孫婷婷

(東北財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧大連116023)

一般情況下，計(jì)量回歸模型很重要的一個(gè)假設(shè)條件就是回歸模型殘差的同方差性．這種同方差性才能保證回歸系數(shù)的無偏性、有效性與一致性，然而當(dāng)回歸殘差的方差產(chǎn)生了所謂的異方差性時(shí)，即不能夠保證相同方差，回歸估計(jì)系數(shù)的一致性和有效性就無保證，從而導(dǎo)致回歸系數(shù)估計(jì)的偏差．在實(shí)際的金融時(shí)間序列中，回歸殘差大部分存在一定的異方差性．為應(yīng)對(duì)這種異方差性，大量的研究為消除金融時(shí)間序列這種異方差性做出了貢獻(xiàn)．1982年恩格爾首先提出了自回歸條件異方差模型，即ARCH模型(Auto-regressive Conditional Heteroskedasticity model)，1986年，波勒斯勒夫?qū)RCH模型進(jìn)行了推廣，發(fā)展出廣義的ARCH模型，即GARCH模型(Generalized Auto-regressive Conditional Heteroscedasticity model)［1］．在隨后的研究中，通過對(duì)傳統(tǒng)的GARCH模型進(jìn)行各種變形，讓其發(fā)展得越來越滿足現(xiàn)實(shí)的金融時(shí)間序列模型，從而可以有效地度量波動(dòng)性與收益性的關(guān)系，并在實(shí)證檢驗(yàn)中表現(xiàn)出良好的適用性．

1 GARCH模型的理論介紹

1．1 關(guān)于ARCH模型的定義

ARCH模型［3］是最基本的模型．其基本思想是擾動(dòng)項(xiàng)的條件方差依賴于它的前期值．對(duì)于常見的回歸模型:

若滿足εt～I(xiàn)ID(0，λ2)，則稱模型(2)是自回歸條件異方差模型，即ARCH模型，同時(shí)稱序列ut服從q階的ARCH過程，記作ut～ARCH(q)．模型換種寫法為:

對(duì)于時(shí)間 t，ut的條件期望為0，條件方差為 ht．為了保證 ht＞0，要求 α0＞0，αi≥0(i=1，2，3，4…q)．同時(shí)，為保證ARCH過程的平穩(wěn)性，要求為均值方程，而式(2)或式(4)稱為條件方差方程．

從ARCH模型中可以看出，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的波動(dòng)具有一定的記憶性，即當(dāng)期隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差是過去有限項(xiàng)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)值平方的回歸，也就是說，如果前期隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差變化大，那么當(dāng)期隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差往往也隨著變化大，反之也如此．自回歸階數(shù)q決定了沖擊的影響存留于后續(xù)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)方差中的時(shí)間長度，q值越大，波動(dòng)持續(xù)的時(shí)間就越長．因此，ARCH模型具有描述波動(dòng)的聚類性的能力，式(1)和式(2)構(gòu)成的模型被稱為回歸-ARCH模型．通常用于對(duì)主體模型的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行建模分析可以利用ARCH模型，充分提取殘差中的信息，使最終的模型殘差εt成為白噪聲序列．

1．2 關(guān)于GARCH模型的定義

使用ARCH模型解釋ut的條件方差ht依賴于很多時(shí)刻之前的變化量的現(xiàn)象，階數(shù)q必須是很大的值．為了避免估計(jì)大量的參數(shù)，考慮使用GARCH模型［3］．相比于ARCH，GARCH模型的優(yōu)點(diǎn)在于:可以用較為簡單的GARCH模型來代表一個(gè)高階ARCH模型，從而使得模型的識(shí)別和估計(jì)都變得比較容易．若式(4)變成如下形式:

則稱序列服從GARCH(p，q)過程．可見，ARCH(q)過程只是 GARCH(p，q)過程的一個(gè)特例．為保證GARCH過程的平穩(wěn)性，要求特征產(chǎn)生的影響將隨時(shí)間的推移而逐漸衰減．以GARCH(1，1)模型為例，即ht=α0+α1u2t－1+ β1ht－1，兩邊取期望得:

從式(7)可以看出，當(dāng)t時(shí)刻某外部沖擊使條件方差ht發(fā)生變化時(shí)，t后一段時(shí)間內(nèi)條件方差都會(huì)受到影響，其大小取決于(α1+β1)m．(α1+β1)＜1說明該沖擊表明對(duì)未來各時(shí)刻的影響呈現(xiàn)指數(shù)衰減趨勢(shì)，(α1+β1)稱為衰減系數(shù)．(α1+β1)越大，衰減的速度越慢．一般來說，投資者普遍認(rèn)為金融資產(chǎn)的收益率與其風(fēng)險(xiǎn)成正比，風(fēng)險(xiǎn)越大，預(yù)期的收益越高，反之亦然．為了更好地將風(fēng)險(xiǎn)與收益聯(lián)系起來，將條件方差ht(或者標(biāo)準(zhǔn)差為影響序列yt本身的解釋變量之一(ht代表預(yù)期風(fēng)險(xiǎn))，引入ARCH模型的均值方程中，這種模型被稱為ARCH-M(ARCH-in-mean)模型．表達(dá)式為:

參數(shù)γ度量了條件方差ht對(duì)yt的影響程度，它是風(fēng)險(xiǎn)和收益之間的一種權(quán)衡．如果條件方差ht的結(jié)構(gòu)為 GARCH(p，q)過程，即:

模型(11)稱為GARCH-M模型．該模型常用在資產(chǎn)的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)與預(yù)期收益相關(guān)性的金融領(lǐng)域．

2 GARCH模型的應(yīng)用

2．1 上證地產(chǎn)指數(shù)序列的周數(shù)據(jù)

在本文中，利用中文數(shù)據(jù)庫資源—RESSET金融研究數(shù)據(jù)庫，選取了上證地產(chǎn)指數(shù)(000006)從1994/12/09到2012/11/16的共900條周數(shù)據(jù)，選取其中的每周五收盤價(jià)．

利用RESSET網(wǎng)站上的數(shù)據(jù)，輸入篩選條件，導(dǎo)出excel表．將表中數(shù)據(jù)導(dǎo)入Eviews6．0軟件中，進(jìn)行模型應(yīng)用．

2．2 ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

地產(chǎn)指數(shù)與股票價(jià)格指數(shù)有相似之處，地產(chǎn)指數(shù)序列短期內(nèi)可以用隨機(jī)游走模型來描述，但是模型的殘差常常會(huì)出現(xiàn)“聚類現(xiàn)象”，即所謂的條件異方差性(ARCH效應(yīng))．為了描述和消除這種效應(yīng)，通常使用條件異方差模型．

2．2．1 初始判斷ARCH效應(yīng) 新建一個(gè)序列對(duì)象DC，用來保存上證地產(chǎn)指數(shù)周五收盤價(jià)數(shù)據(jù)．該序列的折線圖如圖1．

對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)處理，新建一個(gè)序列對(duì)象，命名為LNDC，LNDC=log(DC)，用來保存上證地產(chǎn)指數(shù)周五收盤價(jià)數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)序列．LNDC序列的折線圖如圖2．

從圖1和圖2可以看到，上證地產(chǎn)指數(shù)周五收盤價(jià)數(shù)據(jù)原序列和對(duì)數(shù)序列總體上來說有類似于隨機(jī)游走過程的形式．

