原 媛，沈元華，趙在忠，金浩明，馬秀芳，孫燕青，馬世紅

（復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系 物理教學(xué)實(shí)驗中心，上海200433）

1 引 言

惠斯通電橋是一種利用比較法精確測量電阻的電路，用惠斯通電橋測電阻值的實(shí)驗在很多大學(xué)都有開設(shè).橋臂標(biāo)稱值RA和RB相等時，為了消除橋臂電阻標(biāo)稱值與實(shí)際值之間的偏差引起的系統(tǒng)誤差，實(shí)驗過程中常常采用互易橋臂的方法，以達(dá)到消除橋臂電阻系統(tǒng)誤差的目的［1-2］.以往的教學(xué)過程中常常從不確定傳遞公式出發(fā)對互易橋臂的測量結(jié)果進(jìn)行不確定度的評定，這種方法我校已經(jīng)沿用了幾十年，不少兄弟院校也使用類似的方法.但筆者在最近的教學(xué)研討中發(fā)現(xiàn)，過去教學(xué)中一般采用的不確定度評定方法是不合理的，這牽涉到關(guān)于不確定度評定的一些基本概念.本文結(jié)合具體實(shí)例討論了這一問題，給出了合理的不確定度評定方法，并指出過去常用方法錯誤的原因.

2 實(shí)驗原理

基本電橋電路如圖1所示.圖中標(biāo)準(zhǔn)電阻RA和RB的值已知，且橋臂比例RA:RB≈1:1，調(diào)節(jié)電阻箱RS的值，使得橋上流過靈敏電流計G的電流為零，此時電橋達(dá)到平衡，平衡方程為

保持RX和RS的位置不變，互易RA和RB的位置，分別測出互易前、后電橋平衡時橋臂電阻RS的示值RS1和RS2，由（1）式可以得到互易前待測電阻的阻值為

圖1 惠斯通電橋基本電路

互易后待測電阻的阻值為

由（2）式和（3）式可以得到待測電阻的阻值為［2］

3 互易橋臂不確定度評定的常用方法

以下給出2種對互易橋臂測量結(jié)果進(jìn)行不確定度評定的方案：一種是筆者實(shí)驗教學(xué)中一貫采用的方案；另一種是文獻(xiàn)［3］中給出的方案.這2種方案是多年來被大家所認(rèn)可的關(guān)于互易橋臂測量結(jié)果不確定度評定的方法.

3.1 方案一

將（4）式代入傳遞公式可以得到：

而測量結(jié)果RS1和RS2的標(biāo)準(zhǔn)不確定度則由不確定度合成公式u（x）＝得到，對于B1類測量不確定度在教學(xué)中常取uB1（RSi）＝，其中ΔRSi為靈敏電流計指針偏離平衡位置Δθ格時電阻箱RSi的改變量；而B2類儀器不確定度則由電阻箱所示最大誤差限（不確定度限值）aRSi來確定所以（5）式可以重新寫為

分別計算互易前后RS1和RS2的不確定度并代入（6）式，即可得到待測量RX的不確定度.

3.2 方案二

在文獻(xiàn)［4］中，作者討論了單次測量時惠斯通電橋的B類不確定度，并給出了互易橋臂測量結(jié)果的總的測量不確定度：它包括了RS1和RS2的測量誤差，以及在2次測量中電橋靈敏度引起的測量誤差，相對不確定度的具體表達(dá)式為

其中，uSi是電阻RSi的量值誤差，它由電阻箱銘牌所示最大誤差限aRSi確定；sri是電橋的相對電阻靈敏度，定義為在電橋平衡條件下比較臂電阻RS變動ΔRS時，靈敏電流計指針偏離平衡位置n格，即sri＝；0.2格是文獻(xiàn)中給出的眼睛能覺察的靈敏電流計指針的最小偏轉(zhuǎn)量.

為了方便比較2種方法的結(jié)果，在（6）式和（7）式中，將平衡電橋能靈敏電測到的靈敏電流計指針偏離平衡位置的最小格數(shù)統(tǒng)一為0.1格.（具體檢查方法是在接通和斷開開關(guān)S2時，觀察靈敏電流計的指針是否有微小的顫動）.因此（7）式可重新寫為

為了使得討論更加具體，下面給出具體實(shí)例的不確定度評定結(jié)果.

4 實(shí)驗結(jié)果及常用不確定度評定方法的實(shí)例

4.1 實(shí)驗儀器

ZX21A型電阻箱，2kΩ左右的定值電阻，85C1型靈敏電流計，直流穩(wěn)壓電源，以及導(dǎo)線、開關(guān)等元件.ZX21A型電阻箱各擋阻值的相對不確定度如表1所示.

表1 ZX21A型電阻箱技術(shù)指標(biāo)

ZX21A型電阻箱的銘牌上還給出了零值電阻（20±10）mΩ，考慮到待測電阻的阻值為2kΩ左右，如此小的零值電阻對測量結(jié)果的修正可以忽略不計，因此在不確定評定中也不必考慮其影響，故對電阻箱某示值Ri的不確定度限值aRi為

式中aRi單位為Ω，ni為第i個電阻盤上的讀數(shù).

4.2 實(shí)測結(jié)果及不確定度評定

實(shí)驗測得的結(jié)果如表2所示，其中RA，RB和RS分別是平衡時3個橋臂的阻值，RS′是靈敏電流計偏離平衡狀態(tài)一格時橋臂電阻RS的阻值，δRS＝RS′-RS.

