林少芬，楊貴強(qiáng)

(集美大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，福建 廈門361021)

0 引 言

船舶主尺度優(yōu)選方案中，必須全面考察船舶各項(xiàng)技術(shù)性能、經(jīng)濟(jì)性，注意主尺度的選擇對技術(shù)、經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的影響程度［1］，多目標(biāo)的船型優(yōu)選屬于非線性函數(shù)優(yōu)化范疇。傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法有梯度法、牛頓法和直接法等，這些方法繼承了求解單目標(biāo)問題的一些成熟算法和機(jī)理，但對于性質(zhì)復(fù)雜不清的目標(biāo)函數(shù)難以適用［2-3］。

在船型多目標(biāo)優(yōu)化過程中，設(shè)計(jì)者考慮多個(gè)性能技術(shù)指標(biāo)，各目標(biāo)之間相互沖突，難以找到一個(gè)最優(yōu)的非劣解，只有綜合考慮各目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)，才能得到最優(yōu)均衡解。本文依據(jù)博弈理論，將運(yùn)輸成本TC和年運(yùn)貨量AC作為優(yōu)化目標(biāo)博弈方，運(yùn)用非合作Nash 均衡博弈模型來平衡多目標(biāo)之間的沖突和競爭，以Nash 均衡狀態(tài)解作為最優(yōu)解。

1 博弈論算法求解多目標(biāo)優(yōu)化

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題的博弈描述

多目標(biāo)優(yōu)化問題是將n 個(gè)設(shè)計(jì)變量映射到m 個(gè)目標(biāo)函數(shù)的向量函數(shù)，數(shù)學(xué)模型表示為:

式中:［x1，x2，…，xn］∈X 為設(shè)計(jì)變量;bi和ai為設(shè)計(jì)變量xi的上下限;p和q 分別為等式約束和不等式約束的個(gè)數(shù)。

將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為博弈策略問題，m 個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)看作是m 個(gè)博弈方，設(shè)計(jì)變量集X 視為博弈論中的策略空間S1，S2，…，Sm，多目標(biāo)函數(shù)的約束視為博弈問題中的約束條件，通過某一方案優(yōu)化后的結(jié)果可作為相應(yīng)博弈方的得益。因此，式(1)中的多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為對博弈問題G 的描述:

式中:u1，u2，…，um為m 個(gè)優(yōu)化目標(biāo)即博弈方，并滿足:

1.2 Nash 均衡定義描述

1.3 基于Nash 均衡模型的求解步驟

求解步驟如下:

1)通過設(shè)計(jì)變量對博弈方得益的計(jì)算，得到隸屬于各博弈方的策略集S1，S2，…，Sm;

2)在各博弈方策略集組合Si中隨機(jī)生成初始可行策略組合為s0={s10，s20，…，sm0};

圖1 Nash 均衡計(jì)算步驟Fig.1 Computing steps of nash equilibriu

1.4 博弈方策略空間計(jì)算

博弈理論分析多目標(biāo)優(yōu)化問題的關(guān)鍵技術(shù)在于將設(shè)計(jì)變量集X 分解為各博弈方擁有的策略空間S1，S2，…，Sm。本文通過計(jì)算設(shè)計(jì)變量對博弈方得益的影響因子指標(biāo)，并對該指標(biāo)進(jìn)行模糊聚類，得到隸屬于各博弈方的策略空間S1，S2，…，Sm。

計(jì)算步驟如下:

2)設(shè)計(jì)變量xj對第i 個(gè)博弈方ui的影響因子

若無法通過目標(biāo)函數(shù)偏倒計(jì)算影響因子，也可通過數(shù)值方式計(jì)算影響因子:在設(shè)計(jì)變量xj的可行空間中，按步長δj分為T 等段，則設(shè)計(jì)變量xj對第i個(gè)博弈方ui的影響因子:

3)δj={?ji，?j2，…，?jm}(j=1，2，…n)為分類樣品表達(dá)式，δj為第j 個(gè)設(shè)計(jì)變量對所有m 個(gè)目標(biāo)的影響因子集合。分類樣品全體集合為?={?1，?2，…，?n}，對?進(jìn)行模糊聚類［8］，將設(shè)計(jì)變量集X 分解為各博弈方的策略空間S1，S2，…，Sm。

2 算例分析

利用文獻(xiàn)［9-10］中的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，本文考慮6個(gè)設(shè)計(jì)變量、2 個(gè)目標(biāo)函數(shù)和11 個(gè)約束條件的多目標(biāo)散貨船船型優(yōu)選問題。設(shè)計(jì)變量選定為船長L、船寬B、型深D、吃水T、方形系數(shù)CB及經(jīng)濟(jì)航速VK，設(shè)計(jì)變量集為x={L，B，D，T，CB，VK}T，計(jì)算模型見附錄。

目標(biāo)函數(shù)運(yùn)輸成本TC和年運(yùn)貨量AC作為博弈方，

式中:Whw為貨物重量;RTPA 為每年周轉(zhuǎn)次數(shù);My為年費(fèi)用。要求運(yùn)輸成本TC最小和年運(yùn)貨量AC最大。

約束條件選定:

