劉衍浩

[摘 要] 數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的意義不言而喻，它對于踐行新課改的知識與技能、過程與方法以及情感態(tài)度價值觀的三維目標，倡導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的教學(xué)模式等方面具有重要作用. 本文以勾股定理教學(xué)為例，探討了上述問題.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史；勾股定理；教育價值

數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的價值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數(shù)學(xué)教育類雜志可以發(fā)現(xiàn)，越來越多的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師也在撰文闡述自己在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史的一些體會和教學(xué)案例. 在課程改革不斷深入的當下，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對于踐行課改的理念，培養(yǎng)全面發(fā)展有理想、有道德的高素質(zhì)數(shù)學(xué)人才等方面確實有著積極的推進作用. 本文將給出一個基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)設(shè)計思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強自身數(shù)學(xué)史修養(yǎng)的同時，開發(fā)出更多基于數(shù)學(xué)史的優(yōu)秀教學(xué)案例.

提出問題

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯及其徒眾發(fā)現(xiàn)的，后人更渲染其事，說畢達哥拉斯諸人十分重視這項發(fā)現(xiàn)，特地宰了一百頭牛向天神奉獻答謝，所以中世紀時這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時代、不同地區(qū)都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經(jīng)典之作《幾何原本》，其中一個定理就是畢達哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”

接下來的這個定理是畢達哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一個三角形中，一邊上的正方形等于這個三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”

這兩個定理合起來說明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關(guān)系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國數(shù)學(xué)家早在公元前1120年就對勾股定理有了明確認識. 勾股定理從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達哥拉斯定理，但它的發(fā)現(xiàn)時間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

定理的證明

在新課程人教版教材（八年級下冊）中，先是引用畢達哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形，在“弦圖”內(nèi)作四個相等的勾股形，各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據(jù)“出入相補原理”，根據(jù)“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，正因如此，這個圖案被選為2002年北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽.

[圖1]

引導(dǎo)學(xué)生探索其他解法

上述是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據(jù)面積相等實現(xiàn)定理的證明. 教師可以提示學(xué)生圍繞這一觀點，探索其他證明方法，學(xué)生提供的證法有可能和歷史上大數(shù)學(xué)家的證法一致.

歷史上的經(jīng)典證明方法展示

發(fā)現(xiàn)勾股定理迄今已有五千年，五千多年來，世界上幾個文明古國都相繼發(fā)現(xiàn)和研究過這個定理，幾千年來，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統(tǒng)計，現(xiàn)在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數(shù)學(xué)思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統(tǒng)證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達哥拉斯的證法；（7）旋轉(zhuǎn)證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.

基于上述分析，不難發(fā)現(xiàn)，歷史上的勾股定理證明方法很多，據(jù)統(tǒng)計，有400多種，向?qū)W生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現(xiàn)在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優(yōu)劣，而是為了豐富教與學(xué)的內(nèi)容知識，這也是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學(xué)生在教與學(xué)上有所比較，以達到取長補短. 通過分析各種證法之不同，可以發(fā)現(xiàn)他們各自對于圖形的依賴程度也不相同. 當我們試圖理解某個版本的證法時，就好比與這位數(shù)學(xué)家進行對話，從而產(chǎn)生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認識到該如何呈現(xiàn)定理及其證明，以便可以兼顧到各個面向. 在教學(xué)中，若以歷史文本為師，適時引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯誤，相信對于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過程能有更貼近的牟合，也能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有更全面的觀照. 最后，基于數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的目標之一，正是讓學(xué)生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學(xué)習(xí)的樂趣，因此，數(shù)學(xué)歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸.

問題的推廣

下面我們換個角度看勾股定理，定理會變成什么樣呢？

推廣一：勾股定理的不同表述方式

（1）直角三角形斜邊長度的平方等于兩個直角邊長度的平方之和.

（2）直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個正方形.

（3）直角三角形直角邊上兩個正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.

推廣二：“出入相補”原理的應(yīng)用

所謂“出入相補”原理，是指一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關(guān)勾股定理的證明方法，許多證法都是利用這一原理進行的，只是圖形的分合移補略有不同而已. “出入相補”原理是我國古代數(shù)學(xué)家發(fā)明的一個證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法，下面，我們通過比較兩個證明來說明某些問題.

趙爽和達·芬奇的證明方法（如圖2所示）：

[圖2：勾股定理的兩種幾何證明]

問題：這兩種方法的聯(lián)系是什么？

解答：如圖3所示.

[圖3：兩種證明的聯(lián)系]

可以看出，趙爽和達·芬奇對勾股定理的證明都使用了“出入相補”原理. 這兩種來自不同時期、不同地域的方法背后有著更本質(zhì)的聯(lián)系，正因為這種本質(zhì)聯(lián)系，讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的一種聯(lián)系. 正如韋爾斯在《數(shù)學(xué)與聯(lián)想》一書中所說的：“這就是為什么數(shù)學(xué)強有力的一個理由. 數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩個表面不同的問題實際上是相同的，因此他只要解決一個也就解決了另一個. 認識到一百萬個問題‘實質(zhì)上都是相同的，因此，你只要解決一個就解決了一百萬個. 事實上，這就是力量！”我們的數(shù)學(xué)讀本，應(yīng)該多多向?qū)W生介紹這方面的內(nèi)容，讓學(xué)生感受這種力量，去認識事物之間的聯(lián)系.

