在高考中，對復(fù)數(shù)的考查往往以小題形式出現(xiàn).有道是“大題大做，小題小做”.對于解答小題，必須講究技巧，找準(zhǔn)方法，只有這樣，才能快速解答.那么，復(fù)數(shù)問題解題技巧去哪兒了？就讓本文與你一起去追蹤.

一、化復(fù)數(shù)問題為實數(shù)問題

例1設(shè)z2=z1-i1（其中1表示z1的共軛復(fù)數(shù)），已知z2的實部是-1，則z2的虛部為.

分析：因為復(fù)數(shù)的實部與虛部均為實數(shù)，故可依據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念，原問題可轉(zhuǎn)化為實數(shù)范圍內(nèi)的方程組問題.

解：設(shè)出復(fù)數(shù)z1，z2，利用復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的方法即可解決.設(shè)z1=x+yi，z2=-1+bi（x，y，b都是實數(shù)），則有z1-i1=（x+yi）-i（x-yi）=（x-y）+（y-x）i，由已知z2=z1-i1，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的概念得-1=x-yb=y-x，所以b=1，即z2的虛部為1.故答案：1.

評注：復(fù)數(shù)是實數(shù)的拓展，其實部與虛部均為實數(shù)，因此復(fù)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題解決.

變式練習(xí)1已知復(fù)數(shù)|z|=12，則|z2-z+14|的最大值是（）.

A. 2B. 1C. 34D. 12

答案：B.

解析：設(shè)z=x+yi（x，y∈R）.∵|z|=12，∴x2+y2=14，

∴|z2-z+14|=|（z-12）2|=|z-12|2=（x-12）2+y2=12-x.

∵-12≤x≤12，∴當(dāng)x=-12時，|z2-z+14|有最大值1.

二、巧用特殊等式

例2計算-23+i1+23i+（21-i）1996.

分析：本題若按復(fù)數(shù)除法和乘法法則直接計算，則顯得十分繁瑣，若能結(jié)合題目特點(diǎn)，聯(lián)想結(jié)論（1±i）2=±2i，并注意到-23+i=i（1+23i），不難找出簡捷解法.

解：原式=i（1+23i）1+23i+[（21-i）2]998=i+（2-2i）998=i+i998=i+i4×249+2=i+i2=-1+i.

評注：代數(shù)形式的復(fù)數(shù)運(yùn)算，基本思路是應(yīng)用法則，但如果能通過對表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征的分析，靈活運(yùn)用i的冪的性質(zhì)和復(fù)數(shù)運(yùn)算中的一些特殊等式，如（1±i）2=±2i，1+i1-i=i，（-12+32i）3=1等，將有效地簡化運(yùn)算，提高解題速度.

變式練習(xí)2計算（-1+3i）51+3i的結(jié)果是.

答案：-16.

解析：原式=25（-12+32i）52（12+32i）

=24（-12+32i）6（12+32i）（-12+32i）

=16×12-（-12-32i）（-12+32i）=-16.

三、巧用復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)

例3求|2i（-4+3i）（1-i）（3+i）（3-i）（1+2i）|的值為.

分析：這是復(fù)數(shù)的求模運(yùn)算，由多個復(fù)數(shù)經(jīng)過乘除運(yùn)算得到，因此可以利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，進(jìn)行求值運(yùn)算.

解：原式=|2i|·|-4+3i|·|1-i||3+i|·|3-i|·|1+2i|

=2·|-4+3i|·|1-i||3+i|2·|1+2i|=2×5×222×5=52.

評注：利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)可以簡化計算.經(jīng)常用到的有：（1）|z1·z2|=|z1|·|z2|；（2）|z1z2|=|z1||z2|；（3）z·=|z|2=||2等.

變式練習(xí)3設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z+||=2+i，那么z等于（）

A. -34+iB. 34-i

C. -34-iD. 34+i

答案：D.

解析：原關(guān)系式可化為z=2-||+i，

又|z|=||且為實數(shù)，兩邊取模得|z|=（2-|z|）2+1，

解得|z|=54，則z=2-54+i=34+i.

四、整體代換

例4已知z1，z2為復(fù)數(shù)，（3+i）z1為實數(shù)，z2=z12+i，且|z2|=52，則z2=.

分析：兩種思路解此類問題：一是設(shè)出z1、z2，然后代入解方程；二是利用整體代換的思想求解.第二種思路更簡捷.

