蘇成曉 羅景青 劉頌陽(yáng)

（1.解放軍電子工程學(xué)院雷達(dá)對(duì)抗系，合肥，230037；2.吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院，長(zhǎng)春，130061）

引 言

寬帶信號(hào)處理中，為了保證信號(hào)通過(guò)基陣系統(tǒng)后頻率特性不發(fā)生畸變，要求波束主瓣寬度不隨頻率發(fā)生變化，即滿足頻率不變特性。頻率不變波束形成主要有最小二乘法［1－2］和空 間重采 樣法［3］，此外還有一些優(yōu)化逼近算法［4－5］，約束設(shè)計(jì)波束與參考波束誤差最小，優(yōu)化求解得到權(quán)向量。對(duì)于常規(guī)寬帶波束形成，主瓣寬度不僅隨頻率變化，而且隨著波束指向變化，當(dāng)波束指向逐漸偏離基陣法線方向時(shí)，主瓣逐漸變寬［6］，這勢(shì)必導(dǎo)致陣列分辨性能下降。

為保證陣列的指向性能不變，要求波束在不同指向上始終保持主瓣恒定，即實(shí)現(xiàn)方向不變特性。文獻(xiàn)［6］將研究局限于均勻線陣，無(wú)法適用于任意陣型陣列。文獻(xiàn)［7，8］采用在波束的主、旁瓣區(qū)域內(nèi)設(shè)置虛擬干擾源的方式，通過(guò)調(diào)整干擾源強(qiáng)度控制波束的主旁瓣，該方法計(jì)算量與干擾源數(shù)目成正比，而干擾源數(shù)目偏少會(huì)影響算法效果。到目前為止，對(duì)于方向不變波束的研究較少，而且針對(duì)的都是窄帶情況。

為了實(shí)現(xiàn)寬帶波束頻率和方向上的二維主瓣恒定，本文基于約束優(yōu)化的方法，分別在頻率和方向上進(jìn)行主瓣恒定約束，并用二階錐規(guī)劃求解最優(yōu)權(quán)向量。相對(duì)于頻率不變波束，采用頻率－方向不變波束的寬帶信號(hào)到達(dá)角（Direction of arrival，DOA）估計(jì)，信號(hào)的分辨概率和估計(jì)性能得到提升。

1 問(wèn)題描述

寬帶頻域波束形成通常將帶寬劃分為若干個(gè)不重疊的子帶，然后每個(gè)子帶分別利用窄帶方法形成波束。假設(shè)陣元個(gè)數(shù)為L(zhǎng)，第j個(gè)子帶中心頻率為fj，陣列方向向量為a（fj，θ），加權(quán)向量為WH（fj，θm），θm表示波束指向，則頻率fj處指向?yàn)棣萴的波束方向圖函數(shù)為

從式（1）可以看出，波束方向圖函數(shù)與頻率fj和波束指向θm有關(guān)。只考慮頻率的影響，假設(shè)參考頻率f0處指向?yàn)棣萴的波束主瓣角度范圍Θm，為了實(shí)現(xiàn)不同頻率波束主瓣恒定，對(duì)于帶寬內(nèi)任意頻率fj和主瓣內(nèi)任意角度θ∈Θm，不同頻率處加權(quán)向量須滿足

對(duì)于指向分別為θm1，θm2的兩個(gè)波束，假設(shè)θm2－θm1＝θI，θm1處主瓣角度范圍為Θm1，θm2處主瓣角度范圍為Θm2。為了實(shí)現(xiàn)不同指向波束主瓣恒定，對(duì)于任意兩個(gè)波束指向θm1，θm2和任意角度θ∈Θm1，不同指向處加權(quán)向量須滿足

式（2，3）分別給出了頻率不變和方向不變恒定主瓣波束形成加權(quán)向量需要滿足的條件。對(duì)于寬帶波束形成，要使波束在頻率和方向上均實(shí)現(xiàn)主瓣恒定，則對(duì)于帶寬內(nèi)任意頻率fj和主瓣內(nèi)任意角度θ∈Θm1，加權(quán)向量須滿足

