胡支軍，陳 璟，彭 飛

(1.貴州大學理學院，貴州貴陽 550025;2.華南師范大學經(jīng)濟管理學院，廣東廣州 510631)

0 引言

在金融學中，最優(yōu)投資組合選擇問題無論是在理論上還是在實踐中都是重要的研究內(nèi)容.投資組合的選擇通常都是在不確定的環(huán)境下發(fā)生的，在這種情況下有兩種方法常被用來選擇投資組合:第一種為Markowitz提出的均值-方差模型及其各種改進.但是，這些模型僅使用兩個(或幾個)統(tǒng)計量描述收益率的分布，因此可能忽略了重要的信息.第二種方法是隨機占優(yōu)，上世紀60年代發(fā)展起來的隨機占優(yōu)(stochastic dominance，SD)［1］是不確定環(huán)境下決策理論的一個重要概念.隨機占優(yōu)理論認為，只要投資者對證券(組合)收益的分布函數(shù)具有完善的信息，就可以比較各種證券(組合)的優(yōu)劣，從而確定最優(yōu)的投資組合.

Dentcheva＆Ruszczynski［2-3］首先引入具有隨機占優(yōu)約束的優(yōu)化問題，這是在最優(yōu)化框架下管理風險的一個漂亮方法，在追求期望利潤的同時，決策者通過選擇隨機占優(yōu)于某個隨機基準的方案以規(guī)避風險.隨后，Dentcheva＆Ruszczynski［4］建立了在投資組合的實際收益率二階隨機占優(yōu)(SSD)于某個參考隨機基準收益率約束下的投資組合優(yōu)化模型，其目標函數(shù)是最大化投資組合的期望收益率.Roman，Darby-Dowman＆Mitra［5］利用多目標規(guī)劃理論構建了SSD準則下非劣的投資組合，而且組合的收益率分布具有特定的性質.Luedtke［6］則應用優(yōu)勢理論進一步給出隨機占優(yōu)約束下的最優(yōu)化問題的新的整數(shù)和線性規(guī)劃模型，比Dentcheva＆Ruszczynski［4］的模型更加緊湊.進一步，文獻［7］對多維多面體線性SSD約束下的優(yōu)化問題給出了樣本平均割曲面(sample average cutting-surface)算法.最近，Meskarian，Xu＆Fliege［8］則給出了當收益函數(shù)不一定是線性函數(shù)時具有SSD約束的投資組合優(yōu)化問題的隨機近似方法和水平函數(shù)法.

三階隨機占優(yōu)(TSD)在SSD的基礎上，進一步假定投資者表現(xiàn)為遞減絕對風險規(guī)避，即投資者為了抵消一定的風險而愿意支付的風險溢價隨收益的增高而減少，在收益達到較高水平時，投資者傾向于更少地采取風險規(guī)避而增加風險資產(chǎn)的投資.借鑒Dentcheva＆Ruszczynski的思想，構建三階隨機占優(yōu)約束下的投資組合優(yōu)化模型，以描述具有遞減絕對風險厭惡特征的投資者的投資行為，離散分布時該模型可轉化為易于求解的二次規(guī)劃問題.基于隨機占優(yōu)約束下的投資組合模型具有合理的理論基礎，所需數(shù)據(jù)均可以直接獲得，與均值–風險模型和效用函數(shù)模型相比具有重要的優(yōu)勢.在傳統(tǒng)的均值–風險模型中，風險度量的選取具有一定的主觀性，而且難以比較兩個風險度量之間的優(yōu)劣性.此外，均值–風險模型僅使用兩個(或少數(shù)幾個)統(tǒng)計量描述風險資產(chǎn)的收益率分布，可能忽略重要的信息.類似地，最優(yōu)化期望效用則需要給出效用函數(shù)的具體表達式，而實際中往往難以引出投資者的效用函數(shù).隨機占優(yōu)約束下的投資組合模型只需要確定一個合理的隨機基準，例如市場指數(shù)，從而避免了均值–風險模型和期望效用最大化模型的這些困難.最后，通過上海證券市場的實際數(shù)據(jù)驗證了該模型的有效性與實用性.

1 二階隨機占優(yōu)約束下的投資組合模型

在投資組合選擇的研究中，最為廣泛的是構建均值-風險模型，這類模型使用兩個統(tǒng)計量―期望值和風險值描述和比較隨機變量.均值-風險模型的一般框架為

其中:x表示投資于各個證券的資金量或財富比例而構成的投資決策向量;μ0表示期望收益的目標值;Reward(x)表示投資決策x下的期望收益;Risk(x)則代表投資決策x對應的風險;X表示不同的市場摩擦或投資環(huán)境對x所引入的其他約束集.不同的投資者會選用不同的風險度量函數(shù)Risk(·).

