秦海旭 吳國(guó)忱

（中國(guó)山東青島266580中國(guó)石油大學(xué)（華東）地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院）

引言

隨著油氣勘探工作的發(fā)展，勘探的難度不斷加大，油氣勘探進(jìn)入復(fù)雜構(gòu)造和巖性油氣藏勘探階段，勘探開(kāi)發(fā)的重點(diǎn)落在越來(lái)越復(fù)雜的非均質(zhì)儲(chǔ)層上.近年來(lái)碳酸鹽儲(chǔ)層研究受到越來(lái)越多的關(guān)注（熊翥，2005），其中裂縫是許多油氣藏中流體或者氣體的重要通道，因此了解裂縫儲(chǔ)集層的地震響應(yīng)，獲取裂縫發(fā)育方向，識(shí)別裂縫流體的性質(zhì)對(duì)于油氣藏勘探和開(kāi)發(fā)具有重要意義.利用縱波資料檢測(cè)裂縫是目前一個(gè)重要課題（Rüger，1997；Chichinina et al，2006；Downton，Gray，2006）.研究裂縫的常規(guī)方法是將裂縫看成散射體，用散射理論研究裂縫介質(zhì)的地震響應(yīng)（刁順等，1994a，b），但此方法的效率非常低.近年來(lái)將裂縫等效為高陡傾角裂縫介質(zhì)，運(yùn)用等效理論（Crampin，1985；Sayers，1988；Bakulin et al，2000a，b，c）將裂縫介質(zhì)等效為各向異性介質(zhì)，根據(jù)各向異性介質(zhì)理論研究裂縫介質(zhì)的響應(yīng)有了長(zhǎng)足的發(fā)展.實(shí)際地層中裂縫的形成受多種因素控制，其物理屬性復(fù)雜，表現(xiàn)出強(qiáng)烈的各向異性.由于上覆地層的壓力使得水平或低陡傾角裂縫存在較少，大多數(shù)為高陡傾角裂縫，因此本文采用裂縫介質(zhì)等效理論將高陡傾角裂縫等效為橫向各向同性（HTI）介質(zhì)便于實(shí)際應(yīng)用.

裂縫密度等裂縫特征參數(shù)是描述裂縫性儲(chǔ)集層的重要參數(shù)，從地震資料中得到裂縫特征參數(shù)對(duì)油氣田的勘探開(kāi)發(fā)具有重要意義.通過(guò)橫波分裂等手段已經(jīng)能夠提取裂縫介質(zhì)的裂縫特征參數(shù)（李文林，李承楚，1994；何樵登，陶春輝，1995），但橫波或多波采集處理花費(fèi)較大，不便于實(shí)際推廣.研究表明，縱波對(duì)各向異性介質(zhì)的振幅響應(yīng)也很強(qiáng)烈（Mallick，F(xiàn)razer，1991；Lynn et al，1995，1996a，b），且利用縱波資料也能識(shí)別裂縫特征響應(yīng)（Thomsen，1986；Tsvankin，Thomsen，1995；Lynn et al，1996a，b）.國(guó)內(nèi)很多研究人員對(duì)裂縫密度的地震響應(yīng)進(jìn)行了研究（朱培民等，2001；魏建新，2002；李瓊等，2006；田鋒，2007），均證明基于縱波資料反演裂縫密度具有一定的可行性.

本文提出一種計(jì)算裂縫密度的新方法.運(yùn)用等效理論將裂縫介質(zhì)等效為各向異性介質(zhì)，對(duì)于高陡傾角裂縫，將裂縫介質(zhì)等效為HTI介質(zhì).研究HTI介質(zhì)的AVO（amplitude versus offset）響應(yīng)與裂縫參數(shù)的關(guān)系，根據(jù)Rüger（1997）推導(dǎo)的各向異性反射系數(shù)方程，得到裂縫介質(zhì)的各向異性梯度與裂縫密度的關(guān)系，最終求出裂縫介質(zhì)的裂縫密度.