2 頻率－方向不變恒定主瓣波束形成

實(shí)現(xiàn)頻率－方向不變恒定主瓣波束，關(guān)鍵是加權(quán)向量的求解。本文采用約束優(yōu)化方法，設(shè)計(jì)出滿足要求的波束，并將問(wèn)題表示為二階錐規(guī)劃［9］的形式，使用SeDuMi工具箱求解全局最優(yōu)權(quán)向量。

2.1 頻率不變主瓣恒定約束

單純考慮波束指向θm處頻率不變恒定主瓣波束形成，下列表達(dá)式中略去θm。假設(shè)頻率fj處設(shè)計(jì)波束為F（fj，θ），參考波束為頻率f0處波束F（f0，θ），波束主瓣區(qū)域?yàn)棣∕L，旁瓣區(qū)域?yàn)棣⊿L，θp∈ΘML（p＝1，2，…，P）和θq∈ΘSL（q＝1，2，…，Q）分別為主瓣和旁瓣離散化的方位點(diǎn)。頻率不變主瓣恒定約束的核心思想是：在保證設(shè)計(jì)波束與參考波束主瓣幅度誤差小于某期望值的條件下，使設(shè)計(jì)波束旁瓣級(jí)最低，即滿足約束

式中：ε確定了設(shè)計(jì)波束與參考波束主瓣幅度誤差平方和的上限。如果fj取遍整個(gè)信號(hào)帶寬，就可以在不同頻率處獲得具有同樣主瓣的波束圖，實(shí)現(xiàn)頻率不變恒定主瓣波束形成。

2.2 方向不變主瓣恒定約束

單純考慮頻率fj處方向不變恒定主瓣波束形成，下列表達(dá)式中略去fj。假設(shè)參考波束指向?yàn)棣?，主瓣范圍記為Θ0，波束函數(shù)記為F（θ0，θ），設(shè)計(jì)波束主瓣指向θm，波束函數(shù)記為F（θm，θ），主瓣范圍記為Θm，旁瓣記為Θs。由主瓣恒定可知，Θm實(shí)際為Θ0整體向右平移θm－θ0度。設(shè)θk∈Θm（k＝1，2，…，K）和θr∈Θs（r＝1，2，…，R）分別為設(shè)計(jì)波束主瓣和旁瓣區(qū)域離散化的方位點(diǎn)。方向不變恒定主瓣約束的核心思想是：在保證設(shè)計(jì)波束與參考波束主瓣之間的幅度誤差最小的條件下，使設(shè)計(jì)波束旁瓣級(jí)最低，即滿足約束

式中：σ確定了設(shè)計(jì)波束與參考波束主瓣幅度誤差平方和的上限。如果θm取遍整個(gè)觀察區(qū)域，就可以在不同波束指向處獲得具有同樣主瓣的波束圖，實(shí)現(xiàn)方向不變恒定主瓣波束形成。

實(shí)際上，離散化方位點(diǎn)的位置和數(shù)目對(duì)于頻率不變和方向不變主瓣恒定約束都是有影響的。一般情況下在主瓣區(qū)域和旁瓣區(qū)域平均離散化采樣點(diǎn)，保證在波束各個(gè)位置形成約束。離散點(diǎn)的數(shù)目越多，約束越精確，但計(jì)算量也隨之增大，因此在實(shí)際運(yùn)算中，可以根據(jù)需要合理選擇離散點(diǎn)數(shù)目。

2.3 頻率－方向不變波束形成算法

頻率－方向不變恒定主瓣波束形成的思想是：首先實(shí)現(xiàn)參考頻點(diǎn)的方向不變恒定主瓣波束，然后用參考頻點(diǎn)處各個(gè)指向的波束作為相應(yīng)方向上的參考波束，實(shí)現(xiàn)頻率不變恒定主瓣波束。算法步驟概括為：

（1）子帶分解，選取參考頻率f0以及參考波束指向θ0；

（2）以頻率f0處指向θ0的波束作為參考波束，利用式（6）約束條件在觀測(cè)區(qū)域各個(gè)波束指向上實(shí)現(xiàn)方向不變主瓣恒定；

（3）以f0處相應(yīng)指向的方向不變波束作為參考波束，利用式（5）約束條件在信號(hào)帶寬各個(gè)頻率上實(shí)現(xiàn)頻率不變主瓣恒定。