解：因為z2=z12+i，所以z1=z2（2+i），

故（3+i）z1=z2（2+i）（3+i）=z2（5+5i）∈R，

∵|z2|=52，∴|z2·（5+5i）|=|z2|·|5+5i|=50，

∴z2（5+5i）=±50，∴z2=±505+5i=±101+i=±（5-5i）.

評注：復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算中會涉及模、共軛及分類等，求z時要注意是把z看作一個整體還是設(shè)為代數(shù)形式應(yīng)用方程思想；當(dāng)z是實數(shù)或純虛數(shù)時注意常見結(jié)論的應(yīng)用.

變式練習(xí)4設(shè)復(fù)數(shù)z和它的共軛復(fù)數(shù)滿足4z+2=33+i，則復(fù)數(shù)z的值是.

答案：32+12i.

解析：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），將4z+2=33+i化為2z+（2z+2）=33+i.

由2z+2=2（a+bi）+2（a-bi）=4a，整體代入，得2z+4a=33+i，6a+2bi=33+i.

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得a=32，b=12.故z=32+12i.

五、利用復(fù)數(shù)的幾何意義

例5已知復(fù)數(shù)|z|=2，則復(fù)數(shù)1+3i+z的模的最大值為.

分析：若令ω=1+3i+z，則z=ω-（1+3i），根據(jù)|z|=2及復(fù)數(shù)減法的幾何意義，即可得到滿足條件的復(fù)數(shù)ω對應(yīng)的W的軌跡，依據(jù)圖形即可解題.

解：由|z|=2，可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上.設(shè)ω=1+3i+z，則z=ω-（1+3i），∴|ω-（1+3i）|=2，故復(fù)數(shù)ω在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)W在以（1，3）為圓心，以2為半徑的圓上（如圖）.由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)W落在點(diǎn)A處時，復(fù)數(shù)ωA的模最大；當(dāng)點(diǎn)W落在點(diǎn)B處時，復(fù)數(shù)ωB的模最小.

所以模的最大值為4.

評注：這是復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用中比較典型的問題，該問題除利用幾何意義求解外，還可以利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|進(jìn)行求解.

變式練習(xí)5復(fù)數(shù)z滿足條件|z+2|=|z-4i|，則|z|的最小值為.

答案：455.

解析：由|z+2|=|z-4i|知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為線段AB的垂直平分線，其中A（-2，0），B（0，4），|z|即原點(diǎn)到垂直平分線上的點(diǎn)的距離.故|z|min=455.

變式練習(xí)6已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|=7+1，|z2|=7-1，且|z1-z2|=4，則|z1+z2|的值為.

答案：4.

解析：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為Z1，Z2，由于（7+1）2+（7-1）2=42，故|z1|2+|z2|2=|z1-z2|2，故以O(shè)Z1，OZ2為鄰邊的平行四邊形是矩形，|z1+z2|=|z1-z2|=4.

（作者：王佩其，太倉市明德高級中學(xué)）endprint

在高考中，對復(fù)數(shù)的考查往往以小題形式出現(xiàn).有道是“大題大做，小題小做”.對于解答小題，必須講究技巧，找準(zhǔn)方法，只有這樣，才能快速解答.那么，復(fù)數(shù)問題解題技巧去哪兒了？就讓本文與你一起去追蹤.

一、化復(fù)數(shù)問題為實數(shù)問題

例1設(shè)z2=z1-i1（其中1表示z1的共軛復(fù)數(shù)），已知z2的實部是-1，則z2的虛部為.

分析：因為復(fù)數(shù)的實部與虛部均為實數(shù)，故可依據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念，原問題可轉(zhuǎn)化為實數(shù)范圍內(nèi)的方程組問題.

解：設(shè)出復(fù)數(shù)z1，z2，利用復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的方法即可解決.設(shè)z1=x+yi，z2=-1+bi（x，y，b都是實數(shù)），則有z1-i1=（x+yi）-i（x-yi）=（x-y）+（y-x）i，由已知z2=z1-i1，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的概念得-1=x-yb=y-x，所以b=1，即z2的虛部為1.故答案：1.

評注：復(fù)數(shù)是實數(shù)的拓展，其實部與虛部均為實數(shù)，因此復(fù)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題解決.

變式練習(xí)1已知復(fù)數(shù)|z|=12，則|z2-z+14|的最大值是（）.

A. 2B. 1C. 34D. 12

答案：B.