1 裂縫密度等效各向異性參數(shù)

利用裂縫介質(zhì)各向異性梯度求取裂縫介質(zhì)的裂縫密度，需要利用等效理論將裂縫介質(zhì)等效為各向異性介質(zhì).目前廣泛存在的裂縫等效理論主要有Thomsen等效理論（Thomsen，1986）、Hudson等效理論（Hudson，Liu，1999）及線性滑動(dòng)理論（Bakulin et al，2000a，b，c）等.Thomsen等效理論相當(dāng)于低頻模型，假設(shè)流體流動(dòng)無(wú)限慢，對(duì)于一些特定裂縫的等效結(jié)果是比較準(zhǔn)確的，但是該方法限制條件較多不利于實(shí)際研究.Hudson等效理論與Thomsen等效理論正好相反，相當(dāng)于高頻模型，其假設(shè)流體流動(dòng)無(wú)限快，也不利于實(shí)際研究.線性滑動(dòng)理論是將裂縫看作地層中的一個(gè)柔性面，該柔性面可以用裂縫的切向柔度和法向柔度線性表示，且裂縫的切向柔度與法向柔度符合線性滑動(dòng)邊界條件便于求解；對(duì)于高陡傾角裂縫運(yùn)用等效理論將裂縫介質(zhì)等效為HTI介質(zhì).含有裂縫介質(zhì)的巖石總?cè)岫鹊扔诹芽p柔度與圍巖柔度的和，假設(shè)圍巖為各向同性，即

式中，S是巖石總的柔度矩陣，Sf是裂縫的柔度矩陣，Sb是圍巖的柔度矩陣.其中柔度矩陣為彈性矩陣C的倒數(shù)即S＝C－1.根據(jù)線性滑動(dòng)理論有

根據(jù)S＝Sb＋Sf與S＝C－1得C＝Cb－Cf，即

式中，en為裂縫的法向柔度，et為裂縫的切向柔度，λ和μ為拉梅常數(shù).式（4）是將裂縫介質(zhì)的參數(shù)等效為本構(gòu)坐標(biāo)系下各向異性介質(zhì)的彈性參數(shù).

根據(jù)Rüger（1997）給出的HTI介質(zhì)各向異性參數(shù)δ（v）和γ的表達(dá)式

將式（4）帶入式（5）可得到

當(dāng)en≤1且et≤1時(shí)，式（6）可簡(jiǎn)化為

式中，η＝μ／（λ＋2μ），ζ＝λ／（λ＋2μ），λ＝ρ（α2－2β2），μ＝ρβ2，α和β分別為縱波和橫波速度.

式（7）中，求取裂縫介質(zhì)的各向異性參數(shù)必須已知裂縫介質(zhì)的切向柔度與法向柔度.根據(jù)Rüger（1997）的理論，裂縫充填物只影響裂縫的法向柔度，而不影響裂縫的切向柔度.而裂縫的切向柔度可以表示為

式中，Φc為總裂縫孔隙度，A0為斷裂面上裂縫面積所占總面積的比例.對(duì)于非黏滯性流體有

式中，a為裂縫縱橫比，η＝β2／α2.將式（9）代入式（8），得到最終裂縫切向柔度為

裂縫介質(zhì)飽和度為0時(shí)，法向柔量egn的表達(dá)式為

裂縫介質(zhì)飽和度為100%時(shí)，法向柔量eln的表達(dá)式為

式中：Fn為裂縫流體充填因子，F(xiàn)n＝ρlα2l／（ρα2），其中ρl，ρ，αl和α分別為裂縫充填流體和背景各向同性介質(zhì)的密度和縱波速度.因此，裂縫法向柔度在部分飽和裂縫儲(chǔ)層中的表達(dá)式為

式中Sl是裂縫中的流體飽和度.式（13）成立的條件是裂縫中多相流體是不相容的.根據(jù)Reid和MacBeth（2000）可知，天然裂縫儲(chǔ)層中多相流體是不相容的.當(dāng)Sl＝0時(shí)，en＝egn；當(dāng)Sl＝1時(shí)，則en＝eln.對(duì)于多組裂縫同時(shí)存在的情況，根據(jù)矢量疊加原理，將裂縫的切向柔度et與裂縫的法向柔度en進(jìn)行矢量疊加，求出裂縫組合的切向柔度與法向柔度，然后將裂縫介質(zhì)等效為各向異性介質(zhì).