約束優(yōu)化利用SeDuMi工具箱求解。在Se－DuMi工具箱中，標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化問(wèn)題定義為

式中：b和c為任意向量，A為任意的系數(shù)矩陣，y為包含有未知參數(shù)的向量，而κ為一個(gè)對(duì)稱(chēng)錐的集合。以頻率不變主瓣恒定約束為例，引入一新的非負(fù)變量δ和一組非負(fù)變量εp（p＝1，2，…，P），式（5）可以轉(zhuǎn)化為

定義y＝［δ，ε1，ε2，…，εP，WT（fj，θm）］T，b＝［－1，01×P，01×L］，則－δ＝bTy。式（8）的第一個(gè)約束可以表示為

式中：R＋表示非負(fù)實(shí)數(shù)集合。式（8）的第2個(gè)約束可以表示為

式中：g（p）＝ ［g1，g2，…gi，…，gP］T且gi＝式（8）的第3個(gè)約束可以表示為

利用SeDuMi求解得到y(tǒng)的最優(yōu)解后，取其后L個(gè)分量即得到加權(quán)向量。對(duì)式（6）的方向不變主瓣恒定約束，同樣可以利用類(lèi)似的方法，將之表示為二階錐規(guī)劃形式進(jìn)行求解。

3 基于頻率－方向不變波束的DOA估計(jì)

頻率－方向不變波束對(duì)于寬帶波束形成、寬帶多波束測(cè)向以及合成孔徑雷達(dá)成像等都具有實(shí)際意義。文獻(xiàn)［10］最早將頻率不變波束用于寬帶信號(hào)DOA估計(jì)，但頻率不變波束在不同波束指向時(shí)主瓣寬度是變化的，這勢(shì)必影響到算法的性能。下面將本文提出的寬帶頻率－方向不變波束應(yīng)用到寬帶信號(hào)DOA估計(jì)中。

考慮L元陣列，空間接收D個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶信號(hào)，方向記為ΘD，陣列接收數(shù)據(jù)為

式中：A（fj，Θ）為陣列流形，S（fj）為fj處頻域信號(hào)，N（fj）為頻域噪聲向量，假定為高斯白噪聲。空間形成M個(gè)頻率－方向不變波束，波束指向分別為θm，m＝1，2，…，M，則M個(gè)波束的輸出為

式中：T（fj）＝［W（fj，θ1），W（fj，θ2），…，W（fj，θM）］表示M個(gè)頻率－方向不變波束在頻率fj處的波束形成矩陣，NB（fj）＝TH（fj）N（fj）。波束形成矩陣滿足

經(jīng)過(guò)波束形成矩陣，陣元域的數(shù)據(jù)變換到波束域，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了聚焦，所有頻率數(shù)據(jù)變換到了參考頻率f0上，方向向量變?yōu)閎（f0，θ）＝TH（f0）a（f0，θ）。與頻率不變波束不同，波束形成矩陣T（fj）形成的M個(gè)不同指向的波束主瓣寬度是一致的。波束輸出的協(xié)方差矩陣為

譜峰位置對(duì)應(yīng)于信號(hào)的來(lái)波方向。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 頻率－方向不變恒定主瓣波束形成

假設(shè)16元均勻線陣，信號(hào)頻率范圍為1.2～1.4GHz，陣元間距為最大頻率對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的一半。選取頻率1.3GHz，指向?yàn)?°的均勻加權(quán)波束為參考波束，信號(hào)帶寬劃分為J＝20個(gè)子帶，每個(gè)子帶帶寬為10MHz。圖1為只考慮頻率不變主瓣恒定約束時(shí)指向?yàn)?0°的波束圖；圖2為只考慮方向不變主瓣恒定約束時(shí)參考頻點(diǎn)處的波束圖；圖3為指向分別為－40°、20°時(shí)頻率－方向不變波束圖；圖4為主瓣寬度隨波束指向變化曲線。