圖1 上證地產(chǎn)指數(shù)周收盤價(jià)序列的折線圖

圖2 上證地產(chǎn)指數(shù)周收盤價(jià)對(duì)數(shù)序列的折線圖

2．2．2 建立主體模型 從圖1和圖2的分析，初步選定一階自回歸模型作為主體模型，模型形式為

新建方程

估計(jì)結(jié)果如表1和表2．

表1 一階自回歸模型方程輸出結(jié)果1

表2 一階自回歸模型方程輸出結(jié)果2

常數(shù)項(xiàng)c的相伴概率0．099 2＞0．05，沒有通過顯著性檢驗(yàn)，因此從方程中剔除，重新定義方程為

得到估計(jì)結(jié)果如表3和表4．

表3 調(diào)整后的一階自回歸模型方程輸出結(jié)果1

表4 調(diào)整后的一階自回歸模型方程輸出結(jié)果2

從估計(jì)結(jié)果來看，系數(shù)通過顯著性檢驗(yàn)，擬合優(yōu)度達(dá)到0．989 457，初步看來效果很好，再看LNDC序列殘差圖，如圖3．

從圖3可以看到，殘差的波動(dòng)有聚類的現(xiàn)象，波動(dòng)在一些時(shí)間內(nèi)比較小(比如1998年、2000年左右)，在一些時(shí)間內(nèi)比較大(比如1994年、2008年左右)．再看殘差平方序列圖，如圖4，也出現(xiàn)了聚類現(xiàn)象．這些說明誤差項(xiàng)可能具有條件異方差性(即ARCH效應(yīng))．

2．2．3 ARCH 效應(yīng)檢驗(yàn)

(1)ARCH-LM檢驗(yàn):為了檢驗(yàn)ARCH效應(yīng)利用ARCH-LM檢驗(yàn)得到檢驗(yàn)結(jié)果，如表5．

表5中第二行Obs*R-squared，即為ARCH-LM統(tǒng)計(jì)量．可以看到該統(tǒng)計(jì)量的相伴概率小于0．05，拒絕沒有ARCH效應(yīng)的原假設(shè)，說明殘差序列存在ARCH效應(yīng)．

(2)殘差平方序列的相關(guān)分析圖和殘差平方的Q統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn):通過殘差平方序列的相關(guān)分析圖來檢驗(yàn)ARCH效應(yīng)，滯后階數(shù)取樣本數(shù)900的平方根30，得到殘差平方序列的相關(guān)分析圖5．

圖3 一階自回歸模型的殘差圖

圖4 一階自回歸模型的殘差平方序列圖

表5 RCH-LM檢驗(yàn)結(jié)果

由圖5可以看到，殘差平方序列的自相關(guān)系數(shù)(Autocorrelation)在1、3、5、8等處顯著不為0．同時(shí)，殘差平方的 Q 統(tǒng)計(jì)量(Q-Stat．)在 22 處相伴概率(Prob．)小于 0．05．這些都說明殘差序列存在ARCH效應(yīng)．

2．3 建立條件異方差模型

2．3．1 建立GARCH(1，1)模型 根據(jù)如上析，認(rèn)為一階自回歸模型的殘差項(xiàng)具有ARCH效應(yīng)，因此利用最常用的GARCH(1，1)模型重新建模．建一個(gè)Equation對(duì)象，在估計(jì)方法中選擇ARCH模型，得到GARCH(1，1)模型估計(jì)結(jié)果如表6、表7和表8．

圖5 殘差平方序列的相關(guān)分析圖

表6 GARCH(1，1)模型輸出結(jié)果

表7 方差方程輸出結(jié)果1

表8 方差方程輸出結(jié)果2

從表6，7，8，可以看到，各參數(shù)通過顯著性檢驗(yàn)．條件方差方程的系數(shù)(α1+β1)=0．959＜1，滿足參數(shù)約束條件，說明條件方差平穩(wěn)．與表2的結(jié)果比較，雖然擬合優(yōu)度并沒有改善，但是AIC和SC明顯變小，說明GARCH(1，1)模型對(duì)一階自回歸模型有所改善．

2．3．2建立GARCH-M模型建立GARCH-M模型，分別將條件標(biāo)準(zhǔn)條件方差ht加入均值方程中，估計(jì)結(jié)果如表9至表14．