25 000 ≤DWT ≤500 000;L/B ≥6;L/D ≤6;L/T ≤19;T ≤0.45DWT0.31;T ≤0.7D+0.7;0.63 ≤CB≤0.75;L ≤274.32;14 ≤VK≤18;Fn ≤0.32;GMT=KB+BMT- KG ≥0.07B。

式中:DWT 為載重量;Fn 為傅汝德數(shù);GMT為初穩(wěn)性高;KB 為浮心高;BMT為穩(wěn)性半徑;KG 為重心高度。

2.1 策略空間計(jì)算

1)采用序列二次規(guī)劃(SQP)分別對目標(biāo)函數(shù)TC和AC進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 單目標(biāo)優(yōu)化計(jì)算結(jié)果Tab.1 Computing results of single-objective optimization

2)根據(jù)式(3)，分別對目標(biāo)函數(shù)求偏導(dǎo)，依據(jù)單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果計(jì)算影響因子:

δL={906.7551，0.0075};δB={6235.1，-0.0081};δD={-692.5211，-0.0748};δT={17492，-0.2089};δCB={376069，1.5098};δVK={12106，0.2020}。

3)模糊聚類分析

δ={δL，δB，δD，δT，δCB，δVK}={δ1，δ2，δ3，δ4，δ5，δ6}為影響因子全體，每個(gè)因子δi由一組數(shù)據(jù){δi1，δi2}表征。建立δ 的模糊相似矩陣R=(rij)6×6，其中xi和xj的相似度 rij采用絕對值減數(shù)法 rij=計(jì)算［11］，則相似矩陣R 計(jì)算結(jié)果為:

采用傳遞閉包法得:

所以R4是R 的傳遞閉包t(R)。設(shè)為模糊等價(jià)矩陣，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)數(shù)量，取截值λ=0.9941，將δ 分成2 類:

經(jīng)模糊聚類的結(jié)果得:博弈方年運(yùn)貨量AC的策略空間S1={L，B，D，T，VK}，博弈方運(yùn)輸成本TC的策略空間S2={CB}。

2.2 Nash 均衡計(jì)算

分別以策略空間S2的參數(shù)優(yōu)選S1的5 個(gè)參數(shù)(即以運(yùn)輸成本TC的優(yōu)選參數(shù)值CB作為年運(yùn)貨量AC優(yōu)化的初始值)和以S1的參數(shù)優(yōu)選S2的參數(shù)進(jìn)行Nash 均衡求解，循環(huán)次數(shù)為200，得到200 個(gè)非劣解，TC和AC之間的非劣解的散點(diǎn)圖分布如圖2和圖3所示。

將圖2 中年運(yùn)貨量AC最大值用直線連接，根據(jù)運(yùn)輸成本TC由小到大得到5 個(gè)備選方案，具體參數(shù)見表2。圖3 散點(diǎn)成線性分布，根據(jù)年運(yùn)貨量由大到小得到5 個(gè)備選方案(見表3)。

圖2 非劣解散點(diǎn)圖Fig.2 Scatter plot of non-inferior

圖3 非劣解散點(diǎn)圖Fig.3 Scatter plot of non-inferior

表2 Nash 均衡博弈模型優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization solutions of nash equilibrium model

表3 Nash 均衡博弈模型優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization solutions of nash equilibrium model

從多目標(biāo)優(yōu)化問題定義講，圖2和圖3 中的解都能作為式(1)的可行解，不同的優(yōu)選方案得到不同的理想解。圖2 優(yōu)選結(jié)果明顯優(yōu)于圖3，圖2 中方案A(即表2 中方案1 的優(yōu)選參數(shù))為得益最佳的優(yōu)選方案，滿足運(yùn)輸成本T 最小和年運(yùn)量AC最大。通過與文獻(xiàn)［2］的比較，應(yīng)用Nash 均衡策略求解多目標(biāo)問題非劣解，可操作性強(qiáng)，較Pareto 解集更易控制。

非合作Nash 均衡博弈指各博弈方以競爭方式，并以自身的最佳得益為決策目標(biāo)，其博弈結(jié)果可能對其他博弈方不利。通過計(jì)算策略空間的Nash 均衡解較優(yōu)，但不能使各博弈方和整體性達(dá)到最優(yōu)。

3 結(jié) 語

本文以散貨船的年運(yùn)貨量、運(yùn)輸成本為主要目標(biāo)進(jìn)行了主尺度方案的優(yōu)選。通過對比結(jié)果可知，Nash均衡博弈法能夠快速、有效地選擇船舶主尺度，對于不同的設(shè)計(jì)要求，能使各目標(biāo)函數(shù)以自身的得益最大為目標(biāo)，獲得各目標(biāo)函數(shù)之間的最優(yōu)均衡解。在船型方案的優(yōu)選中，為設(shè)計(jì)者提供更多的選擇方案。

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