表2 實(shí)測數(shù)據(jù)（RA＝RB＝43.0Ω，電源電壓ε＝9.00V）

由（4）式可得待測電阻的阻值為

利用表2測得的原始數(shù)據(jù)可以得到：

將（11）式的計算結(jié)果代入（6）式，得到測量結(jié)果RX的不確定度為：

其中，u（RS1）＝u（RS2）＝1.45Ω.

進(jìn)一步將（11）式代入（8）式可以得到：

比較2種方案的計算結(jié)果可以看到，計算結(jié)果是完全相同的；從其一般表達(dá)式（6）式和（8）式也可以看到，2種方案的核心思想是相同的，都利用了不確定度的傳遞公式，即在計算互易橋臂測量結(jié)果的不確定度時都把橋臂電阻RS1和RS2當(dāng)作2個獨(dú)立測量量來處理.

5 對上述常用不確定度評定方法的討論與分析

按照上述2種評定方法，待測電阻RX的不確定度為1.0Ω，比標(biāo)準(zhǔn)電阻RS本身的不確定度（1.45Ω）要小，甚至比儀器不確定度（1.26Ω）還要小，這顯然是不合理的.我們認(rèn)為，不確定度傳遞公式在這里是不適用的：不確定度傳遞公式使用的條件是公式中各直接測量量之間相互獨(dú)立，但在RS1和RS2并不是相互獨(dú)立的：它們是同一個待測量用同一個標(biāo)準(zhǔn)量具在2次不同條件下比較的結(jié)果.因此，在互易橋臂實(shí)驗中，RX的不確定度不應(yīng)由RS1和RS2的不確定度傳遞得到，而應(yīng)該由B1類測量不確定度和B2類儀器不確定度2部分合成而得.其中，前后2次互易橋臂的測量中，由電橋靈敏度引起的B1類測量不確定度uB1（RS1）和uB1（RS2）之間是完全獨(dú)立的（可能一次偏大而另一次偏?。?，因此測量結(jié)果的B1類測量不確定度應(yīng)該由二者按方和根合成法得到，即：

而前后2次實(shí)驗使用的是同一標(biāo)準(zhǔn)量具（其不確定度不可能一次偏大而另一次偏小），因此測量結(jié)果的B2類儀器不確定度就等于2次儀器不確定度和的一半，也就是說近似等于標(biāo)準(zhǔn)電阻RS的B2類不確定度，即：

故可得到測量結(jié)果RX的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

從數(shù)據(jù)結(jié)果可以看出：

對上述結(jié)果的定性分析：測量結(jié)果RX的不確定度（1.36Ω）大于標(biāo)準(zhǔn)電阻RS的儀器不確定度（1.26Ω），這是因為u（RX）中還包含有測量過程的其他不確定度分量；但又略小于標(biāo)準(zhǔn)電阻RS的標(biāo)準(zhǔn)不確定度（1.45Ω），因為通過2次測量，降低了由于比率臂電阻比的誤差影響而引入的測量不確定度.因此，認(rèn)為這樣的不確定度評定是合理的.實(shí)際上，這種評定方法在物理測量中是具有一定普遍性的，比如在使用物理天平或分析天平測量物體質(zhì)量時，為了測量更精密，經(jīng)常會用復(fù)稱法來消除天平不等臂引入的系統(tǒng)誤差［5］，而對其測量結(jié)果進(jìn)行不確定度評定時，也不應(yīng)該采用不確定度的傳遞方法，而上述給出的評定方法是完全適用的.

6 結(jié)束語

過去在教學(xué)中常用的對互易橋臂法測量電阻（橋臂標(biāo)稱值RA和RB相等）的不確定度評定方法是錯誤的，其結(jié)果比標(biāo)準(zhǔn)電阻的標(biāo)準(zhǔn)不確定度還小，顯然不合理.究其原因，是因為互易橋臂的前后2次測量不是完全獨(dú)立的，它們是同一待測量用同一儀器以不同方法測量的結(jié)果.因此，不可使用一般的不確定度的傳遞公式.我們給出了一種合理的評定方法：測量結(jié)果的不確定度由B1類測量不確定度和B2類儀器不確定度合成，其中B1類測量不確定度由2次測量的B1類不確定度通過方和根合成法得到（前后2次對電橋平衡的判斷完全獨(dú)立），而B2類儀器不確定度近似等于標(biāo)準(zhǔn)電阻的儀器不確定度（前后2次測量所用的標(biāo)準(zhǔn)電阻儀器相同、阻值略有微小差別）.

致謝：本文的作者與清華大學(xué)物理學(xué)系朱鶴年教授進(jìn)行過多次有益的討論和交流，得到許多幫助，在此深表謝意.

［1］沈元華，陸申龍.基礎(chǔ)物理實(shí)驗［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］賈玉潤，王公治，凌佩玲.大學(xué)物理實(shí)驗［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1987：218-221.

［3］朱鶴年.物理實(shí)驗研究［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1994：151-163.

［4］陳西園，徐鐵軍，高文貴.惠斯登電橋測電阻實(shí)驗的不確定度分析［J］.大學(xué)物理實(shí)驗，2000，13（2）：53-55.

［5］蔡秀峰.復(fù)稱法在精密稱衡時的作用［J］.物理教學(xué)探討，2003，21（187）：33-34.

［6］朱鶴年.新概念·基礎(chǔ)物理實(shí)驗講義［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2013.