鄭漫慶，王高潮，徐雪峰，喻淼真

（南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌330063）

國際航空結(jié)構(gòu)材料的設(shè)計概念正由單純靜強度設(shè)計向現(xiàn)代的損傷容限設(shè)計準則轉(zhuǎn)變［1］，要求鈦合金在具有一定強度水平條件下，同時具有高的斷裂韌性和低的裂紋擴展速率［2，3］，這對鈦合金提出了更高的要求，從而影響了鈦合金的熱加工工藝方向［4，5］。作為一種新型的損傷容限型鈦合金，TC4－DT合金因其優(yōu)異的綜合力學性能主要應(yīng)用于飛機承力構(gòu)件上。研究TC4－DT合金的超塑性變形過程中的動態(tài)再結(jié)晶行為以及本構(gòu)關(guān)系，可以準確描述TC4－DT合金的流變行為，為該合金超塑成形工藝過程設(shè)計和數(shù)值模擬分析提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

本工作采用恒應(yīng)變速率拉伸方法對TC4－DT合金的動態(tài)再結(jié)晶進行研究，這是因為金屬材料熱變形時所發(fā)生的組織演變決定其成形后的性能，其中，一種重要的組織演變機制是動態(tài)再結(jié)晶。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，可通過有限元模擬技術(shù)模擬材料在熱變形過程中的微觀組織演變，以達到預(yù)測與控制材料組織的目的［6］。采用有限元軟件模擬材料熱變形組織演變的必要條件之一是建立動態(tài)再結(jié)晶動力學模型，從而為科學地制定TC4－DT合金熱加工工藝提供理論依據(jù)。材料本構(gòu)關(guān)系不僅可以通過經(jīng)典數(shù)學模型來建立［7，8］，也可以通過回歸軟件來直接建立，如著名的Origin，SPSS，Matlab及國產(chǎn)的1stopt軟件，但無論是通過經(jīng)典數(shù)學模型還是直接利用回歸軟件建立本構(gòu)關(guān)系，都存在精度問題，而要對變形過程做到精確控制，就必須要求所建立的本構(gòu)模型具有足夠的精度，而精度問題在構(gòu)建本構(gòu)方程時不是一次就能保證的，往往需要通過若干次的修正來保證，因此本工作在建立本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上對其進行了修正。

1 實驗材料與方法

實驗用材料為TC4－DT鈦合金，對其進行能譜測試，精確測定其成分（原子分數(shù)）為：Ti 90.09%，Al 5.56%，V 4.34%。合金原始晶粒尺寸約為15μm，組織為初生α相和轉(zhuǎn)變β相且分布較為均勻［9，10］。

本實驗使用CMT4104電子萬能拉伸試驗機進行超塑性拉伸實驗。將TC4－DT合金棒材加工成如圖1所示的拉伸試樣，變形區(qū)域應(yīng)無裂紋、劃痕等可能影響實驗結(jié)果的缺陷。

圖1 TC4－DT合金超塑性拉伸試樣尺寸Fig.1 The superplastic tensile sample dimension of TC4－DT alloy

恒應(yīng)變速率超塑性拉伸實驗：在870℃下，應(yīng)變速率為3.3×10－4s－1。

應(yīng)變速率循環(huán)超塑性拉伸實驗：在850～890℃下，應(yīng)變速率循環(huán)范圍為3.3×10－5～3.3×10－3s－1。

2 動態(tài)再結(jié)晶動力學模型

恒應(yīng)變速率法的應(yīng)力－應(yīng)變曲線如圖2所示，表現(xiàn)為三個階段：初始階段為加工硬化階段；當應(yīng)變超過臨界應(yīng)變時，材料開始出現(xiàn)動態(tài)再結(jié)晶，硬化率下降；當動態(tài)再結(jié)晶造成的軟化與應(yīng)變硬化達到動態(tài)平衡時，進入穩(wěn)定再結(jié)晶階段，流變應(yīng)力趨于恒定［11，12］。

圖2 恒應(yīng)變速率法的應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.2 Stress－strain curve of the constant strain rate method

本工作采用經(jīng)典的Avrami方程來描述TC4－DT合金的動態(tài)再結(jié)晶動力學模型［13］，動態(tài)再結(jié)晶的體積分數(shù)Xd與應(yīng)變ε之間的關(guān)系可以表示為：