將式（13）和式（10）帶入式（7），可以求取裂縫介質(zhì)的各向異性參數(shù)為

式中，δ和ε為各向異性參數(shù)，η＝β2／α2，ζ＝λ／（λ＋2μ）＝1－2η，λ＝ρ（α2－2β2），μ＝ρβ2，Sl為飽和度.

根據(jù)Mavko等（1998）結(jié)果，裂縫密度e與孔隙度Φc的關(guān)系為

根據(jù)式（15）得

將式（16）帶入式（14），可以得到裂縫密度與各向異性參數(shù)γ和δ的關(guān)系式為

式（17）中各向異性參數(shù)與裂縫密度e、飽和度Sl及裂縫類型A0有關(guān).假設(shè)該地區(qū)的飽和度和裂縫類型已知，則可以得到各向異性參數(shù)與裂縫密度的關(guān)系.式（17）可表示為

其中

式中A，B，C為與背景參數(shù)和裂縫類型有關(guān)的參數(shù).由式（18）可知各向異性參數(shù)與裂縫密度成線性關(guān)系，如圖1所示.

圖1 各向異性參數(shù)（δ和γ）與裂縫密度（e）的關(guān)系示意圖Fig.1 Relationship between the anisotropic parameters（δandγ）and fracture density（e）

2 裂縫密度與各向異性梯度的關(guān)系

運(yùn)用等效理論將裂縫介質(zhì)等效為各向異性介質(zhì).本文針對(duì)高角度裂縫，將裂縫介質(zhì)等效為HTI介質(zhì).根據(jù)HTI介質(zhì)的反射系數(shù)方程可以求出裂縫介質(zhì)的近似反射系數(shù)隨偏移距的變化.Rüger（1997）給出了HTI介質(zhì)中PP波近似反射系數(shù)隨方位角的變化公式為

式中，RPP（θ，φ）為反射系數(shù)，θ為入射角，φ為對(duì)稱軸與x方向的夾角.當(dāng)各向同性背景上發(fā)育一組裂縫時(shí)，PP波反射系數(shù)近似為

其中

根據(jù)式（19）、（20）和（21）可得

式中，G（φ）為介質(zhì)總梯度，GI為各向同性梯度，GA為各向異性梯度.將式（18）帶入式（22）得

由式（23）可得到各向異性梯度與裂縫密度的關(guān)系.

設(shè)計(jì)兩個(gè)飽和度不同的裂縫介質(zhì)模型，其中模型1的飽和度為0，模型2的飽和度為1.兩個(gè)模型的縱波速度均為6 000m／s，橫波速度均為3 150m／s，裂縫引起的飽和度固定；裂縫長(zhǎng)度為1m，寬度為0.001m，A0＝0.1，F(xiàn)n＝0.02；裂縫密度為1—20條／m.各向異性梯度與裂縫密度的關(guān)系如圖2所示.圖2a中飽和度為1，相當(dāng)于裂縫中充滿液體，此時(shí)裂縫的各向異性梯度與裂縫密度呈線性關(guān)系，直線的斜率為正值；圖2b中飽和度為0，相當(dāng)于裂縫中充滿氣體，此時(shí)各向異性梯度與裂縫密度也呈線性關(guān)系，直線的斜率為負(fù)值.可以看出，當(dāng)裂縫完全含有氣體時(shí)，各向異性梯度為負(fù)值；而當(dāng)裂縫完全含液體時(shí)，各向異性梯度為正值.在飽和度未知的情況下，各向異性梯度可以作為流體的指示器，不同模型的各向異性梯度與裂縫密度變化趨勢(shì)不同.Reid和MacBeth（2000）指出，該特征對(duì)于縱橫波速比在1.81—2.65之間成立.大多數(shù)巖石滿足這種情況.各向異性梯度的斜率也可以作為流體指示器，針對(duì)上述模型若直線斜率是負(fù)值可以認(rèn)為裂縫中充填的是氣體，直線斜率是正值可以認(rèn)為裂縫中充填的是液體，不同模型的各向異性梯度變化規(guī)律不同.

