姜垚

摘 要：文章中提出了降階的Spectral Volume 方法 （SV方法） 的概念，對方法的公式進行推導(dǎo)，并成功將其應(yīng)用與一維線性傳遞方程。對降階的SV方法的穩(wěn)定性進行了Fourier分析，并與傳統(tǒng)的SV方法進行了對比。實驗證明，降階的SV方法在初值連續(xù)情況下，在線性傳遞方程上可以達到所期望的數(shù)值精度，并且在數(shù)值色散和數(shù)值耗散特性上較傳統(tǒng)SV方法有顯著提高。

關(guān)鍵詞：SV方法 一維守恒律 降階

中途分類號：R445 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）10（b）-0211-04

1 研究背景

計算流體力學(xué)（CFD）從創(chuàng)立至今得到了飛速發(fā)展，在工業(yè)界起著不可替代的作用。然而目前工業(yè)界所用到的CFD計算通常只能達到二階精度，遠遠達不到人們的需要，并且對網(wǎng)格以及內(nèi)存和CPU的要求超出了當(dāng)今計算機所能承受的范圍。另外，運算區(qū)域通常包含復(fù)雜單光滑的流體結(jié)構(gòu)，比如渦旋與剪切流層的相互作用區(qū)，以及同時包含激波與其他復(fù)雜流動的區(qū)域等。因此，高精度高分辨率格式的研究一直是CFD領(lǐng)域中非?；钴S的一個課題，發(fā)展高精度高分辨率的計算格式成為CFD工作者的一大研究方向。為采用高精度格式不但可以降低對網(wǎng)格規(guī)模的苛刻要求，而且能夠正確分辨其中復(fù)雜的流動現(xiàn)象。對網(wǎng)格點數(shù)目的要求低，具有減少計算機內(nèi)存需求和CPU時間消耗的優(yōu)勢。其中比較著名的是Harten提出的高階精度的ENO（essentially non-oscillatory） 格式，隨后Liu，Osher和Chen發(fā)展了原有的ENO格式，提出了有顯著改進的WENO（weightedessentially non-oscillatory）格式，并獲得了迅速的發(fā)展，并得到了一系列的研究。ENO/WENO格式善于捕捉物理間斷，其應(yīng)用迅速發(fā)展到多相流領(lǐng)域。

新型格式發(fā)展的目標(biāo)之一是發(fā)展可以應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的可靠的高階格式。理論和實踐都表明，大多數(shù)高精度、高分辨率格式的性能都嚴(yán)重地依賴于網(wǎng)格的光滑性，而工業(yè)界所需要模擬的物體通常具有復(fù)雜的幾何外形（圖1），CFD應(yīng)用最多的航空領(lǐng)域所需要的幾何外形更是相當(dāng)復(fù)雜，而這給結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的生成帶來很大困難，一種直接有效的解決辦法是采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。然而由于穩(wěn)定性等因素的影響，對于三維有限體積法，非結(jié)構(gòu)算法模板所需單元往往較多，而過多的模板單元會帶來邊界處理、內(nèi)存占用、編程復(fù)雜等多方面的困難。因此實際應(yīng)用中大都只使用二階精度的非結(jié)構(gòu)算法，而這遠遠滿足不了一些工業(yè)領(lǐng)域?qū)τ嬎憔鹊囊蟆？梢詰?yīng)用與非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的高精度、高分辨率、低耗散的實用數(shù)值格式的發(fā)展成為當(dāng)今CFD的重要任務(wù)之一。以此為目標(biāo)的一些高階格式已經(jīng)發(fā)明出來，其中比較著名的是Cockburn發(fā)展的間斷Galerkin有限元方法（DG），間斷 Galerkin有限元方法的插值模板小，各單元之間僅通過界面通量計算相聯(lián)系，因而比較適合在復(fù)雜外形。而另一種成功的格式是Wang在自2002年發(fā)展的應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的算法SV方法。SV方法是一種高精度高分辨率低耗散的數(shù)值格式。同間斷Galerkin有限元方法一樣，SV方法可以達到相同的精度。然而相比之下，SV方法比間斷Galerkin有限元方法有著更好的穩(wěn)定性（可以允許更大的CFL數(shù)）。與傳統(tǒng)的有限體積法相比，對計算機內(nèi)存和CPU的要求更低。所以SV方法有著非常大的能在將來被應(yīng)用于工業(yè)界的潛力。同時，SV方法的穩(wěn)定性和可行性還需要進一步驗證和改進。

