鄭煒珍

一、問題的提出

數(shù)學(xué)是一切科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，一切的科學(xué)都是通過數(shù)學(xué)計(jì)算來發(fā)現(xiàn)并解決問題的。數(shù)學(xué)的發(fā)展與思維有著密切關(guān)系。在學(xué)校教學(xué)中，大多數(shù)有豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師都發(fā)現(xiàn)一個(gè)普遍現(xiàn)象：當(dāng)數(shù)學(xué)題目或題型發(fā)生變化，學(xué)生便無法應(yīng)對，失分率至少提高20%。為什么會(huì)這樣呢？其實(shí)“知識加工”和 “問題解決”的思考過程往往是不多見的，而且教師和學(xué)生都更多關(guān)注答案，忽視答案的生成過程。然而，學(xué)生思維的發(fā)展并不來自于 “答案的累積”，而來自于 “生成答案的思維方法和過程”。教師應(yīng)該思考怎么才能使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步獲得 “深入思考的意識，不斷追問的習(xí)慣，奇思妙想的膽略”，使他們能夠在今后的學(xué)習(xí)中有著自己個(gè)性的見解，能自由 “放牧”獨(dú)立的思想，獲得敏銳的生活視野，在解決生活中的數(shù)學(xué)問題上游刃有余。要解決這些問題，筆者認(rèn)為，必須變 “強(qiáng)調(diào)答案”為“強(qiáng)調(diào)解答的過程”，變 “依靠感性經(jīng)驗(yàn)答題”為 “運(yùn)用理性思考解題”，而這就要求我們必須把 “看不見的”思維的過程和方法清晰地呈現(xiàn)出來，以便學(xué)生更好地理解、記憶和運(yùn)用。一圖勝千字，圖是最直觀的語言，易讀、易懂、易記而且記得牢。因此，實(shí)現(xiàn) “思維可視化”的最有效方式便是用 “圖”把 “思維”呈現(xiàn)出來。

本文所提的可視化思維工具是指運(yùn)用一系列圖示技術(shù)把本來不可視的思維 （思考方法和思考路徑）呈現(xiàn)出來，使其清晰可見的過程。被可視化的 “思維”更有利于理解和記憶，因此可以有效提高信息加工及信息傳遞的效能，主要使用韋恩圖、X-Y-W線圖、魚骨圖、思維導(dǎo)圖、金字塔圖、蝴蝶圖、包容關(guān)系圖、PMI表格等?？梢暬季S圖表將知識以圖解的方法表示出來，直接作用于學(xué)生的感官，對學(xué)習(xí)者提高理解能力和記憶能力，發(fā)展邏輯思維和創(chuàng)造性思維有著巨大作用，它在教育領(lǐng)域的應(yīng)用是學(xué)習(xí)方式的一場新的革命。本文以 《密鋪》一課為例，通過可視化思維工具實(shí)現(xiàn)思想和問題的可視化、對想法和信息進(jìn)行整理，利用思維可視化工具釋放小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的自由。

二、六年級 《密鋪》數(shù)學(xué)實(shí)踐課教學(xué)實(shí)例

（一）養(yǎng)成運(yùn)用思維可視化工具進(jìn)行知識整理、構(gòu)建知識體系的學(xué)習(xí)習(xí)慣

六年級學(xué)生抽象思維已初步形成，可以讓他們掌握常用思維可視化工具的手繪方法并形成技能。如：韋恩圖、X-Y-W線圖、魚骨圖、思維導(dǎo)圖、金字塔圖、蝴蝶圖、包容關(guān)系圖、PMI表格等。大概用了3節(jié)課，我就把常用思維可視化工具的手繪方法教完。那時(shí)剛好是六年級第二學(xué)期，新課內(nèi)容只用7周就講授完，剩下的時(shí)間都是復(fù)習(xí)課，因此我會(huì)經(jīng)常布置學(xué)生用可視化思維工具進(jìn)行知識整理、構(gòu)建知識體系。學(xué)生在課間也分享交流這些可視化思維工具，很期待周五的作業(yè)。

