王 強(qiáng)，崔希民，張恒璟，杜俊秀

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 地球科學(xué)與測(cè)繪工程學(xué)院，北京100083；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，遼寧 阜新123000）

GPS水準(zhǔn)使得大地水準(zhǔn)面或高程異常變?yōu)橹苯佑^測(cè)量，如果擬合方法求定的大地水準(zhǔn)面差距或高程異常有足夠的精度，則GPS水準(zhǔn)可在一定范圍內(nèi)代替低等級(jí)的水準(zhǔn)測(cè)量。利用GPS觀測(cè)得到的大地高，通過高程擬合，計(jì)算出所需要的正常高，可以成倍提高測(cè)量生產(chǎn)作業(yè)效率，且為通過GPS測(cè)量確定大地水準(zhǔn)面的研究提供參考［1-2］。

GPS高程曲面擬合的方法有很多，多項(xiàng)式曲面擬合模型廣泛應(yīng)用在小區(qū)域控制測(cè)量中［3］。在擬合模型中，法方程病態(tài)時(shí)最小二乘解撓動(dòng)較大的問題直接影響擬合參數(shù)的求解［4-5］。本文通過實(shí)例，對(duì)多項(xiàng)式擬合模型進(jìn)行分析，并討論中心化處理和擬合點(diǎn)位置分布對(duì)提高GPS高程擬合精度的影響。用自編GPS高程軟件，比較各次擬合方法的優(yōu)劣，從而探究在實(shí)際工程中采用多項(xiàng)式擬合GPS水準(zhǔn)代替水準(zhǔn)測(cè)量的現(xiàn)實(shí)性。

1 多項(xiàng)式曲面擬合模型

多項(xiàng)式曲面法擬合似大地水準(zhǔn)面的基本原理是將高程異常近似地看作一定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)坐標(biāo)的曲面函數(shù)，用已聯(lián)測(cè)水準(zhǔn)的GPS點(diǎn)（也稱為公共點(diǎn)）高程異常擬合這一函數(shù)，求得函數(shù)的擬合系數(shù)，進(jìn)而確定一定區(qū)域內(nèi)高程異常與點(diǎn)平面坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系。利用這一函數(shù)計(jì)算其他GPS點(diǎn)（也稱為待定點(diǎn)）的高程異常，最后求點(diǎn)的正常高。

多項(xiàng)式擬合方程的一般形式如下［6］：

其中

式中：ξi表示高程異常；a0，a1，a2，…an為擬合系數(shù)；εi為殘差。

式（2）中，如果取未知數(shù)一次項(xiàng)，則稱平面擬合；取所有的二次項(xiàng)，又稱二次多項(xiàng)式擬合；只取二次項(xiàng)中的交叉項(xiàng)，稱為相關(guān)平面擬合；取三次項(xiàng)，稱三次多項(xiàng)式擬合，以此類推。

2 擬合模型精度評(píng)定

2.1 內(nèi)符合精度

根據(jù)參與擬合計(jì)算已知點(diǎn)的值ξi′與擬合值ξ′i，用Vi＝ξi′-ξ′i求擬合殘差Vi，從而來求擬合內(nèi)符合精度，計(jì)算公式為

式中：μ為內(nèi)符合精度；n為參與計(jì)算的已知點(diǎn)個(gè)數(shù)。

2.2 外符合精度

為了檢查GPS高程異常擬合效果，在設(shè)計(jì)計(jì)算方案時(shí)，常會(huì)用一部分已知點(diǎn)作為公共點(diǎn)，而將另外一部分已知點(diǎn)作為檢核點(diǎn)參與擬合計(jì)算，根據(jù)檢核點(diǎn)的ξi′值與擬合值ξ′i，用式（4）計(jì)算外符合精度M，計(jì)算公式為

式中n為參于檢核的點(diǎn)數(shù)。

2.3 GPS水準(zhǔn)精度評(píng)定

1）用GPS水準(zhǔn)求出的GPS點(diǎn)間的正常高程差，在己知點(diǎn)間組成附合或閉合高程路線，按計(jì)算的閉合差與表1中允許殘差比較，來衡量GPS水準(zhǔn)所達(dá)到的精度［7］。