與均值-風險分析方法相比，隨機占優(yōu)方法實質上是一個多準則模型，它無需對投資組合收益的概率分布做任何假設，也不需要對投資者效用函數(shù)的形式做任何限制(盡管在基于投資者效用函數(shù)定義各階隨機優(yōu)勢時，需對效用函數(shù)的可微性做某些假設).因此，隨機占優(yōu)方法具有很廣泛的適應性，可用于眾多不確定性因素的比較，已被廣泛地應用于經(jīng)濟學和金融學的研究［1］.

在隨機占優(yōu)方法中，隨機變量是通過對由他們的累積分布函數(shù)所遞歸定義的績效函數(shù)的逐點對比來進行比較.具體地，設R和R'表示累積分布函數(shù)分別為F(·)與G(·)的兩個隨機變量，稱R一階隨機占優(yōu)于R'，記為R≥FSDR'，如果

進一步，稱R二階隨機占優(yōu)于R'，記為R≥SSDR'，如果

根據(jù)文獻［1］，R≥SSDR'當且僅當 E［u(R)］≥E［u(R')］.

對任意的非減的凹效用函數(shù)u:R→R都成立.因此，如果R≥SSDR'，則任意的理性且風險厭惡的決策者都將偏好于選擇R而不是R'.

記R(x)和R(y)分別表示投資組合x和y的隨機收益率，稱一個投資組合x二階隨機占優(yōu)于另一投資組合y，如果R(x)≥SSDR(y).一個投資組合x稱為在投資組合集X中是SSD有效(或FSD有效)的，如果不存在y∈X，使得(或R(y)≥FSDR(x)).

假設可以獲得某個具有有限期望值的基準隨機收益率Y，例如對某些基準投資組合有Y=).可能是某個市場指數(shù)或投資者的當前投資組合.風險規(guī)避的投資者的目的是要構造一個新的投資組合x，使其收益率R(x)二階隨機占優(yōu)于基準組合的收益率Y.

Dentcheva ＆ Ruszczynski［4］構造了下面的優(yōu)化問題

其中:f:X×Ω→R是x和ξ的凹連續(xù)函數(shù)，ξ:Ω→Ξ?Rk是定義在支集為Ξ的概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的一個隨機向量.特別地，可以取f(x，ξ)=E［R(x，ξ)］，這里E表示取關于ξ的概率分布的期望值，且由于引入了隨機占優(yōu)約束(3)，該優(yōu)化問題具有非平凡解.模型(2)～(4)具有兩大優(yōu)點:首先，模型的所有數(shù)據(jù)均可以直接獲得;其次，由約束(3)所定義的集合是凸的［2-4］，在離散分布情形可以轉化為線性規(guī)劃問題［4，6］.

2 三階隨機占優(yōu)約束下的投資組合模型

模型(2)～(4)只適用于一般的風險厭惡型決策者，而對于具有遞減絕對風險厭惡型投資者，則需要對該模型做進一步的精煉.

根據(jù)文獻［1］，稱R三階隨機占優(yōu)于R'，記為R≥TSDR'，如果

類似地，稱投資組合x三階隨機占優(yōu)于另一投資組合y，如果R(x)≥TSDR(y).一個投資組合x稱為在投資組合集X中是TSD有效的，如果不存在y∈X，使得R(y)≥TSDR(x).

根據(jù)文獻［1］，R(x)≥TSDR(y)當且僅當E［u(R(x))］≥E［u(R(y))］.

對任意非減的滿足u?＞0的凹效用函數(shù)u:R→R都成立.因此，如果R(x)≥TSDR(y)，則任意的理性且絕對風險厭惡遞減的決策者都將偏好于選擇R(x)而不是R(y).

設投資者的資產(chǎn)組合由n種資產(chǎn)構成，資產(chǎn)Sj的隨機收益率為rj(j=1，…，n)，并假設收益率(r1，…，rn)分布于一個離散樣本空間且用rjt表示j種資產(chǎn)在第t(t=1，…，T)時期的實現(xiàn)值，rj取值rjt的概率為pt=1 T.令xj表示初始財富中投資于資產(chǎn)Sj的比例，一個簡單的投資可行集定義為

假設可以獲得某個具有有限期望值的基準隨機收益率Y=R(z)，z為某個參考投資組合.遞減絕對風險厭惡型投資者的目的是構造一個新的投資組合x，使其收益率三階隨機占優(yōu)于Y.類似于模型(2)～(4)的思想，本文提出下面的投資組合優(yōu)化模型

具體地，可以令f(x)=E［R(x)］，或某些其它的目標函數(shù)［7］.