有一位名字叫方斯蕾的學(xué)生對可視化思維工具已到非常著迷的程度。有一次我布置學(xué)生回家選一種可視化思維工具整理某一知識內(nèi)容，她卻意猶未盡地用各種可視化思維工具整理了很多不同方面的數(shù)學(xué)知識。又過2周她告訴我她自己在家運(yùn)用可視化思維工具整理了自己這段時(shí)間的數(shù)學(xué)錯(cuò)題?？梢姡瑢W(xué)生們在不知不覺中養(yǎng)成了運(yùn)用思維可視化工具進(jìn)行知識整理、構(gòu)建知識體系、分析錯(cuò)題的學(xué)習(xí)習(xí)慣。圖1、圖2是學(xué)生的兩張作品。

圖1

圖2

（二）創(chuàng)造性地使用教材，把缺乏思維挑戰(zhàn)性的教材變?yōu)橛欣谒季S發(fā)展的資源

我發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)課堂缺乏起碼的吸引力，主要原因是學(xué)習(xí)內(nèi)容對學(xué)生沒有一定難度，缺乏思維挑戰(zhàn)性。這樣的課堂教學(xué)很容易導(dǎo)致學(xué)生處于 “淺思考”甚至 “不思考”狀態(tài)，妨礙學(xué)生思維能力的發(fā)展。學(xué)生思維能力發(fā)展不起來，后期的學(xué)習(xí)必然會(huì)越來越吃力，這樣便導(dǎo)致一種不斷加深的惡性循環(huán)。

下面談?wù)勎覟槭裁催x擇用六年級的學(xué)生上五年級上冊教材中的 《密鋪》。

五年級上冊的教學(xué)目標(biāo)是知道哪些圖形可以密鋪就行了，請看這頁電子課本 （見圖3）。而到了初中二級，教學(xué)目標(biāo)則要求是要掌握圖形能否密鋪的理由。對比兩者的目標(biāo)，掌握平面圖形能否密鋪的理由更需要學(xué)生具備一定的思維能力。六年級的學(xué)生本應(yīng)做好中小銜接的準(zhǔn)備，因此我大膽地進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的重組；讓學(xué)生不僅知道哪些圖形可以密鋪，還讓學(xué)生掌握圖形能否密鋪的理由，讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中建模：圖形拼接點(diǎn)的幾個(gè)角能圍成360度的就可以密鋪。

圖3

（三）開展基于問題的協(xié)作建模學(xué)習(xí)活動(dòng)，釋放學(xué)生的思維自由，培養(yǎng)學(xué)生多種數(shù)學(xué)思維能力

1.問題情境的創(chuàng)設(shè)要有開放性

問題情境的創(chuàng)設(shè)要求教師在上課時(shí)要善于把備課時(shí)的陳述句轉(zhuǎn)變成疑問句。如這節(jié)課的問題情境不應(yīng)該是教師提供生活中密鋪的圖片，然后告訴學(xué)生這就是密鋪。這樣的課就沒提供學(xué)生思考的空間，學(xué)生是被老師牽著鼻子走的。應(yīng)該怎樣創(chuàng)設(shè)問題情境？我們可以先出示生活中一些能密鋪的圖形，一些不能密鋪的圖形 （如圖4），讓學(xué)生自己產(chǎn)生疑問：為什么有的圖形能密鋪，有的圖形卻不能密鋪呢？帶著這樣的疑問和好奇心，就會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，開啟學(xué)生個(gè)人思維。

2.在開放的獨(dú)立學(xué)習(xí)任務(wù)中培養(yǎng)學(xué)生個(gè)體的思維能力

圖4

我在很多公開課上發(fā)現(xiàn)存在一些問題：在小組交流時(shí)學(xué)生并不是全都在積極思考；有時(shí)經(jīng)過討論，只有個(gè)別學(xué)生愿意匯報(bào)；在交流時(shí)有個(gè)別學(xué)生在忙別的事情；課堂上教師要求討論時(shí)，學(xué)生都在講，但沒有聽眾；討論看似熱鬧而沒有效果。沒有獨(dú)立思考的合作交流，只是形式上的合作。沒有獨(dú)立思考的交流，只是信息的單項(xiàng)傳遞，不會(huì)產(chǎn)生共鳴和驚奇，合作交流必然流于形式。鑒于這種情況，我在課堂教學(xué)中采取的方法是，讓每個(gè)學(xué)生先完成獨(dú)立任務(wù)單再小組完成協(xié)作學(xué)習(xí)任務(wù)單，實(shí)現(xiàn)人人思考，個(gè)個(gè)動(dòng)手，發(fā)展個(gè)人思維能力。

