柴傳國，皮愛國，武海軍，黃風雷

（北京理工大學爆炸科學與技術(shù)國家重點實驗室，北京100081）

彈體在著靶時通常存在一定傾角，彈頭在非軸對稱力作用下使得彈體從開坑區(qū)就發(fā)生偏轉(zhuǎn)，彈體偏轉(zhuǎn)結(jié)束時的彈體姿態(tài)和速度對后續(xù)侵深計算會產(chǎn)生重要影響。目前應(yīng)用較廣的Forrestal公式只給出了彈頭在開坑區(qū)的阻力，并未給出彈頭表面的應(yīng)力形式［1－4］，因此難以計算彈頭表面應(yīng)力對彈體產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)力矩，給準確計算彈體偏轉(zhuǎn)結(jié)束時的彈體姿態(tài)和速度等參量帶來困難，并影響了開坑區(qū)彈體偏轉(zhuǎn)角度和開坑區(qū)結(jié)束時彈體速度的計算精度［5－7］。為了研究彈體的姿態(tài)偏轉(zhuǎn)角度，需要對彈頭表面在開坑區(qū)的侵徹阻力的清晰描述。本文中基于此開展彈頭曲徑比為2和4.55的卵形彈體在400、600和800m／s速度下的混凝土侵徹實驗。采用最小二乘法對實驗數(shù)據(jù)進行分析，基于分析結(jié)果計算了開坑區(qū)的侵深和速度，并與同等條件下采用Forrestal公式的計算結(jié)果進行了對比，得到相應(yīng)的公式的適用范圍。

1 Forrestal公式

在混凝土侵徹阻力計算中應(yīng)用最廣的是Forrestal公式，其將彈體侵徹半無限混凝土靶的過程可分為開坑區(qū)和隧道區(qū)2個階段。M.J.Forrestal等［2］認為開坑區(qū)的侵徹阻力隨開坑深度線性增加，并認為開坑深度是彈體直徑d的2倍，開坑區(qū)（0＜z≤2d）和隧道區(qū)（z＞2d）阻力形式為：

式中：z是彈軸方向的侵徹深度，F(xiàn)是彈體的侵徹阻力，c是開坑區(qū)的侵徹阻力系數(shù)，v1是開坑區(qū)結(jié)束時的彈體速度，vs是彈體初始撞擊速度，v是彈體侵徹的瞬時速度，a是彈身半徑，S是靶體靜態(tài)阻力系數(shù)，fc是靶體的無側(cè)限抗壓強度，m是彈體質(zhì)量，N是彈頭系數(shù)，ρ是靶體密度，ψ是彈頭的曲徑比。

M.J.Forrestal等［2］通過邊界條件和初始條件求解開坑區(qū)侵徹阻力方程得到開坑區(qū)的侵徹阻力系數(shù)c和開坑區(qū)結(jié)束時的彈體速度v1：

由上述事實可知，M.J.Forrestal等［2］提出的開坑區(qū)侵徹阻力滿足線性關(guān)系的假設(shè)，不是基于混凝土侵徹實驗數(shù)據(jù)，而是將基于土壤侵徹的加速度曲線提出的開坑區(qū)的侵徹阻力與侵徹深度滿足線性關(guān)系的假設(shè)，未作任何修正地直接應(yīng)用于混凝土侵徹。開坑區(qū)阻力系數(shù)c是在上述假設(shè)下，基于混凝土侵徹實驗數(shù)據(jù)，由隧道區(qū)和開坑區(qū)的交界處阻力相等的邊界條件得到。因此，描述混凝土侵徹問題的Forrestal公式的參數(shù)都是基于實驗數(shù)據(jù)，能較好地計算混凝土的侵徹深度。

但上述求解過程中人為定義開坑區(qū)深度為2d，和開坑區(qū)阻力形式為線性關(guān)系，并不能反應(yīng)真實的物理過程，也不能給出開坑區(qū)的侵徹阻力的應(yīng)力表達式。Chen Xiao－wei等［5］在計算開坑區(qū)彈體姿態(tài)偏轉(zhuǎn)時采用Forrestal公式給出的開坑區(qū)總侵徹阻力的分力進行彈體偏轉(zhuǎn)的計算，這一方法由于Forrestal公式阻力形式的限制而無法準確計算彈體在非軸對稱情況下的彈體阻力和偏轉(zhuǎn)力矩，因而對彈體姿態(tài)偏轉(zhuǎn)的預估帶來困難。