解析：設(shè)z=x+yi（x，y∈R）.∵|z|=12，∴x2+y2=14，

∴|z2-z+14|=|（z-12）2|=|z-12|2=（x-12）2+y2=12-x.

∵-12≤x≤12，∴當(dāng)x=-12時，|z2-z+14|有最大值1.

二、巧用特殊等式

例2計算-23+i1+23i+（21-i）1996.

分析：本題若按復(fù)數(shù)除法和乘法法則直接計算，則顯得十分繁瑣，若能結(jié)合題目特點(diǎn)，聯(lián)想結(jié)論（1±i）2=±2i，并注意到-23+i=i（1+23i），不難找出簡捷解法.

解：原式=i（1+23i）1+23i+[（21-i）2]998=i+（2-2i）998=i+i998=i+i4×249+2=i+i2=-1+i.

評注：代數(shù)形式的復(fù)數(shù)運(yùn)算，基本思路是應(yīng)用法則，但如果能通過對表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征的分析，靈活運(yùn)用i的冪的性質(zhì)和復(fù)數(shù)運(yùn)算中的一些特殊等式，如（1±i）2=±2i，1+i1-i=i，（-12+32i）3=1等，將有效地簡化運(yùn)算，提高解題速度.

變式練習(xí)2計算（-1+3i）51+3i的結(jié)果是.

答案：-16.

解析：原式=25（-12+32i）52（12+32i）

=24（-12+32i）6（12+32i）（-12+32i）

=16×12-（-12-32i）（-12+32i）=-16.

三、巧用復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)

例3求|2i（-4+3i）（1-i）（3+i）（3-i）（1+2i）|的值為.

分析：這是復(fù)數(shù)的求模運(yùn)算，由多個復(fù)數(shù)經(jīng)過乘除運(yùn)算得到，因此可以利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，進(jìn)行求值運(yùn)算.

解：原式=|2i|·|-4+3i|·|1-i||3+i|·|3-i|·|1+2i|

=2·|-4+3i|·|1-i||3+i|2·|1+2i|=2×5×222×5=52.

評注：利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)可以簡化計算.經(jīng)常用到的有：（1）|z1·z2|=|z1|·|z2|；（2）|z1z2|=|z1||z2|；（3）z·=|z|2=||2等.

變式練習(xí)3設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z+||=2+i，那么z等于（）

A. -34+iB. 34-i

C. -34-iD. 34+i

答案：D.

解析：原關(guān)系式可化為z=2-||+i，

又|z|=||且為實數(shù)，兩邊取模得|z|=（2-|z|）2+1，

解得|z|=54，則z=2-54+i=34+i.

四、整體代換

例4已知z1，z2為復(fù)數(shù)，（3+i）z1為實數(shù)，z2=z12+i，且|z2|=52，則z2=.

分析：兩種思路解此類問題：一是設(shè)出z1、z2，然后代入解方程；二是利用整體代換的思想求解.第二種思路更簡捷.

解：因為z2=z12+i，所以z1=z2（2+i），

故（3+i）z1=z2（2+i）（3+i）=z2（5+5i）∈R，

∵|z2|=52，∴|z2·（5+5i）|=|z2|·|5+5i|=50，

∴z2（5+5i）=±50，∴z2=±505+5i=±101+i=±（5-5i）.

評注：復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算中會涉及模、共軛及分類等，求z時要注意是把z看作一個整體還是設(shè)為代數(shù)形式應(yīng)用方程思想；當(dāng)z是實數(shù)或純虛數(shù)時注意常見結(jié)論的應(yīng)用.

變式練習(xí)4設(shè)復(fù)數(shù)z和它的共軛復(fù)數(shù)滿足4z+2=33+i，則復(fù)數(shù)z的值是.

答案：32+12i.

解析：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），將4z+2=33+i化為2z+（2z+2）=33+i.

由2z+2=2（a+bi）+2（a-bi）=4a，整體代入，得2z+4a=33+i，6a+2bi=33+i.

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得a=32，b=12.故z=32+12i.

五、利用復(fù)數(shù)的幾何意義

例5已知復(fù)數(shù)|z|=2，則復(fù)數(shù)1+3i+z的模的最大值為.

分析：若令ω=1+3i+z，則z=ω-（1+3i），根據(jù)|z|=2及復(fù)數(shù)減法的幾何意義，即可得到滿足條件的復(fù)數(shù)ω對應(yīng)的W的軌跡，依據(jù)圖形即可解題.

