□ 馮浩原 □ 剡昌鋒 □ 吳旭東 □ 李志新

1.蘭州理工大學 機電工程學院 蘭州 730050

2.中核蘭鈾公司 蘭州 730000

1 概述

軸承是裝備制造業(yè)的關鍵基礎件，圓錐滾子軸承在滾動軸承中使用數(shù)量僅次于深溝球軸承［1］。因為直母線的滾子軸承在受載后滾動體兩端不可避免地存在邊界應力集中現(xiàn)象，即所謂的“邊緣效應”［2］，所以需要引入凸度設計來克服“邊緣效應”［3］。

圓錐滾子軸承33022是常用的重型卡車軸承，它的壽命直接影響著整車的使用壽命。由于該軸承所受載荷較大，工況條件較差，軸承工作表面的邊緣應力集中更加明顯，所以通過優(yōu)化滾子凸度，以此來減小應力集中現(xiàn)象，從而提高軸承使用壽命。

軸承凸度設計工作包括凸型的選擇和凸度量的設計兩個方面。Lundberg G［4］于1939年提出了著名的Lundberg凸型公式，該種凸型的加工難度和成本較高。Schauder B建立了圓柱滾子最佳凸型的數(shù)值計算方法，該方法將表面接觸應力分解為作用于許多節(jié)點的相應集中力，并利用Boussinesq J半空間體力變形關系，計算滾子與內外圈接觸區(qū)域的應力分布和表面變形情況。Hartnett M J提出了將結構分析中的影響系數(shù)法與Boussinesq J半空間體力變形關系結合起來的方法，可以求解一般表面輪廓的接觸問題。本文采用Hiroki Fujiwara、Tatsuo Kawase提出的對數(shù)曲線凸型公式，利用有限元方法計算不同凸度量圓錐滾子的接觸應力，以最小接觸應力對應的凸度量為最優(yōu)值，得到33022圓錐滾子的最佳凸度。

2 凸度的設計方法

目前在行業(yè)上普遍認同的凸型曲線有3種：全凸型、部分凸型（即圓柱修正線型）和對數(shù)曲線凸型。對數(shù)曲線凸型設計在減小接觸應力帶來的邊緣效應上有顯著效果，早期的對數(shù)曲線凸型公式是由Lundberg提出的，以凸度量 T（x）來衡量［5］：

式（1）存在著兩個端點不連續(xù)的缺點，因此，Johns和Gohar又對Lundberg的對數(shù)曲線凸型進行了修正［6］：

式中：E′為等效楊氏模量；Q為載荷；a為1/2有效接觸長度；b為1/2接觸寬度。

在 Johns-Gohar的基礎上，Hiroki Fujiwara、Tatsuo Kawase將公式進行了優(yōu)化，引入了3個參數(shù)，如式（3）所示［7］：

式中：k1為綜合載荷；k2為凸度長度與a的比值；Zm為曲線端點處對應的凸度量。

式（3）避免了由于滾子不對中引起的邊緣應力，同時可以將內滾道與滾子接觸區(qū)域設計成直線，方便設計計算和加工。

3 滾道與滾子的接觸模型建立

3.1 二維模型建立

根據(jù)33022圓錐滾子軸承具體尺寸，采用內外滾道為直線和滾子為對數(shù)曲線凸型的凸度設計方案。通過有限元軟件對滾子進行樣條曲線擬合，對內外滾道進行直線擬合，由線生成面，得到幾何模型。因為內外滾道都是固定狀態(tài)，可將內外滾道與滾子接觸區(qū)域視為無限半平面，滾子受力最大位置位于中心線處，為了節(jié)約計算時間，采用了二維模型進行計算，能夠得到較為近似的結果。

3.2 有限元網(wǎng)格的劃分及材料屬性

由于不同的分析對象和分析類型對應不同的單元類型，所以選擇合適的單元及網(wǎng)格尺寸來快速準確地計算出求解結果。在接觸區(qū)域進行網(wǎng)格細化，內外滾道與滾子接觸的接觸應力采用增廣拉格朗日方法進行計算，得到有限元網(wǎng)格模型，如圖1所示。