式中：εc為發(fā)生再結(jié)晶的臨界應(yīng)變；εp為發(fā)生再結(jié)晶的峰值應(yīng)變；βd，kd均為與材料有關(guān)的系數(shù)。

根據(jù)應(yīng)力－應(yīng)變曲線來確定Xd：

式中：σde為動態(tài)回復(fù)過程中的瞬態(tài)應(yīng)力；σdes為動態(tài)回復(fù)過程中的穩(wěn)態(tài)應(yīng)力；σdx為動態(tài)再結(jié)晶過程中的瞬態(tài)應(yīng)力；σdxs為動態(tài)再結(jié)晶過程中的穩(wěn)態(tài)應(yīng)力。

采用峰值應(yīng)力近似地代替σde和σdes，則式（3）可表示為：

由式（1）推導(dǎo)可得：

通過繪制ln［－ln（1－Xd）］與ln［（ε－εc）／εp］的曲線，并利用Origin軟件進行擬合，便可求得kd與lnβd的值，如圖3所示。

圖3 ln［－ln（1 －Xd ）］與ln［（ε－εc ）／εp］的關(guān)系曲線Fig.3 The curve of ln［－ln（1 －Xd）］and ln［（ε－εc）／εp］

由圖3擬合出的公式為：Y＝A＋BX，其中：A＝－2.60208，B＝1.42114，該公式的精度R＝0.98137。計算 得：kd＝1.42114，βd＝exp（－2.60208）＝0.07412。

所以該動態(tài)再結(jié)晶動力學方程為：

3 本構(gòu)模型的建立與修正

3.1 Arrhenius型方程的建立與檢驗

反映材料動態(tài)特性的本構(gòu)關(guān)系可能因為材料的不同而存在較大的差異，即使是同一種材料，也可能因為不同的目的不同的需求而建立不同形式的本構(gòu)關(guān)系。常用Arrhenius型方程一般有三種形式：

根據(jù)Arrhenius型方程中流動應(yīng)力的表現(xiàn)形式，式（7）～（9）分別稱為指數(shù)方程、冪函數(shù)方程與雙曲正弦方程。其中：Q為變形激活能（J／mol）；R為氣體常數(shù)（J／（mol·K））；T為絕對溫度（K）；A1，A2，A3和α為常數(shù)；β，n1，n為與應(yīng)變速率敏感性因子有關(guān)的參數(shù)。

由式（7）～（9）兩邊取自然對數(shù)，然后整理可得統(tǒng)一形式：

式中：f（σ）可分別表示σ，ln（σ）和ln［sinh（ασ）］。通過對實驗數(shù)據(jù)的計算［14，15］可最后求得不同溫度下的β與n1及計算所得的α值如表1所示。

表1 不同溫度下的β，n1與α值Table1 The values ofβ，n1andαat different temperatures

由表1數(shù)據(jù)可得α的平均值為0.019570MPa－1。

應(yīng)用雙曲正弦型Arrhenius方程對TC4－DT合金進行適用性分析時，均采用α的平均值進行計算。由Arrhenius雙曲正弦型方程可推導(dǎo)出變形激活能的表達式為：

通過計算可求得各溫度下的n，k值及l(fā)nA值如表2所示。由表2計算激活能Q＝Rnk＝171.9kJ／mol。

由式（9）可得：

表2 各溫度下的n，k值及計算所得的lnA值Table2 The values of n，kand lnAat different temperatures

代入表2相關(guān)的值可得TC4－DT合金在兩相區(qū)超塑性拉伸的本構(gòu)方程為：

通過計算，在用于構(gòu)建本構(gòu)方程的實驗數(shù)據(jù)點中，誤差小于15%的實驗數(shù)據(jù)點占總數(shù)據(jù)點的74%，誤差小于10%的實驗數(shù)據(jù)點占總數(shù)據(jù)點的51%。圖4為所構(gòu)建本構(gòu)方程的誤差精度效果圖，圖4中兩條直線組成的楔形帶為滿足相對誤差小于和等于15%的誤差帶，中間一條直線上的點是實驗值與計算值相等的點。從圖4可以看出，相當一部分點落在15%的誤差帶外。

