段美華 殷 瑩

（1.天津職業(yè)技術師范大學理學院，中國 天津300222；2.天津職業(yè)技術師范大學機械工程學院，中國 天津300222）

0 前言

20世紀二、三十年代，美國人休哈特博士首先提出過程控制的概念與實施過程監(jiān)控的方法，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，現(xiàn)己形成統(tǒng)計過程控制理論，即SPC(Stat_istical Process Control)。它是應用統(tǒng)計方法對過程中的各個階段進行監(jiān)控，從而達到保證與改進質(zhì)量的目的。統(tǒng)計中我們常假設觀察值為來自某總體的獨立同分布樣本，之后考慮總體某些特征的估計，然而，在實際問題中，觀察到的數(shù)據(jù)多與時間有關且可能是相關的。針對這些相關數(shù)據(jù)的建模及預測我們采用了時間序列。

1 自相關函數(shù)

1）μ1=c,其中c為一常數(shù)

2）E（X2t）＜∞,即二階矩有限

3）γ（t，s）＝γ（t-s，0）

2 P階自回歸序列AR（P）的相關結構

在平穩(wěn)時間序列分析中，常見的三種模型為自回歸AR(p),移動平均MA(q)和自回歸移動平均序列ARMA(p,q)模型。這里我們只研究AR(p)模型。

特別地，當P=1,即對于AR(1)序列，ψj=φ-1j，γ（h）＝φ-1h

另外，對于AR(P)序列的自協(xié)方差函數(shù)，我們還有如下迭代公式：

如在上式中取h=1,2,...,p,則有如下的Yule-Walker方程,其中

對于AR(p)序列而言，其最主要的特征是其偏相關函數(shù)具有截尾的特點。其偏相關的定義為：對于任一給定的k＞0，我們記αk=（αk1，…，αkk），且αk＝Γ-k1γk，則稱｛αkk，k=0，1，2，…｝為AR(p)序列的偏相關函數(shù)，其中α00=1。

可以證明：零均值的平穩(wěn)序列｛xi｝為AR(p)序列的充要條件是αkk=0，?k＞p。由此可見，偏相關函數(shù)截尾性質(zhì)是用來判斷一組數(shù)據(jù)是否來自AR模型的有效方法。

3 實例

某化學工廠需就其某種化工產(chǎn)品的溫度進行測量，以便決定其是否合格。表1所示的數(shù)據(jù)為該工廠對該產(chǎn)品每2分鐘進行一次溫度測量的結果（從左到右，共100次測量）。

表1 產(chǎn)品溫度測量記錄表

（1）由于數(shù)據(jù)的相關性對檢測的效果有極大影響，所以對于這些溫度測量結果，首先比較重要的是研究這些數(shù)據(jù)的相關性。因此，我們根據(jù)表1，通過minitab計算樣本自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)，其中顯著性限制為0.05,結果如圖1所示。

圖1

自相關函數(shù)圖a的正弦慢衰減表明了測量數(shù)據(jù)符合自回歸過程，而偏自相關函數(shù)圖顯示自回歸過程的階數(shù)為1。

（2）基于上面的分析，對于這些測量數(shù)據(jù)，我們構造一階自回歸模型xt=ξ+φxt-1+εt，并就該模型建立一個基于殘差的單值控制圖，如圖2。

對圖2結果進行分析可知，第94個溫度記錄值偏離中心線超過了3δ值，即第94個溫度記錄值為失控；第69、70、71這3個連續(xù)溫度記錄值中，有2溫度值（第69個和71個）偏離中心線超過了2δ值。并可以看出，在最初的溫度記錄中，殘差不表現(xiàn)出周期性,且分布在控制限之內(nèi)，即化學過程可控。

圖2 基于殘差的單值控制圖

（3）就上述模型，我們現(xiàn)在分別構造基于殘差的CUSUM和EWMA控制圖，如圖3。其中CUSUM控制圖中k=0.5,h=5；EWMA控制圖中λ=0.1,L=2.7。

圖3

從CUSUM控制圖可以看出，沒有觀察值超過控制限，殘差可控,即過程可控。

這與殘差的單值控制圖所得到的結論是一致的。從EWMA控制圖也可以看出，沒有觀察值超過控制限，殘差可控,過程可控。這與殘差的單值控制圖和CUSUM控制圖所得到的結論一致。

4 結論

從上面對化工產(chǎn)品溫度測量數(shù)據(jù)的分析知，為了避免測量數(shù)據(jù)有相關性，我們可以通過時間序列中的相關函數(shù)圖選擇更好的模型，以便在以后的檢測中減少錯誤報警率，提高效率。而且該方法也適用于其他方面的測量數(shù)據(jù)的研究。

［1］安鴻志.時間序列分析[M].華東師范出版社,1992.

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［3］王沁.時間序列分析及其應用[M].西南交通大學出版社,2008.

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