定理3.1，約束條件(7)等價于

令sit=max(Yi-R(x)，0)，表示在時間t時投資組合收益率R(x)小于Yi的差額，i=1，K，M，t=1，K，T.同理，令wit=max(Yi-Y，0)，則模型(6)～(8)可以轉化為:

3 實證分析

3.1 樣本股票的選取及數(shù)據(jù)說明

為檢驗模型(10)～(15)的有效性和實用性，從上海證券市場的不同行業(yè)隨機選取30只股票.從2009年1月至2011年2月11日共兩年108周的周收益率數(shù)據(jù)作為樣本.數(shù)據(jù)來自RESSE銳思金融研究數(shù)據(jù)庫，這些股票的代碼分別為:600 177、600 183、600 186、600 199、600 202、600 221、600 230、600 240、600 249、600 333、600 352、600 363、600 379、600 388、600 420、600 016、600 055、600 114、600 613、600 624、600 704、600 717、600 747、600 783、600 983、600 990、000 021、000 301、000 026、000 886.同時，選擇上證180指數(shù)從2009年1月至2011年2月共兩年108周的周收益率(分別用Y1至Y108表示)作為基準收益.即在模型(10)～(15)中M=T=108，n=30.此外，為了比較三階隨機占優(yōu)約束下的投資組合模型與二階隨機占優(yōu)約束下的投資組合模型的區(qū)別，借鑒Luedtke［6］的方法將模型(2)～(4)轉化為相應的線性規(guī)劃模型然后利用上述樣本數(shù)據(jù)進行求解.

3.2 計算結果及分析

利用Matlab軟件分別求解TSD約束下的模型(10)～(15)和SSD約束下的模型(2)～(4)，計算得到的最優(yōu)投資組合如表1和表2所示.

表1 TSD約束下的最優(yōu)投資組合Tab.1 Optimal portfolio with TSD constraints

表2 SSD約束下的最優(yōu)投資組合Tab.2 Optimal portfolio with SSD constraints

由表1、表2知，TSD約束下的模型(10)～(15)與SSD約束下的模型(2)～(4)(以下分別簡記為TSD模型和SSD模型)所確定的最優(yōu)投資組合不同，SSD模型僅投資6只股票，而TSD模型則投資10只股票.

根據(jù)表1和表2所給出的最優(yōu)投資方案，分別利用這些股票在2011年2月18日至2011年8月12日的周收益率數(shù)據(jù)檢驗這兩個模型的投資效果.圖1給出分別投資于TSD模型和SSD模型的優(yōu)化組合所獲得的收益率，以及同一時期上證180指數(shù)的收益率.

由圖1可以看出由TSD模型構造的投資組合在樣本期外的收益率總體上要優(yōu)于SSD模型和上證180指數(shù)的收益率.為進一步考察TSD模型與SSD模型的投資效果，分別按照下面兩個式子計算樣本期外的跟蹤誤差和投資組合的超額收益率:

其中:Rt表示投資組合在時期t的收益率;yt為上證180指數(shù)在時期t的收益率.經(jīng)計算得到TSD模型的跟蹤誤差TE的值為0.026 1，而SSD模型的跟蹤誤差TE的值為0.016 9，TSD模型的超額收益率r*的值為0.011 2，SSD模型的超額收益率則為-0.002 1，這表明本文所構建的TSD模型在樣本期外的跟蹤誤差雖然比SSD模型的跟蹤誤差略大，但TSD模型能獲得一定的超額收益，SSD模型的超額收益率卻為負.上述計算結果表明，本文構建的TSD模型相比較于SSD模型和上證180指數(shù)來說具有更好的投資表現(xiàn).

圖1 樣本期外優(yōu)化組合的收益率與上證180指數(shù)的收益率Fig.1 Out of Sample returns of optimal portfolio and Shanghai 180 index

4 結語

本文構建了三階隨機占優(yōu)約束下的投資組合優(yōu)化模型，該模型在投資組合的收益三階隨機占優(yōu)于某個基準收益(如市場指數(shù))的約束下最大化投資組合的期望收益率，以反映具有遞減絕對風險厭惡特征的投資者的投資行為，離散分布情形該模型可以轉化為容易求解的二次規(guī)劃模型.利用上海證券市場的實際交易數(shù)據(jù)對模型進行了實證檢驗，計算結果表明三階隨機占優(yōu)風險控制下的投資組合模型能夠在保持較小跟蹤誤差的情況下獲得一定的超額收益率，具有比SSD模型更好的投資表現(xiàn).研究結果不僅對提高指數(shù)基金的業(yè)績提供了重要的理論依據(jù)，而且對指數(shù)基金管理也具有重要的現(xiàn)實借鑒意義.