解：由|z|=2，可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上.設(shè)ω=1+3i+z，則z=ω-（1+3i），∴|ω-（1+3i）|=2，故復(fù)數(shù)ω在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)W在以（1，3）為圓心，以2為半徑的圓上（如圖）.由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)W落在點(diǎn)A處時，復(fù)數(shù)ωA的模最大；當(dāng)點(diǎn)W落在點(diǎn)B處時，復(fù)數(shù)ωB的模最小.

所以模的最大值為4.

評注：這是復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用中比較典型的問題，該問題除利用幾何意義求解外，還可以利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|進(jìn)行求解.

變式練習(xí)5復(fù)數(shù)z滿足條件|z+2|=|z-4i|，則|z|的最小值為.

答案：455.

解析：由|z+2|=|z-4i|知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為線段AB的垂直平分線，其中A（-2，0），B（0，4），|z|即原點(diǎn)到垂直平分線上的點(diǎn)的距離.故|z|min=455.

變式練習(xí)6已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|=7+1，|z2|=7-1，且|z1-z2|=4，則|z1+z2|的值為.

答案：4.

解析：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為Z1，Z2，由于（7+1）2+（7-1）2=42，故|z1|2+|z2|2=|z1-z2|2，故以O(shè)Z1，OZ2為鄰邊的平行四邊形是矩形，|z1+z2|=|z1-z2|=4.

（作者：王佩其，太倉市明德高級中學(xué)）endprint

在高考中，對復(fù)數(shù)的考查往往以小題形式出現(xiàn).有道是“大題大做，小題小做”.對于解答小題，必須講究技巧，找準(zhǔn)方法，只有這樣，才能快速解答.那么，復(fù)數(shù)問題解題技巧去哪兒了？就讓本文與你一起去追蹤.

一、化復(fù)數(shù)問題為實數(shù)問題

例1設(shè)z2=z1-i1（其中1表示z1的共軛復(fù)數(shù)），已知z2的實部是-1，則z2的虛部為.

分析：因為復(fù)數(shù)的實部與虛部均為實數(shù)，故可依據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念，原問題可轉(zhuǎn)化為實數(shù)范圍內(nèi)的方程組問題.

解：設(shè)出復(fù)數(shù)z1，z2，利用復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的方法即可解決.設(shè)z1=x+yi，z2=-1+bi（x，y，b都是實數(shù)），則有z1-i1=（x+yi）-i（x-yi）=（x-y）+（y-x）i，由已知z2=z1-i1，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的概念得-1=x-yb=y-x，所以b=1，即z2的虛部為1.故答案：1.

評注：復(fù)數(shù)是實數(shù)的拓展，其實部與虛部均為實數(shù)，因此復(fù)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題解決.

變式練習(xí)1已知復(fù)數(shù)|z|=12，則|z2-z+14|的最大值是（）.

A. 2B. 1C. 34D. 12

答案：B.

解析：設(shè)z=x+yi（x，y∈R）.∵|z|=12，∴x2+y2=14，

∴|z2-z+14|=|（z-12）2|=|z-12|2=（x-12）2+y2=12-x.

∵-12≤x≤12，∴當(dāng)x=-12時，|z2-z+14|有最大值1.

二、巧用特殊等式

例2計算-23+i1+23i+（21-i）1996.

分析：本題若按復(fù)數(shù)除法和乘法法則直接計算，則顯得十分繁瑣，若能結(jié)合題目特點(diǎn)，聯(lián)想結(jié)論（1±i）2=±2i，并注意到-23+i=i（1+23i），不難找出簡捷解法.

解：原式=i（1+23i）1+23i+[（21-i）2]998=i+（2-2i）998=i+i998=i+i4×249+2=i+i2=-1+i.

評注：代數(shù)形式的復(fù)數(shù)運(yùn)算，基本思路是應(yīng)用法則，但如果能通過對表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征的分析，靈活運(yùn)用i的冪的性質(zhì)和復(fù)數(shù)運(yùn)算中的一些特殊等式，如（1±i）2=±2i，1+i1-i=i，（-12+32i）3=1等，將有效地簡化運(yùn)算，提高解題速度.

變式練習(xí)2計算（-1+3i）51+3i的結(jié)果是.

答案：-16.

解析：原式=25（-12+32i）52（12+32i）

=24（-12+32i）6（12+32i）（-12+32i）

=16×12-（-12-32i）（-12+32i）=-16.