2 SV方法介紹

SV方法，是比較新提出的另一種可以應(yīng)用于完全非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的高精度、高分辨率、低耗散的守恒型格式。Wang于2002年提出一維SV方法的概念并隨后將其發(fā)展到二維和三維。SV方法是經(jīng)典有限體積法的延伸。它提出了控制體積（Control Volume）的概念，從而避免的復(fù)雜模板（stencil）的使用，從而使格式可以輕松應(yīng)用與非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上。經(jīng)典的有限體積法中，變量在每個網(wǎng)格中的值被用來進行多項式插值。為了達到相應(yīng)的精度，由相鄰多個單元格組成的模板被用來進行插值。而非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格使得模板中相鄰網(wǎng)格的選取成為一大難題。不同于經(jīng)典的有限體積法，SV方法把網(wǎng)格中的每一個單元格進一步分成若干控制體積（CV），對每個控制體積中變量的平均值加以利用來實現(xiàn)多項式插值從而達到所要求的精度。SV方法的優(yōu)勢在于其在保證相同精度的同時免除了對周圍網(wǎng)格的依賴，從而降低了對網(wǎng)格的要求。此外，由于不同單元格之間的信息交流少，SV方法非常適宜并行運算的實現(xiàn)。

有限體積法（包括ENO和WENO方法）利用相鄰多個自由度（模板）內(nèi)狀態(tài)變量的值進行多項式構(gòu)建。而在SV方法中，我們把這個單個的單元格叫做Spectral Volume（SV）。我們只利用此SV中的信息進行高階多項式的構(gòu)建，為了得到所需要的自由度，每個SV被劃分為更小的體積單元 Control Volume（CV）。而方法的精度取決于每個SV劃分為CV的數(shù)量。

對于二階的SV方法，流量的計算是線性的，所以并不復(fù)雜。對于高階的情況 （k>2），重構(gòu)過程如下。在下一個時間步上，每個CV中狀態(tài)變量的平均值各自更新，在SV內(nèi)部，狀態(tài)變量在床CV邊界時時連續(xù)的，所以我們并不需要Riemann求解器，流量的值我們可以通過插值多項式直接到的解析值。當(dāng)兩個相鄰CV的邊界也是 SV邊界時，我們需要通過插值得到邊界上Gauss求積點處狀態(tài)變量的值，然后通過 Riemann求解器來計算流量的值。這樣方法保證了計算的簡潔以及高階特性。

總的來說，假設(shè)我們重構(gòu)出至多k-1 階多項式，k階SV方法計算的一般過程是通過插值計算每個Gauss積分點處狀態(tài)量的值；利用k階高斯求積形式和Riemann 求解器計算單元邊界上面通量的積分。在單元格內(nèi)部CV邊界上，由于我們假定狀態(tài)變量在單元格內(nèi)是連續(xù)的，通量的值我們直接應(yīng)用重構(gòu)多項式的解析值；利用TVD的Runge-Kutta格式進行時間推進。endprint

如同有限體積方法一樣，在計算過程中SV方法利用狀態(tài)變量的平均值。然而SV方法并不像有限體積法那樣利用在整個單元格內(nèi)平均，它利用的是狀態(tài)變量在每個控制體積內(nèi)的平均值，通過CV的劃分來增加自由度，從而達到所需要的高階。關(guān)于SV方法的具體操作以及一維和多維的各種算例可以在文章中找到。