圖2 飽和度為1（a）和0（b）時(shí)各向異性梯度（GA）與裂縫密度（e）的關(guān)系Fig.2 Relationship between the anisotropic gradient（GA）and fracture density（e）when the saturation is 1（a）and 0（b）

3 裂縫密度反演方法

根據(jù)上面推導(dǎo)可知，裂縫密度與各向異性梯度存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.實(shí)際生產(chǎn)中可以根據(jù)各向異性梯度得到裂縫介質(zhì)的裂縫密度，具體步驟為：

1）提取每個(gè)共中心點(diǎn)（CMP）處不同方位的反射系數(shù)，進(jìn)而求取不同方位的梯度；

2）利用G（φ）＝GI＋GAsin2φ，分別計(jì)算總梯度與各向同性梯度和各向異性梯度的關(guān)系；

4）根據(jù)式（15）—（23）計(jì)算裂縫介質(zhì)的裂縫密度，其中計(jì)算裂縫密度的公式為

式（24）即為用各向異性梯度計(jì)算裂縫密度的公式.式中：GA為各向異性梯度；A，B，C為與裂縫有關(guān)的參數(shù).在反演裂縫密度時(shí)需要已知多方位的地震數(shù)據(jù)、背景速度及裂縫類型.式（24）中用到一個(gè)含油水飽和度的信息，在裂縫密度反演之前需要已知該地區(qū)含油氣情況，若目標(biāo)區(qū)主要含氣則飽和度為0，若目標(biāo)區(qū)主要含油水則飽和度為1.

4 模型試算

4.1 單點(diǎn)模型試算

設(shè)計(jì)一簡(jiǎn)單模型，上層為各向同性介質(zhì)，下層為裂縫介質(zhì)，裂縫長(zhǎng)度為1m，裂縫寬度為0.001m，A0＝0.1，F(xiàn)n＝0.02.第一層縱波速度為5 000m／s，橫波速度為2 500m／s，密度為2 600kg／m3；第二層縱波速度為4 000m／s，橫波速度為2 200m／s，密度為2 100kg／m3，裂縫密度為2條／m.裂縫介質(zhì)的飽和度為0，即完全充填的是氣體.模型精確的反射系數(shù)如圖3所示.圖3a為不含裂縫的反射系數(shù)，可以看出當(dāng)介質(zhì)不含裂縫時(shí)不同方位的反射系數(shù)都一樣；圖3b為含有裂縫的反射系數(shù)，可以看出當(dāng)介質(zhì)含有裂縫時(shí)不同方位的反射系數(shù)差別很大，AVO類型會(huì)發(fā)生變化，這為利用不同方位的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行裂縫特征參數(shù)反演提供了依據(jù).