2 實驗研究

實驗使用2種卵形彈體，彈頭的曲徑比分別為2和4.55（文中稱為OP2型彈和OP5型彈）。彈身直徑d均為40mm，彈身長度L均為160mm，彈體材料為30CrMnSiNi2A高強度合金鋼，通過改變彈體內(nèi)部開孔深度和開孔直徑確保彈體質(zhì)量均為1.4kg以及彈體質(zhì)心處于彈體中部，圖1給出了2種彈體的結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 2種型號彈體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of two kind of ogive－nose projectiles

實驗用混凝土圓柱靶體直徑是1.2m，高度是1.2m，側(cè)面采用3mm厚鋼板圍箍?；炷恋臉藴柿⒎襟w塊壓縮強度是18.5MPa，密度是2 238kg／m3。實驗采用北京理工大學爆炸科學與技術(shù)國家重點實驗室炮管內(nèi)徑152mm的一級氣體炮作為加載裝置。采用高速攝影儀記錄彈體的著靶速度和著靶姿態(tài)。圖2所示是OP2型彈在初始撞擊速度為431m／s時的開坑區(qū)照片。

圖2 侵徹過程中開坑區(qū)照片F(xiàn)ig.2 Pictures of crater region during penetration process

OP2型彈和OP5型彈在不同撞擊速度時，開坑區(qū)的彈體速度和侵深數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 開坑區(qū)在侵徹過程中的數(shù)據(jù)Table 1 Experimental data of crater region during penetration process

3 最小二乘法分析

為了探討開坑區(qū)彈頭的應(yīng)力表達式，對開坑區(qū)的侵徹實驗數(shù)據(jù)采用最小二乘法進行擬合，分析開坑區(qū)的侵徹阻力形式，并對擬合結(jié)果進行檢驗。在擬合分析開坑區(qū)阻力形式時，采用開坑區(qū)總的動能消耗ΔE進行擬合，而在檢驗開坑區(qū)阻力的擬合分析結(jié)果時，采用開坑區(qū)不同侵深時的速度進行擬合。由于在擬合分析開坑區(qū)阻力形式時僅使用了初態(tài)和終態(tài)2個速度點，而檢驗擬合得到的阻力形式時則采用了侵徹過程的多個速度點，保證了檢驗過程的有效性。

參考M.J.Forrestal等［2］對侵徹阻力的描述，認為開坑區(qū)的侵徹阻力與靶體密度ρ、靶體無側(cè)限抗壓強度fc、彈體直徑d、彈頭系數(shù)N和侵徹速度v有關(guān)，設(shè)開坑過程中彈頭表面應(yīng)力形式為：

當開坑區(qū)侵深zi時，彈頭的軸向阻力可表示為：

式中：A和B均為待定系數(shù)，r是彈頭的曲率半徑，a是彈身半徑，μ是摩擦系數(shù)，φ0是彈頭侵徹的初始角度，φ是侵深為zi時的角度，如圖3所示。

圖3 彈頭參量示意圖Fig.3 Penetration parameters of ogive－nose projectile

將開坑區(qū)侵深分成一系列小的位移δz，每個小位移內(nèi)彈體速度和彈靶接觸面積均恒定，則通過式（4）可求得侵深zi時的開坑區(qū)阻力F（zi）。由侵深zi時的開坑區(qū)侵徹阻力F（zi）和小位移δz可求得在每一個小位移δz內(nèi)的彈體動能變化δEi，進而求得小位移δz結(jié)束時的侵徹速度vi和下個小位移δz初始時刻的侵徹阻力F（zi＋1）。不斷重復上述過程，得到開坑區(qū)每個侵深時的速度和位移關(guān)系。具體過程可分別計算：，然后代入式（3）～（4）。當計算侵徹深度zi與開坑侵深zc相等時，停止計算，輸出用待定系數(shù)A和B表示的彈體開坑侵深zc時的侵徹速度和動能消耗ΔEi，摩擦系數(shù)取0.01。

采用系數(shù)A和B來表示的彈體開坑侵深zc時消耗的動能ΔEi，基于最小二乘法對實驗測得的開坑過程中的消耗的動能ΔE進行擬合，得到相同侵深時計算得到的消耗的彈體動能ΔEi與實驗值偏差的平方和最小時的系數(shù)A和B，開坑侵深zc、撞擊速度vs、開坑侵深對應(yīng)的侵徹速度vc和彈體動能消耗ΔEi，如表2所示。