之前提到的間斷Galerkin有限元方法和SV方法在特性上有許多相似之處，同樣是緊致類方法，從而適于并行運算，能達到高階精度，由于在單元格邊Riemann求解器的應(yīng)用，它們是完全守恒型的數(shù)值計算格式，并且伴隨著TVD或者TVB限制器的應(yīng)用，兩種方法都非常適于應(yīng)用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和復(fù)雜的幾何外形。自然而然，兩種方法的研究比較出現(xiàn)在很多文章中。由于考慮局部的細致信息，SV方法被認(rèn)為相對應(yīng)間斷Galerkin有限元方法可以更加細致的捕捉間斷。此外間斷Galerkin有限元方法會隨著計算階數(shù)的升高而導(dǎo)致相應(yīng)的CFL數(shù)減小，穩(wěn)定性會隨之下。而Zhang和Shu通過理論以及算例指出兩種方法可以達到相同的精度，SV方法可以允許更大的CFL數(shù)，然而在相同的網(wǎng)格上SV方法的誤差大于間斷Galerkin有限元方法。

3 降階SV方法

SV方法的穩(wěn)定性受很多因素影響，我們提出的一種對其可能的改進是降階的SV 方法。由于SV方法是緊致型格式，所有信息的處理幾乎都在單元格自身內(nèi)部進行，這使得其格式的改造變得相對容易。一種可能的構(gòu)想是減小SV方法基底的維度。以基本的一維情況為例，理論上k階的SV方法需要將SV劃分成k個CV并以k-1階多項式進行近似

（1）

在傳統(tǒng)的SV方法中，基底的階數(shù)與 CV的個數(shù)是相等的，從而保證方法的精度。在這里我們提出，可以嘗試以降低多項式基底的維度來改善SV方法在穩(wěn)定性方面的表現(xiàn)。

假如SV被分為k個CV并以k-1-n階多項式（n≤k-1）近似，其理論精度值為 k-n。

（2）

如圖2給出了一維情況下以二階多項式描繪三個CV中狀態(tài)變量值的示意圖。它的實際精度以及在具體算例中的表現(xiàn)需要進行驗證。

另外可以期待的一點是此方法對格式穩(wěn)定性的影響，可以通過Fourier分析法研究格式的數(shù)值色散和數(shù)值耗散特性，k個CV并以k-1-n階多項式近似的降階的SV方法被期待比傳統(tǒng)的k-n階SV方法有更好的穩(wěn)定性，即在數(shù)值色散和數(shù)值耗散方面有更好的表現(xiàn)。

SV方法插值邊界處Gauss積分點上狀態(tài)變量的值的關(guān)系式是：

（3）

其中向量指的是SV中每個CV上狀態(tài)變量的平均值，其維度是此單元格內(nèi)CV的數(shù)量，向量q表示邊界上每個的Gauss求積點處狀態(tài)變量的值，其維度是此單元格內(nèi) Gauss 求積點的數(shù)量。

相應(yīng)的構(gòu)建方法是：

（4）

其中為的維度，為SV內(nèi)部近似狀態(tài)變量的重構(gòu)多項式，它是基底多項式的線性組合

（5）

其中在某一固定的時間步上，為常數(shù)，代表基底線性組合的系數(shù)。是多項式基底的維度。而q的每個元素則就是重構(gòu)多項式在CV邊界處對應(yīng)Gauss積分點上的取值。

（6）

指的是Gauss積分點的數(shù)目，其中指第k個Gauss積分點的坐標(biāo)。從而矩陣運算可以從中提取出。我們得到多項式取值的矩陣P和基底在每個CV上的平均值矩陣L。

（7）

（8）

分析一下維度我們得到

（9）

對于不同的劃分方式，我們只需要根據(jù)基底和CV的幾何分布得到矩陣P和L便可以進行運算。但這里我們假設(shè)，L是可逆方陣。如果我們縮減基底的維數(shù)，L便不再可逆，q的表達式會有相應(yīng)變化，這也將是新的自適應(yīng)階數(shù)SV方法的創(chuàng)新之處。

（10）

此時我們在計算公式中以L的假逆矩陣代替其逆矩陣。而我們定義其假逆矩陣：

（11）

這里M是一個正定矩陣，它的階數(shù)等于每個SV中CV的數(shù)量。在這種定義之下，我們重新定義了一種基于矩陣M的數(shù)量積： 對于任意向量a和b，我們有

