)圖形變換操作和合情推理去探索，活動(dòng)分為以下兩個(gè)層次。

第一層次：畫(huà)出Rt△ABC關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的圖形，得出四邊形ABCD是中心對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)O是對(duì)稱(chēng)中心的結(jié)論。讓學(xué)生理解：“把點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為D，則△CDA可以看成是△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180度得到的，從而判別四邊形ABCD是中心對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)O是它的對(duì)稱(chēng)中心”。學(xué)生通過(guò)探究可以發(fā)現(xiàn)：四邊形ABCD是中心對(duì)稱(chēng)圖形，是平行四邊形，并且有一個(gè)角是直角，為引入矩形的概念做好鋪墊。第二層次：讓學(xué)生利用平行四邊形活動(dòng)框架，從矩形的定義與中心對(duì)稱(chēng)性?xún)蓚€(gè)方面類(lèi)比平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行探究、合情推理。再如，在學(xué)習(xí)矩形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，可類(lèi)似地進(jìn)行菱形性質(zhì)的探究，有效地促進(jìn)知識(shí)點(diǎn)之間的融通，從而讓學(xué)生能感受到類(lèi)比是認(rèn)識(shí)和研究新事物的重要思想方法。

二、特殊與一般的遞進(jìn)思想

由特殊到一般，再由一般到特殊，這種反復(fù)認(rèn)識(shí)的過(guò)程是人們認(rèn)識(shí)世界的基本過(guò)程之一。對(duì)數(shù)學(xué)而言，這就是人們常說(shuō)的特殊與一般的數(shù)學(xué)思想。如學(xué)生在說(shuō)明矩形的性質(zhì)時(shí)往往只回答它的對(duì)角線相等、四個(gè)角是直角，此時(shí)教師可追問(wèn)：矩形的邊有何關(guān)系？通過(guò)交流，使學(xué)生明白：矩形作為有一個(gè)角是直角的平行四邊形，首先具有平行四邊形的所有性質(zhì)，稱(chēng)之為一般性質(zhì)；其次具有一般平行四邊形所沒(méi)有的特殊性質(zhì)。通過(guò)上述問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)特殊與一般的關(guān)系，理清平行四邊形與矩形的從屬關(guān)系，體會(huì)在圖形不斷特殊化的過(guò)程中，圖形的性質(zhì)也越來(lái)越多。

三、幾何直觀

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)幾何直觀是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法與手段，也是學(xué)生分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題必須具備的一種能力。幾何直觀所指有兩點(diǎn)：一是幾何，在這里，幾何是指圖形；二是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個(gè)層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西和以前看到的東西進(jìn)行思考、想象，綜合起來(lái)，幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象。幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，對(duì)于數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題，靈感往往來(lái)自于幾何直觀。學(xué)生掌握知識(shí)一般有一個(gè)從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，借助于幾何直觀、幾何解釋?zhuān)褟?fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)自己主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)，通過(guò)自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，使思維轉(zhuǎn)向更高級(jí)、更抽象的空間形式，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有著積極且重要的意義。如在探究矩形性質(zhì)時(shí)，通過(guò)演示平行四邊形活動(dòng)框架（對(duì)角線是兩根橡皮筋），引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察：改變平行四邊形活動(dòng)框架，它的邊、角、對(duì)角線有怎樣的變化？①隨著∠ABC的變化，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度發(fā)生了怎樣的變化？②當(dāng)∠ABC為直角時(shí)，平行四邊形變?yōu)榫匦危膬蓷l對(duì)角線有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ ③當(dāng)∠ABC為直角時(shí)，這個(gè)矩形四個(gè)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

這里利用四邊形的不穩(wěn)定性，借助幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合情推理去探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論。教學(xué)時(shí)要充分注意這一過(guò)程，始終把不同層次的感受和抽象體現(xiàn)在教學(xué)過(guò)程中，使學(xué)生不斷感悟，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