推廣三：把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形

若把以直角三角形為邊長的正方形改為一般的直線形，勾股定理就推廣為：直角三角形斜邊上的直線形（任何形狀）的面積，等于兩條直角邊上與它相對應(yīng)的兩個相似的直線形的面積之和（如圖4所示）.

[圖4]

推廣四：把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形

若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個半圓，勾股定理就推廣為：以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程（人教版八年級下冊）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣：（習(xí)題18.1“拓展探索”問題11）：如圖5所示，直角三角形三條邊上的三個半圓之間有什么關(guān)系？

[圖5][2][1]

若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個身，此時顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實這個結(jié)論早在公元前479年就已經(jīng)由古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底得到，因1和2部分狀如弦月，故稱“希波克拉底月形”. 新課程（人教版八年級下冊）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣（習(xí)題18.1“拓展探索”問題12）：如圖5所示，直角三角形的面積是20，求圖中1和2的面積之和.

推廣五：勾股定理與費馬大定理

勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，寫出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術(shù)》（第2卷問題8）中有一個與勾股定理類似的問題：將一個已知的平方數(shù)分為兩個平方數(shù). 丟番圖在《算術(shù)》中以實例形式給出了這一問題的解答. 之所以在此獨獨提到丟番圖的這一問題，是因為，大約16個世紀以后，正是在這一問題的啟發(fā)下，費馬在其旁白處寫下了一段邊注，從而誕生了一個讓整個數(shù)學(xué)界為之苦思冥想了三百多年的問題. 費馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術(shù)》時，做了如下批注：“不可能將一個立方數(shù)寫成兩個立方數(shù)之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和. 我已找到了一個奇妙的證明，但書邊太窄，寫不下. ”1670年，費馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書的第二版，遂使費馬這一猜想公之于世. 費馬究竟有沒有找到證明已成為數(shù)學(xué)史上的千古之謎. 從那時起，為了“補出”這條定理的證明，數(shù)學(xué)家們花費了三個多世紀的心血，直到1994年才由維爾斯給出證明.

推廣六：勾股數(shù)

不言而喻，所謂勾股數(shù)，是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個正整數(shù)（a，b，c），它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數(shù)呢，方法如下.

1. 任取兩個正整數(shù)m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構(gòu)成一組勾股數(shù).

2. 若勾股數(shù)組中的某一個數(shù)已經(jīng)確定，可用如下方法確定另兩個數(shù)：首先觀察已知數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù).

（1）若已知數(shù)是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個整數(shù)，那么奇數(shù)與這兩個整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

（2）若已知數(shù)是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個平方數(shù)分別減1和加1所得的兩個整數(shù)與這個偶數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).

練習(xí)題：限于篇幅，僅列一題.

練習(xí)題 今有立木，系索其末委地三尺，引索卻行去本八尺而索盡，問索長幾何？（該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》，公元1261年）

現(xiàn)代文翻譯：有一根直立的木頭，一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長3尺，現(xiàn)在向后緊拉繩索，使它的另一端著地，這時繩索與木的距離為8尺，問這條繩索的長為多少？

原書“術(shù)”曰：“以去本自乘，另如委數(shù)兒一，所得加委地數(shù)而半之，即索長.”

歷史上涉及勾股定理應(yīng)用的古算題很多，在學(xué)習(xí)勾股定理的同時，如果能盡可能多地向?qū)W生呈現(xiàn)這些古算題，會使我們的教學(xué)起到事半功倍之效. 向?qū)W生呈現(xiàn)古算題原題，學(xué)生首先會接受很多那個時代的社會、人文信息，包括古算題涉及的真實情景、古算題的出處、涉及的數(shù)學(xué)家等. 學(xué)生還要將文言文翻譯成現(xiàn)代白話文，然后去理解題意，考慮其解題方法. 接著給學(xué)生呈現(xiàn)古人解決此類問題的“術(shù)”，又會使學(xué)生感受到他們的解法與歷史上的解法其實有異曲同工之妙. 在這個過程中，新課程所涉及的“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀”三維目標可以自然地達成. 誠然，教師在這個過程中需要適時地進行引導(dǎo)和點撥，它要求教師具備一定的數(shù)學(xué)史知識和修養(yǎng).

結(jié)語：數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用不言而喻，亟須一線教師開發(fā)出更多的教案和案例. 數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的重要指導(dǎo)和引領(lǐng)作用，正如我國老一輩數(shù)學(xué)教育家、珠算算具改革先驅(qū)的余介石先生所說：“歷史之于數(shù)學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學(xué)高山仰止之恩，收聞風(fēng)興起之效，更可指示基本概念之有機發(fā)展情形，與夫心理及邏輯順序，如何得以融合調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也”.