圖1（a，b）分別為頻率不變波束的立體圖和平面圖，由圖可知，頻率不變主瓣恒定約束能夠在信號(hào)頻率范圍內(nèi)保持主瓣恒定。圖2（a，b）分別為參考頻率處方向不變波束的立體圖和俯視圖，由圖可知，方向不變主瓣恒定約束能夠在不同波束指向時(shí)保持主瓣恒定。圖3（a，b）分別為頻率－方向不變波束形成的立體圖和俯視圖。－40°，20°指向波束主瓣寬度相同，而且這兩個(gè)指向處的波束均能實(shí)現(xiàn)頻率不變主瓣恒定。

圖1 指向20°時(shí)頻率不變波束Fig.1 Frequency invariant beam on 20°

圖2 參考頻率處方向不變波束Fig.2 Steering invariant beam on reference frequency

圖3 頻率－方向不變波束Fig.3 Frequency－steering invariant beam

圖4 主瓣寬度隨波束指向變化曲線Fig.4 Curve of beam－width versus mainlobe direction

圖4中兩條曲線分別表示頻率不變波束和頻率－方向不變波束主瓣寬度隨波束指向變化曲線。隨著波束指向偏離陣列法線方向，頻率不變波束的主瓣寬度隨之增大，而頻率－方向不變波束能夠在±50°范圍內(nèi)保持主瓣寬度基本不變。

4.2 基于頻率－方向不變波束的DOA估計(jì)

考慮4.1節(jié)中陣列，空間兩等功率遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶信號(hào)，來(lái)波方向分別為18°，22°，采樣頻率為512MHz，觀測(cè)時(shí)間為20μs，數(shù)據(jù)分為16段，將信號(hào)帶寬分為20個(gè)子帶，選取參考頻率1.3GHz，指向?yàn)?°，旁瓣電平為－30dB的切比雪夫加權(quán)波束作為參考波束，空間形成3個(gè)頻率－方向不變波束，波束間－3dB交疊，波束指向分別為12°，20°，28°。圖5為信噪比5dB時(shí)進(jìn)行200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)譜估計(jì)結(jié)果，圖6為DOA估計(jì)性能與信噪比關(guān)系曲線。

圖5為采用頻率－方向不變波束的寬帶波束域DOA空間譜估計(jì)結(jié)果。由圖可知，兩信號(hào)得到正確分辨和估計(jì)，說(shuō)明頻率－方向不變波束用于寬帶信號(hào)DOA估計(jì)中的有效性。

圖5 空間譜估計(jì)曲線Fig.5 Spatial spectrum estimation curve

圖6 算法性能與信噪比關(guān)系曲線Fig.6 Curve of algorithm performance versus SNR

圖6為分別采用頻率－方向不變波束和頻率不變波束時(shí)，寬帶信號(hào)DOA估計(jì)性能與信噪比關(guān)系曲線。圖6（a）為分辨概率與信噪比關(guān)系曲線，由圖可知，同一信噪比條件下，采用頻率－方向不變波束，分辨概率要優(yōu)于頻率不變波束。圖6（b）為均方根誤差與信噪比關(guān)系曲線，由圖可知，同等信噪比條件下，采用頻率－方向不變波束，均方根誤差小于采用頻率不變波束，這是因?yàn)?個(gè)頻率－方向不變波束主瓣寬度與0°方向波束主瓣寬度相同，相當(dāng)于在偏離陣列法線方向上增大了陣列孔徑。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種寬帶頻率－方向不變恒定主瓣波束形成算法，并將之應(yīng)用到寬帶信號(hào)DOA估計(jì)中。運(yùn)用約束優(yōu)化的方法，分別對(duì)頻率不變主瓣恒定和方向不變主瓣恒定進(jìn)行約束，并表示為標(biāo)準(zhǔn)二階錐規(guī)劃的形式進(jìn)行求解。實(shí)驗(yàn)表明，提出的頻率－方向不變波束形成算法能夠?qū)崿F(xiàn)不同頻率不同波束指向主瓣恒定，與頻率不變波束相比，采用頻率－方向不變波束的DOA估計(jì)方法降低了信噪比分辨門(mén)限，提高了估計(jì)精度。

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