（12）

與此同時，利用幾何中投影的定義，我們也定義了一種基于矩陣 M 的投影：

（13）

在具體操作中我們發(fā)現(xiàn)，M矩陣的選取要滿足許多要求。當(dāng)我們利用降階的SV方法時其中非常重要的一點是如下守恒定律必須要滿足：

（14）

其中是保存狀態(tài)變量平均值的向量，其中的每個元素保存了同一個SV中指定CV上狀態(tài)變量的平均值，是所研究 SV中CV的數(shù)量。這個條件的物理意義是，對一個SV中每個CV上的狀態(tài)變量平均值投影到矩陣L的像空間，投影前后保證整個SV中狀態(tài)變量的積分總量不變。事實上，如果這一關(guān)系沒有滿足，則原方程的守恒形式將被打破。之后的數(shù)值測試結(jié)果表明，如果以上提到的守恒定律沒有被滿足，計算的結(jié)果是完全錯誤的。滿足這一條件的矩陣M也不是唯一的，利用簡單的矩陣運算，我們得到一個符合守恒定律條件的如下矩陣M：

（15）

數(shù)值測試

在測試的初期，我們通過編寫如下基本的一維線性輸運方程 Matlab 程序驗證 SV 方法精度：

（16）

方程的輸運速度設(shè)為a=1。

為了方便驗證且不失一般性，我們提出T=60s以保證。

我們首先驗證初始條件連續(xù)

的情況下SV方法的精度。我們采用初始條件：

（17）

測試結(jié)果顯示在表1中。其中自由度指的是區(qū)間[0，3]被劃分成的CV的數(shù)量。在命名方法上，我們采用：SV+每個SV中CV數(shù)+模擬多項式的階數(shù)。如SV43表示每個SV劃分為四個CV，但降一階，采用三階精度的多項式近似。若每個SV中CV數(shù)=模擬多項式的階數(shù)，則格式為傳統(tǒng)的SV方法。在測試中我們采用三階Runge-Kutta時間積分方法。endprint

我們可以從表1中看出，理論上達到二階的數(shù)值格式，即SV22，SV32及SV42方法，在低自由度的網(wǎng)格上由于誤差太大，格式很難達到所期望的精度，而在過高自由度的網(wǎng)格上，由于數(shù)值計算誤差，所得到的精度可能與理論值有所偏差。但總體來說，降階的SV方法在允許的誤差范圍內(nèi)可以達到理論預(yù)期值。

4 格式穩(wěn)定性研究

我們通過Fourier分析法對格式的穩(wěn)定性進行研究自適應(yīng)SV方法較之于傳統(tǒng)SV方法的優(yōu)勢。這里我們之研究格式空間離散帶來的誤差而不考慮時間推進格式。所以這里我們研究計算中的半離散的數(shù)值格式：

（18）

其中即我們所研究的狀態(tài)變量。通過對方程系統(tǒng)的線性化我們得到矩陣A。這里我們研究最基本的一屆線性傳遞方程，從而矩陣A為常數(shù)矩陣。我們提取矩陣A的特征值λ，其特征值組成互為共軛的數(shù)對，如圖3所示。λ的實部和虛部分別對應(yīng)格式的數(shù)值色散和數(shù)值耗散特性。如Van den Abeele在[5]中指出，我們找到不同波數(shù)下對應(yīng)的λ值，從而得出半離散系統(tǒng)的數(shù)值耗散律和數(shù)值色散率。而我們知道，連續(xù)系統(tǒng)的理想數(shù)值耗散律恒為零，而數(shù)值色散律為波數(shù)的線性函數(shù)。通過與連續(xù)系統(tǒng)的理想值比較我們便可得出格式在數(shù)值色散律和數(shù)值耗散率對應(yīng)于不同波數(shù)的誤差，圖4和圖5給出了誤差計算方法的示意。圖中橫坐標(biāo)K為波數(shù)，而格式波數(shù)的范圍為[0，+H]，其中為每個SV中CV的數(shù)量，而H為負(fù)值，表明降階SV方法所降低的階數(shù)，而ε表示數(shù)值格式與理想情況相比較的誤差。結(jié)果比較在圖6-9中給出。

