洪揚(yáng)婷

二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則（a+b）（c+d）≥（ac+bd），當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號成立.上述不等式可以變形為：≤，不等式的左邊可以看成點(diǎn)（c，d）到直線ax+by=0的距離，當(dāng)不等式的右邊為定值時(shí)，左邊有最大值.利用柯西不等式及其變形可以巧妙地解決如下最值問題.

例1：求橢圓C：+=1上的點(diǎn)到直線l：x-2y=0的距離的最大值.

解析：（法一）橢圓C：+=1上的點(diǎn)P（x，y）為x=4cosθy=2sinθ，則點(diǎn)P到直線l：x-2y=0的距離為d==，故d=.

（法二）設(shè)x-2y=m，借助圖像可知，當(dāng)直線x-2y=m與橢圓C：+=1相切時(shí)，切點(diǎn)到直線l：x-2y=0的距離取得最大值.由x-2y=m+=1得16y+12my+3m-48=0，令△=144m-64（3m-48）=0，則m=±，故d=.

（法三）設(shè)點(diǎn)P（x，y）為橢圓C上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：x-2y=0的距離d=.利用柯西不等式可得：（+）（16+48）≥（x-2y），當(dāng)且僅當(dāng)3x=-2y時(shí)，等號成立，此時(shí)d=.

變式：求橢圓C：+=1上的點(diǎn)到直線l：x-2y-12=0的距離的最值.

解析：由例1可得，|x-2y|≤8即-8≤x-2y≤8，故-20≤x-2y-12≤-4，則所求距離的最大值、最小值分別為d=4，d=.

例2：已知點(diǎn)P（x，y）是圓C：x+y=2y上的動(dòng)點(diǎn)，求2x+y的取值范圍.

解析：（法一）設(shè)點(diǎn)P（x，y）為x=cosθy=1+sinθ，則2x+y=2cosθ+1+sinθ=sin（θ+ψ）+1，其中tanψ=2，當(dāng)sin（θ+ψ）=±1時(shí)，2x+y取得最值，故-+1≤2x+y≤+1.

（法二）設(shè)2x+y=m，借助圖像可知，當(dāng)直線2x+y=m與圓C：x+y=2y相切時(shí)2x+y取得最值.由2x+y=mx+y=2y得5x+（4-4m）x+m-2m=0，令△=（4-4m）-20（m-2m）=0，則m=1±，故-+1≤2x+y≤+1.

（法三）利用柯西不等式可得：（x+（y-1））（4+1）≥（2x+y-1），當(dāng)且僅當(dāng)x=2（y-1）時(shí)，等號成立，故-+1≤2x+y≤+1.

法一涉及三角函數(shù)的知識.大部分學(xué)生對角ψ為非特殊角的恒等變換的掌握情況并不理想.法二從數(shù)形結(jié)合的角度并不難理解，但其中涉及的計(jì)算對大部分學(xué)生來說是不小的挑戰(zhàn).相比較而言，利用柯西不等式進(jìn)行解答簡單快捷.

例3：（2014山東理9）已知x，y滿足約束條件x-y-1≤02x-y-3≥0，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）在該約束條件下取到最小值2時(shí)，a+b的最小值為（）

A.5B.4C.D.2

解析：畫出滿足約束條件的可行域知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）過直線x-y-1=0與2x-y-3=0的交點(diǎn)A（2，1）時(shí)取得最小值，所以有2a+b=2.利用柯西不等式可得：（a+b）（4+1）≥（2a+b）=（2），所以a+b的最小值為4，故選B.

柯西不等式雖然是選修4-5的內(nèi)容，但同樣適用于必修中的問題.