圖3 不同方位角（φ）情況下的模型反射系數(shù)示意圖（a）不含裂縫介質(zhì)；（b）含有裂縫介質(zhì)Fig.3 The sketch of reflection coefficient in the case of several azimuths（a）No fractured medium；（b）Fractured medium

實(shí)際地震資料中含有噪聲，為了驗(yàn)證本文方法的有效性，對(duì)充滿氣體的模型分別設(shè)計(jì)信噪比為10，4，2和1.每個(gè)信噪比考慮40次實(shí)現(xiàn)，相當(dāng)于40個(gè)共中心點(diǎn)（CMP）.分別計(jì)算每次實(shí)現(xiàn)的不同方位的反射系數(shù)，然后褶積一個(gè)地震子波生成不同方位的地震數(shù)據(jù).從合成的地震記錄出發(fā)，計(jì)算不同方位的AVO梯度，從而獲取該點(diǎn)的各向異性梯度，最后根據(jù)式（24）計(jì)算裂縫介質(zhì)的裂縫密度.圖4—7分別給出了信噪比為10，4，2和1的計(jì)算結(jié)果.其中，a圖表示從地震記錄提取的反射系數(shù)，可以看出，不同方位的反射系數(shù)差別很大，且信噪比越低，提取的反射系數(shù)與精確的反射系數(shù)差別越大；b圖表示從反射系數(shù)中提取的裂縫介質(zhì)各向異性梯度，并由此計(jì)算出的裂縫密度.可以看出，信噪比越高，提取的反射系數(shù)更集中，計(jì)算得到的裂縫密度值在平均值附近比較集中，計(jì)算的裂縫密度與實(shí)際較接近.信噪比等于1時(shí)，也能得到比較好的結(jié)果，但是對(duì)于其中的一次實(shí)現(xiàn)有可能遠(yuǎn)離實(shí)際值.表1給出了不同信噪比情況下計(jì)算的平均裂縫密度.可以看出，不同信噪比對(duì)于多次實(shí)現(xiàn)得到的平均值比較接近實(shí)際情況，偏差不超過(guò)5%.但是當(dāng)信噪比等于1時(shí)，一次實(shí)現(xiàn)其偏差可能超過(guò)30%.信噪比小于1的資料無(wú)法使用.從圖4—7中可以看出，由一次實(shí)現(xiàn)提取的反射系數(shù)計(jì)算得到的裂縫介質(zhì)各向異性梯度，并由此計(jì)算的裂縫介質(zhì)的裂縫密度不同，但是由多次實(shí)現(xiàn)計(jì)算的結(jié)果求取的平均裂縫密度卻基本相同，誤差小于5%.實(shí)際計(jì)算中可選用多條測(cè)線反演裂縫密度的結(jié)果取平均值作為實(shí)際反演的結(jié)果.

表1 由不同信噪比地震記錄計(jì)算的平均裂縫密度Table 1 The average fracture density from the seismic data with different signal to noise ratios

圖4 信噪比為10的反射系數(shù)（a）與計(jì)算得到的裂縫密度（b）Fig.4 Reflection coefficients（a）and fracture density（b）with signal-to-noise ratio of 10

圖5 信噪比為4的反射系數(shù)（a）與計(jì)算得到的裂縫密度（b）Fig.5 Reflection coefficients（a）and fracture density（b）with signal-to-noise ratio of 4

圖6 信噪比為2的反射系數(shù)（a）與計(jì)算得到的裂縫密度（b）Fig.6 Reflection coefficients（a）and fracture density（b）with signal-to-noise ratio of 2

圖7 信噪比為1的反射系數(shù)（a）與計(jì)算得到的裂縫密度（b）Fig.7 Reflection coefficients（a）and fracture density（b）with signal-to-noise ratio of 1

4.2 單道模型試算

抽取Marmous模型中其中一道作為模型數(shù)據(jù)（圖8）.圖8中，如果流體指示因子D等于0則孔隙中充填液體，即飽和度為1；若D小于0則孔隙中充填氣，即飽和度為0.模型中設(shè)置兩個(gè)含氣位置，如紅線所在區(qū)域.利用雷克子波合成不同信噪比不同方位的地震記錄，然后從該記錄出發(fā)，求取不同方位的梯度，得到每個(gè)采樣點(diǎn)處的各向異性梯度，根據(jù)該地區(qū)的含流體情況，最終反演得到的裂縫密度結(jié)果如圖9所示.可以看出：不同信噪比反演裂縫密度的位置都正確，只是當(dāng)信噪比較低時(shí)，反演得到的裂縫密度不準(zhǔn)確；信噪比等于1時(shí)得到的裂縫密度反演結(jié)果與已知裂縫密度差別較大，因此實(shí)際反演中應(yīng)采用信噪比大于1的地震數(shù)據(jù).