為了更大程度地釋放學(xué)生思維的自由，這節(jié)課的小組協(xié)作任務(wù)定為每組研究任務(wù)不同，組內(nèi)再進(jìn)行分工，這樣的研究也會(huì)更有思維價(jià)值。小組的任務(wù)分別有研究三角形、梯形、長方形、正方形、平行四邊形等。在一個(gè)小組內(nèi)，再細(xì)分研究任務(wù)，如研究三角形的小組，不同的同學(xué)分別研究等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形等。有的小組更將學(xué)習(xí)內(nèi)容深化，如有一個(gè)組每個(gè)組員分別研究圓形、梯形、等邊三角形、正五邊形、正六邊形等；有個(gè)小組研究不規(guī)則的圖形能否密鋪。不同的任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生每個(gè)個(gè)體的思維在數(shù)學(xué)的知識海洋自由翱翔，自主學(xué)習(xí)，真正落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生每個(gè)個(gè)體的思維能力。

我設(shè)計(jì)的本節(jié)課的獨(dú)立學(xué)習(xí)任務(wù)單如下：

根據(jù)小組課前分工，請你把圖形用膠水鋪在彩色折紙上，看能否密鋪，再完成以下內(nèi)容：

?

3.利用可視化思維工具開展基于問題的小組協(xié)作建模學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生保持高密度和高強(qiáng)度的思維狀態(tài)

研究表明：人類的思維特征是呈放射性的，進(jìn)入大腦的每一條信息、每一種感覺、記憶或思想 （包括每一個(gè)詞匯、數(shù)字、代碼、食物、香味、線條、色彩、圖像、節(jié)拍、音符和紋路），都可作為一個(gè)思維分支表現(xiàn)出來，它呈現(xiàn)出來的就是放射性立體結(jié)構(gòu) （見圖5）。每一張思維導(dǎo)圖總是從一個(gè)中心主題開始，形成一種從中心向四周發(fā)射的無窮無盡的分支鏈的形式。導(dǎo)圖利用本身所具備的邏輯歸納的特點(diǎn)，可以幫助我們從材料中找出重點(diǎn)，選擇并提煉關(guān)鍵詞，進(jìn)行全面的邏輯梳理與歸納。

圖5

在這節(jié)課中，我讓每個(gè)小組開展小組協(xié)作學(xué)習(xí)，把全組學(xué)生的獨(dú)立學(xué)習(xí)任務(wù)單排成一列，討論找出能否密鋪的原因，討論全組準(zhǔn)備利用的思維可視化工具，每組根據(jù)能否密鋪畫出一個(gè)思維圖，在思維圖中分析出每種圖形能否單獨(dú)密鋪的理由，并把剛才每人貼在彩色折紙上的圖貼在思維圖相應(yīng)的位置中，實(shí)現(xiàn)思維可視化 （例見圖6、圖7）。在本節(jié)課中基于任務(wù)驅(qū)動(dòng)獨(dú)立學(xué)習(xí)后的小組成員有共同的目標(biāo)或愿景、表現(xiàn)出高度團(tuán)隊(duì)的凝聚力、實(shí)行權(quán)力共享和責(zé)任分擔(dān)、成員彼此鼓勵(lì)支持、成員相互關(guān)懷照顧、充分重視每位成員的閃光點(diǎn)和光明面、最大限度地挖掘或發(fā)揮每位成員的潛力、他們利用思維圖一起思考，進(jìn)行頭腦風(fēng)暴，從 “個(gè)別優(yōu)秀”到 “人人優(yōu)秀”。

圖6

圖7

小組協(xié)作學(xué)習(xí)活動(dòng)后開展組間觀摩 （如圖8），再相互比較。各組組長講解答問，其他組員到各組評價(jià)反思可視，最后歸納互補(bǔ)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。整個(gè)活動(dòng)培養(yǎng)了學(xué)生語言表述能力、觀察能力、想象能力、概括能力、比較能力、構(gòu)造能力、綜合能力、轉(zhuǎn)化能力、模型化能力等思維能力。