33022軸承的內外圈和滾子都采用GCrl5材料，楊氏彈性模量E=206 GPa，泊松比γ=0.25。

▲圖1 滾子和滾道有限元模型圖

3.3 載荷施加

3.3.1 確定載荷

軸承受到的最大徑向載荷為：

式中：Fr=0.2Cr，Cr為額定動載荷300 kN；Z為滾子數(shù)，Z=19；α 為偏心角，α=9.9°。

將數(shù)值代入式（4），求得Qmax=12.9 kN。

內滾道外圈受到的壓強p為：

式中：l為內滾道長度，l=34 mm；b為內滾道有效接觸寬度，b=2 mm。

將數(shù)值代入式（5），求得p=189 MPa

3.3.2 定義邊界條件

對外滾道外圈分別在X、Y方向施加零約束，外滾道側邊、內滾道側邊、滾子側邊在X方向施加零約束，對內滾道內圈施加一個向外的壓強p=189 MPa。

3.4 接觸應力求解及優(yōu)化

采用式（3）進行凸度設計，3 個參數(shù) k1、k2、Zm分別取值為 k1=1、1.5、2、2.5、3，k2=0.1、0.2、 …、1，Zm=0.000、0.002、…、0.020mm。通過研究發(fā)現(xiàn)，只有當k2=0.5時，曲線是中心為0、兩邊對稱的對數(shù)曲線，在其余取值下，曲線均不是兩邊對稱的對數(shù)曲線，即確定參數(shù)k2=0.5，再確定Zm。接下來研究k1變化對接觸應力的影響趨勢，再根據(jù)k1、k2，研究Zm變化對接觸應力的影響趨勢。

求解后，提取內外滾道與滾子接觸位置的接觸應力。由于內滾道與滾子接觸應力遠大于外滾道與滾子的接觸應力，故應著重分析內滾道接觸區(qū)域接觸應力的變化情況。

確定k1最優(yōu)解時，在確定k2和Zm的情況下，先得到k1最優(yōu)解范圍，從而進一步優(yōu)化，得出k1最優(yōu)解的具體值。 取 k1=1、1.5、2、2.5、3，得到內滾道與滾子接觸區(qū)域接觸應力變化趨勢，如圖2所示。當k1=1時，最大接觸應力pmax=1 943.8 MPa；k1=1.5時，最大接觸應力pmax=2 387.1 MPa；k1=2時，最大接觸應力pmax=2 425.4 MPa；k1=2.5 時， 最大接觸應力 pmax=2 719.3 MPa；k1=3時，最大接觸應力pmax=2 930 MPa。通過圖2可以得出，當k1=1～1.5時，最大接觸應力較小。通過二分法，取k1=1.3進行分析，接觸應力變化趨勢如圖3所示。通過圖3得出：當k1=1～1.3時，最大接觸應力較?。籯1=1.3時，最大接觸應力pmax=2 268 MPa。再取k1=1.1、1.2進行分析，接觸應力變化趨勢如圖4所示,得出：當k1=1.1時，最大接觸應力pmax=1 841.4 MPa；k1=1.2時，最大接觸應力pmax=1 752.9 MPa，該接觸應力最小。