表1 水準(zhǔn)限差

2）檢核點(diǎn)擬合殘差△H＝H水-H擬。所以由誤差傳播定律可知：

即

由式（6）可得

式中：σ擬代表檢核點(diǎn)高程擬合中誤差；σ水代表水準(zhǔn)點(diǎn)的高程中誤差；σΔH代表檢核點(diǎn)的外符合精度。

評(píng)定GPS水準(zhǔn)所能達(dá)到的等級(jí)精度主要是由檢核點(diǎn)高程擬合中誤差評(píng)定。由式（7）可以看出，檢核點(diǎn)高程擬合中誤差小于檢核點(diǎn)的外符合精度。因此，評(píng)定參考的主要依據(jù)就是外符合精度。將外符合精度與限值做比較，就可以評(píng)定GPS水準(zhǔn)所能達(dá)到的等級(jí)精度。

3 中心化處理

當(dāng)法方程系數(shù)矩陣最大值與最小值之比過大時(shí)，會(huì)造成矩陣主對(duì)角線元素不占優(yōu)，法方程系數(shù)矩陣病態(tài)［8］。如果直接把X，Y代入模型，稱為非中心化處理。本文在利用這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，為了改善法方程系數(shù)矩陣的病態(tài)性，將測(cè)區(qū)坐標(biāo)中心化處理，先求出測(cè)區(qū)公共點(diǎn)坐標(biāo)分量的平均值，將測(cè)區(qū)點(diǎn)的平面坐標(biāo)進(jìn)行平移，平移的X，Y方向分量為該GPS測(cè)區(qū)中心點(diǎn)的X，Y坐標(biāo)，這個(gè)過程叫做中心化。中心化使得數(shù)值計(jì)算更為方便，并減少計(jì)算精度的損失。設(shè)中心點(diǎn)的坐標(biāo)為其模型為

在實(shí)驗(yàn)中要采用新的ΔX，ΔY坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算和模型檢驗(yàn)。

4 算例比較分析

4.1 采用數(shù)據(jù)

本測(cè)區(qū)總共13個(gè)已知控制點(diǎn)，都是與國(guó)家二等水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)的點(diǎn)，水準(zhǔn)精度為三等。同時(shí)有X，Y、大地高和水準(zhǔn)高，點(diǎn)號(hào)從G01—G13，測(cè)區(qū)的面積約為20km×25km，高程異常在15m左右。如果選取的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為N，則檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（13-N）個(gè)。測(cè)區(qū)控制點(diǎn)有大地經(jīng)緯度，也有大地坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)，本文只選擇直角坐標(biāo)，即坐標(biāo)格式為X，Y進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

4.2 擬合方案

擬合方案采用完全二次多項(xiàng)式擬合、非完全二次多項(xiàng)式擬合、一次多項(xiàng)式擬合和三次多項(xiàng)式擬合。在測(cè)區(qū)選擇的數(shù)據(jù)情況有：第一組在測(cè)區(qū)選擇7個(gè)公共點(diǎn)參與擬合計(jì)算，其余6個(gè)點(diǎn)為檢核點(diǎn)；第二組（參與擬合點(diǎn)在測(cè)區(qū)外圍進(jìn)行內(nèi)推）選擇9個(gè)公共點(diǎn)參與擬合計(jì)算，其余4個(gè)點(diǎn)為檢核點(diǎn)；第三組（參與擬合點(diǎn)在測(cè)區(qū)內(nèi)部進(jìn)行外推）選擇9個(gè)公共點(diǎn)參與擬合計(jì)算，其余4個(gè)點(diǎn)為檢核點(diǎn)。以上每一組都分為直接代入X，Y坐標(biāo)和中心化后代入兩種情況。三次多項(xiàng)式擬合選擇的擬合計(jì)算點(diǎn)個(gè)數(shù)固定為11個(gè)，檢核點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。（下列各表中“非”代表直接帶入X，Y 坐標(biāo)，“中”代表對(duì)坐標(biāo)中心化處理；“內(nèi)”代表內(nèi)符合精度，“外”代表外符合精度，單位為mm）