表2 最小二乘法擬合用的數(shù)據(jù)Table 2 Parameters for least square fitting

取表1中最大侵深為最小二乘法擬合使用的開坑侵深zc，取OP2型彈體的開坑侵深zc為3個速度下的平均值0.128m，OP5型彈體的開坑侵深zc為3個速度下的平均值0.152m。其中，對OP2型彈的數(shù)據(jù)擬合得到A＝1.715×10－7，B＝1.486×10－1，對OP5型彈 的 數(shù) 據(jù) 擬 合 得 到 A ＝ 3.67×10－7，B ＝1.671×10－1，擬合結(jié)果如圖4所示。

圖4 最小二乘法對彈體開坑過程中耗能的擬合分析Fig.4 Fitted curves of kinetic energy decrease during cratering

將擬合得到的A和B的值代入式（3）后比較阻力的靜態(tài)部分和慣性部分的大小，可知開坑過程中侵徹阻力中的靜態(tài)部分比慣性部分小8個數(shù)量級，可忽略忽略侵徹過程中阻力中的靜態(tài)部分的影響，只考慮阻力中的慣性部分，可將開坑過程中侵徹阻力的彈頭表面應(yīng)力形式表示為：

將式（5）在彈頭區(qū)域進行面積分得到開坑過程中所受到的阻力，并與Forrestal公式對開坑區(qū)侵徹阻力描述進行比較，求解了不同開坑侵深時的侵徹速度，并與高速攝影儀記錄到的不同撞擊速度下彈體侵徹速度進行了比較，如圖5～6所示。需要說明的是，F(xiàn)orrestal公式中的開坑侵深為2倍彈體直徑，而OP2型和OP5型彈在3個撞擊速度下的實際開坑侵深分別是0.09、0.11和0.13m以及0.12、0.15和0.11m，均大于2倍的彈體直徑。由于Forrestal公式中的侵徹阻力系數(shù)c的計算需要vs和v1這2個速度點，但通過實驗難以測得準確的v1，因此使用實驗中得到的vc近似代替，vc為對應(yīng)侵徹深度zc時的速度，進而得到Forrestal公式的計算結(jié)果。

圖5 OP2型彈開坑區(qū)侵徹速度和侵深的關(guān)系Fig.5 Relation between penetration velocity and penetration depth during cratering

圖6 OP5型彈開坑區(qū)速度和侵深的關(guān)系Fig.6 Relation between penetration velocity and penetration depth during cratering

由圖5（a）和6（a）中可以看出，撞擊速度在400m／s速度區(qū)域時，F(xiàn)orrestal公式能更好地描述彈體的速度變化。由于Forrestal公式認為開坑過程中阻力主要由靜態(tài)部分組成，因此可以認為在撞擊速度較低時，阻力中的靜態(tài)部分起主要作用。由圖5（c）和6（c）可以看出，撞擊速度在800m／s速度區(qū)域時，式（5）能較好地描述彈體的速度變化。式（5）表明開坑過程中阻力主要由慣性部分組成，因此可以認為，當彈體的撞擊速度進入800m／s區(qū)域時，阻力中的慣性部分起主要作用。由圖5（b）和6（b）可以看出，撞擊速度在600m／s速度區(qū)域時，實驗點散落在Forrestal公式和式（5）之間，此時，阻力中的靜態(tài)部分和慣性部分共同起作用。

由表2可知，OP2型彈在初始撞擊速度分別為431、608和768m／s時，開坑區(qū)消耗的動能分別占彈體初始動能的28.90%、18.17%和25.81%。OP5型彈在初始撞擊速度分別為419、608和780m／s時，開坑區(qū)消耗的動能分別為彈體初始動能的28.39%、21.90%和27.58%。開坑區(qū)彈體消耗的動能占彈體初始動能的比例較大，因此，研究彈體在開坑區(qū)的侵徹阻力的準確表達式對計算彈體剩余侵徹能力和彈體在開坑區(qū)的姿態(tài)偏轉(zhuǎn)很有意義。

4 結(jié) 論

（1）Forrestal公式能較好地描述卵形彈體速度在接近400m／s時，開坑區(qū)的侵徹阻力和速度變化，擬合得到的式（5）能較好地描述卵形彈體速度在接近800m／s時，開坑區(qū)的侵徹阻力和速度變化。

（2）彈體速度在接近400m／s時，開坑過程中的侵徹阻力以靜態(tài)部分為主。隨著撞擊速度的增加，侵徹阻力中的慣性部分越來越大。當彈體撞擊速度接近800m／s時，開坑過程中的侵徹阻力以慣性部分為主，此時，可以忽略阻力中的靜態(tài)部分。當撞擊速度介于二者之間的速度區(qū)域時，靜態(tài)部分和慣性部分對侵徹阻力共同起作用。

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