我們可以看出對于大波數(shù)情況下，降階SV方法相較傳統(tǒng)SV方法在數(shù)值耗散和數(shù)值色散特性上均有優(yōu)勢。對于二階情況SV42與SV32相較傳統(tǒng)的SV22方法，在小波數(shù)時誤差甚至小兩個數(shù)量級以上。而對于三階情況SV43也比SV33方法在數(shù)值耗散方面對于大波數(shù)成分有較大優(yōu)勢。

5 結(jié)語

我們成功發(fā)展了降階的SV格式，推導(dǎo)了降階SV格式在流量計算中為得到Gauss積分點處狀態(tài)變量的插值公式。隨后我們在文章中驗證了降階SV格式與傳統(tǒng)SV格式的精度，證實了其可以達到所期望的計算精度。隨后我們對其穩(wěn)定性做了分析。研究證明，新格式在數(shù)值色散和數(shù)值耗散方面較傳統(tǒng)SV格式有明顯優(yōu)勢。我們?nèi)匀粫诮窈髮π赂袷教匦缘倪M一步更深入的研究。

參考文獻

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[14] J.A.Ekaterinaris.High-order accurate，low numerical diffusion methods for aerodynamics， Progress in Aerospace Science，2005，41（3）：192-300.endprint

我們可以從表1中看出，理論上達到二階的數(shù)值格式，即SV22，SV32及SV42方法，在低自由度的網(wǎng)格上由于誤差太大，格式很難達到所期望的精度，而在過高自由度的網(wǎng)格上，由于數(shù)值計算誤差，所得到的精度可能與理論值有所偏差。但總體來說，降階的SV方法在允許的誤差范圍內(nèi)可以達到理論預(yù)期值。

4 格式穩(wěn)定性研究

我們通過Fourier分析法對格式的穩(wěn)定性進行研究自適應(yīng)SV方法較之于傳統(tǒng)SV方法的優(yōu)勢。這里我們之研究格式空間離散帶來的誤差而不考慮時間推進格式。所以這里我們研究計算中的半離散的數(shù)值格式：

（18）

其中即我們所研究的狀態(tài)變量。通過對方程系統(tǒng)的線性化我們得到矩陣A。這里我們研究最基本的一屆線性傳遞方程，從而矩陣A為常數(shù)矩陣。我們提取矩陣A的特征值λ，其特征值組成互為共軛的數(shù)對，如圖3所示。λ的實部和虛部分別對應(yīng)格式的數(shù)值色散和數(shù)值耗散特性。如Van den Abeele在[5]中指出，我們找到不同波數(shù)下對應(yīng)的λ值，從而得出半離散系統(tǒng)的數(shù)值耗散律和數(shù)值色散率。而我們知道，連續(xù)系統(tǒng)的理想數(shù)值耗散律恒為零，而數(shù)值色散律為波數(shù)的線性函數(shù)。通過與連續(xù)系統(tǒng)的理想值比較我們便可得出格式在數(shù)值色散律和數(shù)值耗散率對應(yīng)于不同波數(shù)的誤差，圖4和圖5給出了誤差計算方法的示意。圖中橫坐標(biāo)K為波數(shù)，而格式波數(shù)的范圍為[0，+H]，其中為每個SV中CV的數(shù)量，而H為負(fù)值，表明降階SV方法所降低的階數(shù)，而ε表示數(shù)值格式與理想情況相比較的誤差。結(jié)果比較在圖6-9中給出。

我們可以看出對于大波數(shù)情況下，降階SV方法相較傳統(tǒng)SV方法在數(shù)值耗散和數(shù)值色散特性上均有優(yōu)勢。對于二階情況SV42與SV32相較傳統(tǒng)的SV22方法，在小波數(shù)時誤差甚至小兩個數(shù)量級以上。而對于三階情況SV43也比SV33方法在數(shù)值耗散方面對于大波數(shù)成分有較大優(yōu)勢。