三、巧用復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)

例3求|2i（-4+3i）（1-i）（3+i）（3-i）（1+2i）|的值為.

分析：這是復(fù)數(shù)的求模運(yùn)算，由多個復(fù)數(shù)經(jīng)過乘除運(yùn)算得到，因此可以利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，進(jìn)行求值運(yùn)算.

解：原式=|2i|·|-4+3i|·|1-i||3+i|·|3-i|·|1+2i|

=2·|-4+3i|·|1-i||3+i|2·|1+2i|=2×5×222×5=52.

評注：利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)可以簡化計算.經(jīng)常用到的有：（1）|z1·z2|=|z1|·|z2|；（2）|z1z2|=|z1||z2|；（3）z·=|z|2=||2等.

變式練習(xí)3設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z+||=2+i，那么z等于（）

A. -34+iB. 34-i

C. -34-iD. 34+i

答案：D.

解析：原關(guān)系式可化為z=2-||+i，

又|z|=||且為實數(shù)，兩邊取模得|z|=（2-|z|）2+1，

解得|z|=54，則z=2-54+i=34+i.

四、整體代換

例4已知z1，z2為復(fù)數(shù)，（3+i）z1為實數(shù)，z2=z12+i，且|z2|=52，則z2=.

分析：兩種思路解此類問題：一是設(shè)出z1、z2，然后代入解方程；二是利用整體代換的思想求解.第二種思路更簡捷.

解：因為z2=z12+i，所以z1=z2（2+i），

故（3+i）z1=z2（2+i）（3+i）=z2（5+5i）∈R，

∵|z2|=52，∴|z2·（5+5i）|=|z2|·|5+5i|=50，

∴z2（5+5i）=±50，∴z2=±505+5i=±101+i=±（5-5i）.

評注：復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算中會涉及模、共軛及分類等，求z時要注意是把z看作一個整體還是設(shè)為代數(shù)形式應(yīng)用方程思想；當(dāng)z是實數(shù)或純虛數(shù)時注意常見結(jié)論的應(yīng)用.

變式練習(xí)4設(shè)復(fù)數(shù)z和它的共軛復(fù)數(shù)滿足4z+2=33+i，則復(fù)數(shù)z的值是.

答案：32+12i.

解析：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），將4z+2=33+i化為2z+（2z+2）=33+i.

由2z+2=2（a+bi）+2（a-bi）=4a，整體代入，得2z+4a=33+i，6a+2bi=33+i.

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得a=32，b=12.故z=32+12i.

五、利用復(fù)數(shù)的幾何意義

例5已知復(fù)數(shù)|z|=2，則復(fù)數(shù)1+3i+z的模的最大值為.

分析：若令ω=1+3i+z，則z=ω-（1+3i），根據(jù)|z|=2及復(fù)數(shù)減法的幾何意義，即可得到滿足條件的復(fù)數(shù)ω對應(yīng)的W的軌跡，依據(jù)圖形即可解題.

解：由|z|=2，可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上.設(shè)ω=1+3i+z，則z=ω-（1+3i），∴|ω-（1+3i）|=2，故復(fù)數(shù)ω在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)W在以（1，3）為圓心，以2為半徑的圓上（如圖）.由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)W落在點(diǎn)A處時，復(fù)數(shù)ωA的模最大；當(dāng)點(diǎn)W落在點(diǎn)B處時，復(fù)數(shù)ωB的模最小.

所以模的最大值為4.

評注：這是復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用中比較典型的問題，該問題除利用幾何意義求解外，還可以利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|進(jìn)行求解.

變式練習(xí)5復(fù)數(shù)z滿足條件|z+2|=|z-4i|，則|z|的最小值為.

答案：455.

解析：由|z+2|=|z-4i|知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為線段AB的垂直平分線，其中A（-2，0），B（0，4），|z|即原點(diǎn)到垂直平分線上的點(diǎn)的距離.故|z|min=455.

變式練習(xí)6已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|=7+1，|z2|=7-1，且|z1-z2|=4，則|z1+z2|的值為.

答案：4.

解析：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為Z1，Z2，由于（7+1）2+（7-1）2=42，故|z1|2+|z2|2=|z1-z2|2，故以O(shè)Z1，OZ2為鄰邊的平行四邊形是矩形，|z1+z2|=|z1-z2|=4.

（作者：王佩其，太倉市明德高級中學(xué)）endprint