圖1 控制網(wǎng)略圖

第一組控制網(wǎng)的GPS數(shù)據(jù)：G01—G07為公共點(diǎn)，G08—G13為檢核點(diǎn)；

第二組控制網(wǎng)的GPS數(shù)據(jù)：G01—G09為公共點(diǎn)，G10—G13為檢核點(diǎn)；

第三組控制網(wǎng)的 GPS數(shù)據(jù)：G01、G02、G03、G04、G08、G10、G11、G12、G13 為公共 點(diǎn)，G05、G06、G07、G09在擬合區(qū)域外圍，為檢核點(diǎn)；

特別地，針對(duì)三次多項(xiàng)式擬合，G01—G11為參與擬合的公共點(diǎn)，G12—G13為檢核點(diǎn)。

4.3 擬合結(jié)果

通過對(duì)第一組、第二組和第三組數(shù)據(jù)分別進(jìn)行中心化和非中心化的完全二次多項(xiàng)式擬合、非完全二次多項(xiàng)式擬合、一次多項(xiàng)式擬合，利用間接平差原理求得擬合模型。

表2～5列出在不同擬合方式下所得到的擬合數(shù)、內(nèi)外符合精度和條件數(shù)。

表2 第一組擬合結(jié)果（7個(gè)點(diǎn)）

表3 第二組擬合結(jié)果（9個(gè)點(diǎn)內(nèi)推）

表4 第三組擬合結(jié)果 （9個(gè)點(diǎn)外推）

可以看出，特別是對(duì)于三次多項(xiàng)式擬合，直接代入坐標(biāo)計(jì)算擬合系數(shù)常數(shù)項(xiàng)過大，法方程嚴(yán)重病態(tài)，擬合結(jié)果不穩(wěn)定，內(nèi)外符合精度低，法方程條件數(shù)達(dá)到1039；中心化處理后，法方程的病態(tài)得到緩解，內(nèi)外符合精度提高，法方程條件數(shù)只有1013。

表5 三次多項(xiàng)式擬合結(jié)果（11個(gè)擬合點(diǎn)）

4.4 擬合結(jié)果比較分析

1）由表2～5數(shù)據(jù)分析可知，對(duì)于一次、不完全二次，中心化后的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果與直接代入坐標(biāo)擬合精度差不多。但是對(duì)于完全二次和三次多項(xiàng)式，中心化后的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果都比直接代入的精度高，模型可靠。特別是三次多項(xiàng)式擬合，中心化后可以顯著改善法方程的病態(tài)性，使結(jié)果穩(wěn)定，提高精度。

2）由前三組數(shù)據(jù)分析可知，內(nèi)外符合精度沒有必然的聯(lián)系。內(nèi)符合精度反映的是擬合模型的擬合精度，外符合精度反映的是轉(zhuǎn)換參數(shù)的有效性。內(nèi)符合精度高，不一定外符合精度就高，反之亦然。

3）由前三組數(shù)據(jù)分析可知，對(duì)于本測(cè)區(qū)而言，在坐標(biāo)代入方式和選擇公共擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)相同的情況下，完全二次多項(xiàng)式擬合的精度最高，一次多項(xiàng)式次之，不完全二次多項(xiàng)式精度最低，說明具體的測(cè)區(qū)有具體的適合模型。

4）第一組選擇擬合點(diǎn)數(shù)為7個(gè)，第二組選擇擬合點(diǎn)數(shù)為9個(gè)。由一、二組數(shù)據(jù)結(jié)果分析可知，在基準(zhǔn)擬合點(diǎn)分布大概相同的情況下，選擇的基準(zhǔn)擬合點(diǎn)數(shù)越多，擬合的模型內(nèi)外符合精度越高。