圖4 計算應(yīng)力與實驗應(yīng)力分散圖Fig.4 The scatter diagram of calculated stress and experimental stress

以上分析表明，所構(gòu)建本構(gòu)方程的精度不足，需對現(xiàn)有的本構(gòu)方程加以修正。

3.2 本構(gòu)模型的修正與檢驗

以上述本構(gòu)方程求得的σcalc及溫度T為自變量，以σexp為因變量，可借助國產(chǎn)1stopt軟件進行二元非線性回歸，獲得的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果如圖5所示。

圖5（a）為利用1stopt軟件進行二元非線性回歸擬合后的X－Y散點圖，各點與對角線的垂直距離表示修正后的誤差，即σcor與σexp的偏差，落在對角線上的點表示σcor與σexp相等的點。圖5（b）為利用1stopt軟件進行二元非線性回歸擬合后的雙線圖，其中，藍色曲線表示σexp曲線，紅色曲線表示σcor曲線，紅色曲線與藍色曲線的偏差即表示σcor與σexp的偏差。

擬合出的方程如式（16）所示，精度R2＝0.9990。

圖5 應(yīng)變速率循環(huán)實驗數(shù)據(jù)的擬合圖形（a）X－Y散點圖；（b）雙線圖Fig.5 The experimental data fitting graphs（a）X－Yscatter plot；（b）double figure

其中：σcalc＝arsinh［（ε·exp（171.9／RT ＋7.97））1／1.11］／0.0196。

所得的回歸系數(shù)見表3。

表3 修正后方程的回歸系數(shù)Table3 The regression coefficient of corrected equation

通過計算，在用于構(gòu)建本構(gòu)方程的實驗數(shù)據(jù)點中，誤差小于15%的實驗數(shù)據(jù)點占總數(shù)據(jù)點的99.8%，誤差小于10%的實驗數(shù)據(jù)點占總數(shù)據(jù)點的95.5%。圖6為修正本構(gòu)方程后的誤差精度效果圖，圖中兩條直線組成的楔形帶為滿足相對誤差小于和等于15%的誤差帶，中間一條直線上的點是實驗值與計算值相等的點。從圖6可以看出，幾乎所有點落在15%的誤差帶內(nèi)。以上檢驗表明，所構(gòu)建的本構(gòu)方程的精度較高。

圖7為不同溫度下所構(gòu)建的本構(gòu)方程求出的流動應(yīng)力計算值與實驗值的比較圖?？梢钥闯龈鶕?jù)所構(gòu)建的本構(gòu)方程計算所得的流動應(yīng)力值與實驗數(shù)據(jù)吻合程度較好。

以上的誤差分析表明，構(gòu)建的TC4－DT合金的本構(gòu)方程有較高的精度，且具有普遍適用性，可用于實際熱加工過程的變形抗力計算，也可作為有限元模擬的本構(gòu)方程。

圖6 修正后計算應(yīng)力與實驗應(yīng)力散點圖Fig.6 The scatter diagram of calculated stress and the experimental stress after correction

4 結(jié)論

（1）在超塑性變形過程中存在動態(tài)回復(fù)與動態(tài)再結(jié)晶現(xiàn)象，采用Avrami方程描述了動態(tài)再結(jié)晶動力學行為，在870℃，應(yīng)變速率為3.3×10－4s－1時合金的再結(jié)晶體積分數(shù)為：Xd＝1－exp［－0.0741

圖7 不同溫度下流動應(yīng)力計算值與實驗值比較（a）850℃；（b）870℃；（c）890℃Fig.7 The comparison ofσcalcandσexpat different temperatures（a）850℃；（b）870℃；（c）890℃

（2）采用逐步回歸、逐步修正的方法，即利用經(jīng)典模型Arrhenius方程獲得了本構(gòu)關(guān)系后，把方程左邊的因變量即σcalc作為自變量，再加一個溫度T或1／T的調(diào)節(jié)變量作為自變量，而將實驗所得σexp作為因變量，通過1stopt軟件在程序中自動查找擬合，可使本構(gòu)關(guān)系得到修正，修正后本構(gòu)方程的精度可達99.9%。

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