▲圖2 k1=1、1.5、2、2.5、3 的接觸應力值曲線（由上到下依次為 3、2.5、2、1.5、1）

▲圖3 k1=1、1.3、1.5的接觸應力值曲線（由上到下依次為 1.5、1.3、1）

▲圖4 k1=1、1.1、1.2、1.3 的接觸應力值曲線（由上到下依次為 1.3、1、1.1、1.2）

▲圖5 Zm=0.000～0.006 mm的接觸應力值曲線（由上到下依次為 0.000、0.002、0.004、0.006）

▲圖6 Zm=0.008～0.014 mm的接觸應力值曲線（由上到下依次為 0.014、0.012、0.010、0.008）

▲圖7 Zm=0.016～0.020 mm的接觸應力值曲線（由上到下依次為 0.020、0.018、0.016）

▲圖8 Zm=0.006～0.008 mm的接觸應力值曲線（由上到下依次為 0.008、0.006、0.007）

▲圖9 不同k1下最大接觸應力變化趨勢

▲圖10 不同Zm下最大接觸應力變化趨勢

確定k1后，改變Zm取值，間隔為0.002 mm，分別得出Zm=0.000、0.002、…0.020 mm時內滾道與滾子接觸區(qū)域接觸應力變化趨勢，如圖5、6、7所示。當Zm=0.000 mm時，最大接觸應力 pmax=2 661.9 MPa；Zm=0.002 mm時，最大接觸應力 pmax=2 247.5 MPa；Zm=0.004 mm時，最大接觸應力 pmax=1 986.4 MPa；Zm=0.006 mm時，最大接觸應力 pmax=1 752.9 MPa；Zm=0.008 mm時，最大接觸應力pmax=1 920.7 MPa；Zm=0.010 mm時，最大接觸應力 pmax=2 043.8 MPa，Zm=0.012 mm時，最大接觸應力 pmax=2 256.7 MPa；Zm=0.014 mm時，最大接觸應力 pmax=2 379.6 MPa；Zm=0.016 mm時，最大接觸應力 pmax=2 521.3 MPa；Zm=0.018 mm時，最大接觸應力 pmax=2 694.3 MPa；Zm=0.020 mm時，最大接觸應力pmax=2 947.7 MPa，綜合得出：當Zm=0.006～0.008 mm時，最大接觸應力較小，取Zm=0.007 mm進一步分析，得到其接觸應力變化趨勢，如圖8所示。觀察得出：當Zm=0.007 mm時，最大接觸應力pmax=1 507.3 MPa。通過圖2、3、4可以得到k1變化對最大接觸應力影響變化趨勢，如圖9所示。通過圖5、6、7、8可以得到Zm變化對最大接觸應力影響變化趨勢，如圖10所示。對于圓錐滾子，無凸度量或凸度量太大，均會導致明顯的應力集中現(xiàn)象，當Zm=0.007 mm時，最大接觸應力最小。即當k1=1.2、k2=0.5、Zm=0.007 mm時，內滾道受到的最大接觸應力最小，為最佳凸度設計。

4 結論

本文以33022軸承滾子為實例，在額定載荷300 kN下，利用Hiroki Fujiwara、Tatsuo Kawase提出的對數(shù)曲線凸型進行凸度設計，引入 3個參數(shù) k1、k2、Zm，對不同參數(shù)下的滾子凸度母線坐標進行計算，由坐標生成二維模型。通過有限元法計算不同凸度的圓錐滾子軸承對應的接觸應力，分析結果表明，當k1=1.2、k2=0.5、Zm=0.007 mm時，最大接觸應力最小，以最大接觸應力值最小的凸度為優(yōu)化原則，得到了一種基于有限元方法的圓錐滾子凸度量優(yōu)化設計方法，該方法可快速、直觀地對軸承凸度進行優(yōu)化。

［1］ 劉恩時.中國軸承工業(yè)轉變發(fā)展方式的思考［A］.2010上海國際軸承峰會演講文集（一）［C］.上海：中國軸承工業(yè)協(xié)會，2010.

［2］ 施寶麗,趙淑麗,劉文波.邊緣應力對軸承壽命的影響及凸度工藝［J］.汽車工藝與材料,2004（8）:20-23.

［3］ 吳飛科.圓錐滾子軸承接觸應力分析及凸度設計 ［D］.洛陽：河南科技大學，2007：3-4.

［4］ Lundberg G.Elastic Contact between Semi-infinite Bodies［J］.Fur Schung Auf Dem Gebieto Des Engenienswesens，1961，10 （5）：165-174.

［5］ Tensner H.The Logarithmic Roller Profile-The Key to Superior Performance of Cylindrical and Taper Roller Bearing［J］.Ball Bearing Journal，1987，230：2-10.

［6］ P M Johns， R Gohar.Roller Bearings under Radial and Ecce-ntric Loads ［J］.Tribology International，1981，14（3）：131-136.

［7］ Hiroki Fujiwara，Tatsuo Kawase.Logarithmic Profiles of Rollers in Roller Bearings and Optimization of the Profiles ［J］.NTN Technical Review，2007（75）：140-148.