四、模型思想

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！睌?shù)學(xué)模型是一個(gè)含義很廣的概念，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程以及由此構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言模擬現(xiàn)實(shí)的模型，即把某種事物系統(tǒng)的主要特征、主要關(guān)系抽象出來(lái)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。眾所周知，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的方式，這其中已知的問(wèn)題其實(shí)就是“模型”，因此“模型”隨時(shí)都有，所以教學(xué)中時(shí)刻要發(fā)展學(xué)生的模型思想。在研究矩形與菱形的性質(zhì)時(shí)就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生始終抓住“平行四邊形”這一模型。又如蘇教版八年級(jí)課本93頁(yè)例1：如圖3-25，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=4cm，∠AOB=60°，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)。

由于矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成若干個(gè)全等的直角三角形和等腰三角形，所以在研究與矩形有關(guān)的計(jì)算和證明時(shí)，常用到OA=OB=OC=OD及直角三角形的一些性質(zhì)，而∠AOB=60°，這個(gè)問(wèn)題自然而然就需要利用等邊三角形這一“模型”來(lái)解決。同樣菱形的對(duì)角線把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解決菱形也常常需借助等腰三角形或直角三角形“模型”。endprint

五、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的思想方法是初中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，而數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個(gè)方面，數(shù)與形表面看是相互獨(dú)立，其實(shí)在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)量問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，圖形問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問(wèn)題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由數(shù)想形和以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長(zhǎng)，有利于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的識(shí)記和理解。在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)生分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象、引發(fā)聯(lián)想、啟迪思維、拓寬思路，從而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。例如蘇教版八年級(jí)課本96頁(yè)的練習(xí)2：菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，相鄰兩角的度數(shù)比為1：2.求菱形的較短的對(duì)角線長(zhǎng)。

利用菱形的對(duì)邊平行得到同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)這一數(shù)量關(guān)系，結(jié)合條件中“相鄰兩角的度數(shù)比為1：2”，得出∠B=60°，再借助圖形中AB=BC這一等量關(guān)系，推理出△ABC為等邊三角形，從而迅速找到解決問(wèn)題的方法。

六、化歸思想

“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱(chēng)。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程是創(chuàng)造性的思維活動(dòng)過(guò)程，其重要的特點(diǎn)是思維的變通性和流暢性，當(dāng)人們面對(duì)問(wèn)題難以入手時(shí)，思維就不應(yīng)停留在原問(wèn)題上，而應(yīng)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)比較熟悉、容易解決的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的解決，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的一種重要思想—化歸。化歸是分析問(wèn)題解決問(wèn)題的有效途徑，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要策略和方法，有利于在解決問(wèn)題的過(guò)程中思維通暢、方法得當(dāng)，從而達(dá)到事半功倍的效果。常見(jiàn)的化歸思路有化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化未知為已知、幾何代數(shù)問(wèn)題互化和化抽象為具體等。如矩形的一條對(duì)角線把矩形分成兩個(gè)全等的直角三角形；矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)全等的等腰三角形。因此，有關(guān)矩形的問(wèn)題往往可化為直角三角形或等腰三角形的問(wèn)題來(lái)解決。再如蘇教版八年級(jí)課本96頁(yè)的例3：如圖3-31，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別為a、b，AC、BD相交于點(diǎn)O。①用含a、b的代數(shù)式表示菱形ABCD的面積S；②若a=3cm，b=4cm，求菱形ABCD的面積和周長(zhǎng)。

由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，菱形的兩條對(duì)角線就將菱形分成了四個(gè)全等的直角三角形，結(jié)合圖形就可以將第一問(wèn)中菱形的面積計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等腰三角形或者四個(gè)全等的直角三角形面積和，當(dāng)然也可以化歸成以AC、BD為邊的矩形來(lái)處理。而第二問(wèn)中的周長(zhǎng)則轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)，運(yùn)用直角三角形的勾股定理來(lái)解決。

總之，在教學(xué)中教師要做一個(gè)“滲透”的有心人，把數(shù)學(xué)思想方法滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，將其作為教學(xué)中一個(gè)需要完成的目標(biāo)，“流淌”于數(shù)學(xué)課堂內(nèi)外，讓學(xué)生終身受益。

（本文作者為江蘇省宜興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校副校長(zhǎng)）endprint