圖8 模型示意圖（a）縱波速度；（b）橫波速度；（c）密度；（d）流體指示因子；（e）裂縫密度Fig.8 The sketch of models（a）P wave velocity；（b）S wave velocity；（c）Density；（d）Fluid factor；（e）Fracture density

圖9 不同信噪比的地震記錄得到的裂縫密度反演結(jié)果Fig.9 The inversion results for fracture density from the seismic data with several SNRs

4.3 多道反演試算

抽取Marmous模型中一部分作為模型數(shù)據(jù)（圖10），利用雷克子波合成不同信噪比不同方位的地震記錄，然后從該記錄出發(fā)，求取每個(gè)采樣點(diǎn)不同方位的梯度，得到每個(gè)采樣點(diǎn)處的各向異性梯度，根據(jù)該地區(qū)的含流體情況，最終反演得到的裂縫密度結(jié)果如圖11所示.可以看出，不同信噪比的地震記錄反演得到的裂縫密度位置都正確，當(dāng)信噪比等于或小于1時(shí)，反演得到的裂縫密度值與已知的裂縫密度值差別較大.因此，實(shí)際反演中應(yīng)采用信噪比大于1的地震數(shù)據(jù).

圖10 模型示意圖（a）縱波速度；（b）橫波速度；（c）密度；（d）裂縫密度Fig.10 The sketch of models（a）P wave velocity；（b）S wave velocity；（c）Density；（d）Fracture density

5 討論與結(jié)論

圖11 裂縫密度反演結(jié)果（a）信噪比為10；（b）信噪比為4；（c）信噪比為2；（d）信噪比為1Fig.11 The inversion results of fracture density（a）SNR＝10；（b）SNR＝4；（c）SNR＝2；（d）SNR＝1

本文提出一種利用各向異性梯度計(jì)算裂縫密度的新方法.利用裂縫等效理論將高陡傾角裂縫介質(zhì)等效為HTI介質(zhì)，推導(dǎo)出各向異性梯度與裂縫密度的關(guān)系式，并根據(jù)此關(guān)系從地震數(shù)據(jù)反演得到裂縫密度.模型試算表明，該方法能得到裂縫密度，反演結(jié)果與初始模型基本一致證明了該方法的正確性；地震記錄添加一定的信噪比后也能反演得到裂縫密度，證明了該方法的穩(wěn)定性，但當(dāng)該地區(qū)的信噪比等于1時(shí)，反演得到的裂縫密度結(jié)果與實(shí)際結(jié)果差別較大，故實(shí)際反演裂縫密度時(shí)應(yīng)采用信噪比大于1的地震數(shù)據(jù).需要說(shuō)明的是：本文結(jié)果僅僅針對(duì)一組高陡傾角裂縫介質(zhì)，而實(shí)際地層中裂縫的存在形式是多種多樣的，需進(jìn)一步研究實(shí)際裂縫介質(zhì)中的裂縫密度反演方法；本文僅僅從各向異性梯度反演裂縫密度，有必要進(jìn)一步建立地震數(shù)據(jù)或反射系數(shù)與裂縫密度的直接關(guān)系，減少反演累計(jì)誤差，為裂縫性儲(chǔ)層反演與儲(chǔ)層預(yù)測(cè)提供依據(jù)；本文僅僅針對(duì)理論模型進(jìn)行裂縫密度反演，下一步有必要進(jìn)行實(shí)際數(shù)據(jù)的裂縫密度反演方法的研究.

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