表9 GARCH-M模型(加入條件標(biāo)準(zhǔn)差)輸出結(jié)果

表10 方差方程輸出結(jié)果1

表11 方差方程輸出結(jié)果2

表12 GARCH-M模型(加入條件方差)輸出結(jié)果

表13 方差方程輸出結(jié)果1

表14 方差方程輸出結(jié)果2

從結(jié)果看出，每個(gè)參數(shù)都通過了顯著性檢驗(yàn)．系數(shù)(α1+β1)=0．957 5＜1，滿足參數(shù)約束條件．此外，作為衰減系數(shù)，(α1+β1)值相對(duì)大，(0．957 5)100=0．013，這表明一定的沖擊會(huì)對(duì)上證地產(chǎn)指數(shù)造成長時(shí)間的波動(dòng)，要100周左右的時(shí)間才能衰減到0．013．與文獻(xiàn)［4］中結(jié)論一致．

2．3．3 GARCH-M模型殘差的ARCH效應(yīng)檢驗(yàn) 為檢驗(yàn)GARCH-M模型是否消除了ARCH效應(yīng)，做ARCH-LM檢驗(yàn)，結(jié)果如表15．

表15 ARCH-LM檢驗(yàn)結(jié)果

結(jié)果表明，ARCH-LM統(tǒng)計(jì)量的相伴概率0．85＞0．05，接受原假設(shè)，即沒有ARCH效應(yīng)的，說明殘差序列不存在ARCH效應(yīng)．

再觀察GARCH-M模型的殘差平方序列相關(guān)分析圖，滯后階數(shù)取30，如圖6．

圖6 GARCH-M模型殘差平方序列的相關(guān)分析圖

圖6 可以看到，GARCH-M模型殘差平方序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)(Patial Correlation)各滯后階數(shù)都顯著為0．同時(shí)，殘差平方的Q統(tǒng)計(jì)量相伴概率大于0．05．這些都說明GARCH-M模型殘差序列已經(jīng)不存在ARCH效應(yīng)．

3 條件異方差模型的預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)結(jié)果如圖7，其中3 024．5為2012年11月23日上證地產(chǎn)指數(shù)收盤價(jià)的預(yù)測(cè)值，2 769．6～3 302．8為加減2倍標(biāo)準(zhǔn)誤之后的范圍．GARCH模型預(yù)測(cè)的輸出結(jié)果比一般方程預(yù)測(cè)多了一項(xiàng)對(duì)條件方差的預(yù)測(cè)，條件方差的預(yù)測(cè)值為0．001 897．

圖7 2008年11月23日上證地產(chǎn)指數(shù)收盤價(jià)預(yù)測(cè)

4 結(jié)論

本文選取了上證地產(chǎn)指數(shù)(000006)從1994/12/09到2012/11/16的900條周五收盤價(jià)數(shù)據(jù)，通過該時(shí)間序列判斷其具有ARCH效應(yīng)，并建立了GARCH-M模型以消除ARCH效應(yīng)．最后利用加入了條件標(biāo)準(zhǔn)差GARCH-M模型進(jìn)行外推一期預(yù)測(cè)，即對(duì)2012年11月23日上證地產(chǎn)指數(shù)收盤價(jià)進(jìn)行外推預(yù)測(cè)．預(yù)測(cè)值為3 024．5，查閱RESSET金融研究數(shù)據(jù)庫發(fā)現(xiàn)，2012年11月23日上證地產(chǎn)指數(shù)收盤價(jià)為3 083．66這樣的誤差是在允許的范圍內(nèi)，表明該方法在一定程度上可以有效地預(yù)測(cè)上證地產(chǎn)指數(shù)的周收盤價(jià)．

［1］金成曉，曹陽．基于非參數(shù)ARCH模型的滬深指數(shù)波動(dòng)性研究［J］．山西大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，37(3):62－67．

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