這樣，通過特定的圖示來顯現(xiàn)特定的組織類型和結(jié)構(gòu)關(guān)系，為教學(xué)者和學(xué)習(xí)者提供了一種使用信息和認(rèn)知加工的思維支持框架。

圖8

（四）在填寫PMI反思表格的過程中促學(xué)生高級思維的形成

數(shù)學(xué)反思能力的發(fā)展與數(shù)學(xué)思維水平有關(guān)，抽象邏輯思維本身就是一種反思的思維。數(shù)學(xué)反思能力的發(fā)展，有助于提高認(rèn)知效率，縮短認(rèn)知時(shí)間。在這節(jié)課準(zhǔn)備下課前我讓學(xué)生在填寫PMI反思表格的過程中提升高級思維水平，促進(jìn)學(xué)生思維的可持續(xù)發(fā)展。PMI反思表格見圖9。

圖9

在學(xué)習(xí)收獲那欄，學(xué)生們分別寫到： “我學(xué)到用導(dǎo)圖分析問題”； “我學(xué)會(huì)了什么是密鋪和能否密鋪的理由”；“我收獲了用魚骨圖分析圖形能否密鋪的理由”； “這次我學(xué)會(huì)如果圖形密鋪，圍成拼接點(diǎn)幾個(gè)角的度數(shù)之和必須360度”； “用思維圖分析問題更直接清晰”； “我體驗(yàn)了同學(xué)間合作完成一件事的配合”； “我收獲到團(tuán)隊(duì)精神的重要性”； “我收獲了用思維導(dǎo)圖可以解決新學(xué)的知識，探究感興趣的問題”； “我知道蜂窩是一種密鋪圖形”。

在不足之處那一欄，學(xué)生分別寫到： “小組配合得不太好，做得太慢”； “希望課程時(shí)間能夠延長”； “組長未能有效分工，導(dǎo)致思維導(dǎo)圖未完成，真的很遺憾”； “同學(xué)間合作的默契不夠”； “要提升用思維導(dǎo)圖分析問題的能力”； “我沒有把研究結(jié)論寫得更完美，拼圖形不太美觀”；“自己所在組的思維導(dǎo)圖畫得有點(diǎn)簡單了，不如別組的美觀、豐富”。

在還感興趣的內(nèi)容那一欄，學(xué)生分別寫到： “1/4圓形能否密鋪？”； “密鋪圖形除了出現(xiàn)在地板的應(yīng)用，還應(yīng)用在什么方面？”； “我還想再多了解一些有關(guān)密鋪的知識，能夠了解更多因?yàn)槊茕伓M成的美麗圖案”； “希望能運(yùn)用更多的可視化思維工具分析其他數(shù)學(xué)問題”； “還有哪些這節(jié)課沒提到的圖形能密鋪？”； “希望將來自己當(dāng)一名設(shè)計(jì)師，能利用密鋪的知識設(shè)計(jì)美麗的建筑圖案”； “密鋪和圖形的邊有什么關(guān)系嗎？” “我想了解更多的密鋪圖形作品”……

看到學(xué)生這些反思，我真的覺得他們都在認(rèn)真思考。通過反思，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了在協(xié)作知識建構(gòu)過程中的收獲、不足之處、還感興趣的問題。

總之，開展本實(shí)驗(yàn)一年，我認(rèn)為思維可視化工具以直觀形象的方式表達(dá)知識結(jié)構(gòu)，有利于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行意義建構(gòu)，有助于在新授課和活動(dòng)課中建模，在復(fù)習(xí)課中建構(gòu)知識體系；作為教學(xué)評價(jià)的工具能有效地評價(jià)學(xué)生創(chuàng)造性思維水平；能有效呈現(xiàn)思考過程及知識的關(guān)聯(lián)，有助于培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的高級思維技能和知識建構(gòu)能力。

①林建才，董艷，郭巧云.思維導(dǎo)圖在新加坡小學(xué)華文教學(xué)中的實(shí)驗(yàn)研究 〔J〕.中國電化教育，2007（10）.

②唐軍.技術(shù)支持的思維工具在教學(xué)中應(yīng)用的實(shí)踐研究 〔D〕.華東師范大學(xué)，2008.

③趙國慶.概念圖、思維導(dǎo)圖教學(xué)應(yīng)用若干重要問題的探討〔J〕 .電化教育研究， 2012 （05） .