5）第二組和第三組選擇的基準(zhǔn)擬合點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，但是基準(zhǔn)擬合點(diǎn)的分布不一樣。第二組選擇的點(diǎn)位于測(cè)區(qū)的邊緣和內(nèi)部，實(shí)行的是內(nèi)推；第三組選擇的基準(zhǔn)擬合點(diǎn)位于集中的一個(gè)區(qū)域，實(shí)行的是外推。第二組內(nèi)符合精度稍微高于第三組，外符合精度明顯優(yōu)于第三組。由此分析可知，內(nèi)推模型明顯優(yōu)于外推模型。

6）三次與完全二次擬合相比較，擬合的次數(shù)和參數(shù)個(gè)數(shù)變多，但是內(nèi)外符合精度并沒有提高。由此分析可知，多項(xiàng)式擬合中，并不是擬合次數(shù)越高越好。

由上述結(jié)果可知，對(duì)于本測(cè)區(qū)而言，最合適的多項(xiàng)式擬合模型是基準(zhǔn)公共點(diǎn)均勻分布在測(cè)區(qū)外圍和內(nèi)部、具有適量多的公共點(diǎn)數(shù)、中心化后的完全二次多項(xiàng)式擬合模型。其外符合精度在11mm左右，經(jīng)計(jì)算，能夠達(dá)到四等水準(zhǔn)測(cè)量的精度。

5 結(jié)束語

GPS擬合高程精度在地形復(fù)雜地區(qū)，由于大地水準(zhǔn)面相對(duì)不規(guī)則，需要選取合適的函數(shù)模型構(gòu)造大地水準(zhǔn)面模型來接近真實(shí)的大地水準(zhǔn)面，這樣擬合的結(jié)果會(huì)較好，擬合高程精度將會(huì)提高。從本文討論中可知：

1）對(duì)于同類地形復(fù)雜情況，在GPS水準(zhǔn)擬合過程中，擬合模型一旦選定，擬合精度的高低還取決于基準(zhǔn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)、選取及分布。選取的基準(zhǔn)點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)該盡可能的多；選取的基準(zhǔn)點(diǎn)應(yīng)均勻分布在測(cè)區(qū)四周和中央（可以盡量避免外推），并反映出該測(cè)區(qū)真實(shí)地形，則經(jīng)過內(nèi)插所獲得的各點(diǎn)的擬合高程精度將進(jìn)一步提高。

2）在多項(xiàng)式擬合中，盡量對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行中心化處理，以得到更優(yōu)的效果。

3）不同的區(qū)域選用不同的擬合方法精度會(huì)不一樣，所以應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況，選擇不同的擬合方法。對(duì)于本區(qū)域的情況，可以用二次多項(xiàng)式擬合模型代替四等水準(zhǔn)測(cè)量。

［1］鄧罡.GPS高程擬合代替水準(zhǔn)測(cè)量研究［D］.長(zhǎng)沙：中南大學(xué)，2012.

［2］王增利，黃騰，鄧標(biāo).基于二次曲面的擬合推估法在GPS高程測(cè)量中的應(yīng)用［J］.測(cè)繪工程，2009，18（1）：51-53.

［3］李曉桓.GPS水準(zhǔn)擬合模型的優(yōu)選［J］.測(cè)繪通報(bào)，2003（7）：11-13.

［4］歸慶明，郭建鋒，邊少鋒.基于特征系統(tǒng)的病態(tài)性診斷［J］.測(cè)繪科學(xué)，2002，27（2）：13-15.

［5］徐天河，楊元喜.均方誤差意義下正則化解優(yōu)于最小二乘解的條件［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2004，29（3）：223-226.

［6］岳建平，岳東杰.工程GPS測(cè)量的精度及其應(yīng)用［J］.測(cè)繪通報(bào)，1999（11）：27-29.

［7］中華人民共和國(guó)國(guó)家技術(shù)監(jiān)督局.GB 12898—1991國(guó)家三、四等水準(zhǔn)測(cè)量規(guī)范［S］.北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，1991.

［8］張恒璟，程鵬飛，孫小榮.多項(xiàng)式擬合模型病態(tài)性問題的分析與應(yīng)用研究［J］.測(cè)繪通報(bào)，2012（7）：35-38.