5 結(jié)語

我們成功發(fā)展了降階的SV格式，推導(dǎo)了降階SV格式在流量計算中為得到Gauss積分點處狀態(tài)變量的插值公式。隨后我們在文章中驗證了降階SV格式與傳統(tǒng)SV格式的精度，證實了其可以達到所期望的計算精度。隨后我們對其穩(wěn)定性做了分析。研究證明，新格式在數(shù)值色散和數(shù)值耗散方面較傳統(tǒng)SV格式有明顯優(yōu)勢。我們?nèi)匀粫诮窈髮π赂袷教匦缘倪M一步更深入的研究。

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[14] J.A.Ekaterinaris.High-order accurate，low numerical diffusion methods for aerodynamics， Progress in Aerospace Science，2005，41（3）：192-300.endprint

我們可以從表1中看出，理論上達到二階的數(shù)值格式，即SV22，SV32及SV42方法，在低自由度的網(wǎng)格上由于誤差太大，格式很難達到所期望的精度，而在過高自由度的網(wǎng)格上，由于數(shù)值計算誤差，所得到的精度可能與理論值有所偏差。但總體來說，降階的SV方法在允許的誤差范圍內(nèi)可以達到理論預(yù)期值。

4 格式穩(wěn)定性研究

我們通過Fourier分析法對格式的穩(wěn)定性進行研究自適應(yīng)SV方法較之于傳統(tǒng)SV方法的優(yōu)勢。這里我們之研究格式空間離散帶來的誤差而不考慮時間推進格式。所以這里我們研究計算中的半離散的數(shù)值格式：

（18）

其中即我們所研究的狀態(tài)變量。通過對方程系統(tǒng)的線性化我們得到矩陣A。這里我們研究最基本的一屆線性傳遞方程，從而矩陣A為常數(shù)矩陣。我們提取矩陣A的特征值λ，其特征值組成互為共軛的數(shù)對，如圖3所示。λ的實部和虛部分別對應(yīng)格式的數(shù)值色散和數(shù)值耗散特性。如Van den Abeele在[5]中指出，我們找到不同波數(shù)下對應(yīng)的λ值，從而得出半離散系統(tǒng)的數(shù)值耗散律和數(shù)值色散率。而我們知道，連續(xù)系統(tǒng)的理想數(shù)值耗散律恒為零，而數(shù)值色散律為波數(shù)的線性函數(shù)。通過與連續(xù)系統(tǒng)的理想值比較我們便可得出格式在數(shù)值色散律和數(shù)值耗散率對應(yīng)于不同波數(shù)的誤差，圖4和圖5給出了誤差計算方法的示意。圖中橫坐標(biāo)K為波數(shù)，而格式波數(shù)的范圍為[0，+H]，其中為每個SV中CV的數(shù)量，而H為負(fù)值，表明降階SV方法所降低的階數(shù)，而ε表示數(shù)值格式與理想情況相比較的誤差。結(jié)果比較在圖6-9中給出。

我們可以看出對于大波數(shù)情況下，降階SV方法相較傳統(tǒng)SV方法在數(shù)值耗散和數(shù)值色散特性上均有優(yōu)勢。對于二階情況SV42與SV32相較傳統(tǒng)的SV22方法，在小波數(shù)時誤差甚至小兩個數(shù)量級以上。而對于三階情況SV43也比SV33方法在數(shù)值耗散方面對于大波數(shù)成分有較大優(yōu)勢。

5 結(jié)語

我們成功發(fā)展了降階的SV格式，推導(dǎo)了降階SV格式在流量計算中為得到Gauss積分點處狀態(tài)變量的插值公式。隨后我們在文章中驗證了降階SV格式與傳統(tǒng)SV格式的精度，證實了其可以達到所期望的計算精度。隨后我們對其穩(wěn)定性做了分析。研究證明，新格式在數(shù)值色散和數(shù)值耗散方面較傳統(tǒng)SV格式有明顯優(yōu)勢。我們?nèi)匀粫诮窈髮π赂袷教匦缘倪M一步更深入的研究。

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