孫軍波 蔡小雄

摘 ?要：本文從一道二元最值問題入手，深入思考研究一般性的解法，引進(jìn)高等數(shù)學(xué)的拉格朗日乘數(shù)法，并通過一些典型例題簡要介紹拉格朗日乘數(shù)法的運(yùn)用，為學(xué)生解決問題提供一個(gè)新的思路.

關(guān)鍵詞：拉格朗日乘數(shù)法;多元最值;初等應(yīng)用

多元函數(shù)的最值問題是活躍在高考、高校自主招生以及各類數(shù)學(xué)競賽中的一項(xiàng)重要內(nèi)容. 由于該內(nèi)容大都涉及函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃、解析幾何等綜合知識(shí)，問題情境新穎，蘊(yùn)涵背景深刻，求解方法靈活，因此，考生面對(duì)該類問題往往不知所措，解題思路狹窄. 本文通過一些典型例題簡要介紹拉格朗日乘數(shù)法在求解該類問題中的巧妙運(yùn)用.

小題引路

例1（2012浙江重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三3月調(diào)研）若3x2-xy+3y2=20，則8x2+23y2的最大值是________.

分析：注意到160-8x2-23y2=8（3x2-xy+3y2）-8x2-23y2=（4x-y）2≥0，

所以8x2+23y2最大值為160.

評(píng)析：本解法計(jì)算簡單，但構(gòu)思巧妙，不易入手. 因此，有必要考慮研究其一般情形，問題的實(shí)質(zhì)是多元的條件極值問題，可以考慮選用拉格朗日乘數(shù)法使思路程序化.

問題拓展

一般所討論的極值問題，其極值點(diǎn)的搜索范圍是目標(biāo)函數(shù)的定義域，但是還有很多極值問題，如例1中的變量x，y不僅要符合它們自身的要求（x∈R，y∈R），而且還需滿足條件“3x2-xy+3y2=20”，這類附有約束條件的極值問題其實(shí)就是條件極值問題.

條件極值問題的一般形式是在條件組φk（x1，x2，…，xn）=0，k=1，2，…，m（m

在高中階段遇到這類極值問題時(shí)，我們常常借助換元、消元，使用判別式、不等式等方法來求解，主要解決三元以內(nèi)的問題. 然而，根據(jù)條件組（1）有些問題還不能靠上述方法解決. 而且，有些問題構(gòu)思巧妙，解題技巧要求高. 下面我們從高等數(shù)學(xué)中引入一種求解條件極值問題的方法——拉格朗日乘數(shù)法來嘗試解決這類問題.

方法介紹

拉格朗日乘數(shù)法是高等數(shù)學(xué)中求多元函數(shù)條件極值的重要方法，方法程序性強(qiáng)，較易掌握. 但由于涉及求多元函數(shù)的偏微分，需將該法加以改進(jìn)，方便學(xué)生掌握. 將這種方法初等化，首先需要理解為什么要構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，以f，φ皆為二元函數(shù)這一簡單情形入手來說明一下，其實(shí)就是將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中φ（x，y）=0，不難發(fā)現(xiàn)求f（x，y）的極值點(diǎn)，其實(shí)也就是求L（x，y）的極值點(diǎn)，兩者的極值是等價(jià)的，且與λ無關(guān)，至于為什么增加一個(gè)λ，其實(shí)就相當(dāng)于用待定系數(shù)法來確定這個(gè)拉格朗日函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)的目的是為了求出函數(shù)的可能極值點(diǎn).

運(yùn)用此法，例1的具體求解如下：

構(gòu)造L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）=8x2+23y2+λ（3x2-xy+3y2-20），

由Lx（x，y，λ）=fx（x，y）+λφx（x，y）=0，Ly（x，y，λ）=fy（x，y）+λφy（x，y）=0，L（x，y，λ）=φ（x，y）=0？圯-λ==，φ（x，y）=0，即可解得極值點(diǎn).

由f（x，y）=8x2+23y2，φ（x，y）=3x2-xy+3y2-20，

解得x=-y或x=y，代入φ（x，y）=0可得

所以f（x，y）=或160，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，可知8x2+23y2的最大值是160.

小試牛刀

例2 （1993年全國聯(lián)賽試題）實(shí)數(shù)x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，則的值為________.

分析：首先令f（x，y）=x2+y2，φ（x，y）=4x2-5xy+4y2-5，

解得x=-y或x=y，代入φ（x，y）=0可得：

例3 （2014年北約自主招生試題）設(shè)x，y均為負(fù)數(shù)，且滿足x+y=-1，則xy+具有（ ?）

分析：令f（x，y）=xy+，φ（x，y）=x+y+1，

據(jù)函數(shù)性質(zhì)有xy+的最小值為，因此，選D.

逐步推廣

在解決了二元的一些極值問題后，將拉格朗日乘數(shù)法應(yīng)用于帶有二元以上的最值問題也是可行的，下面我們?cè)嚺e幾例：

例4 （2011年浙江省自選模塊3）設(shè)正數(shù)x，y，z滿足2x+2y+z=1，求3xy+yz+zx的最大值.

分析：令f（x，y，z）=3xy+yz+zx，φ（x，y，z）=2x+2y+z-1，

代入φ（x，y，z）=0，可得x=y=z=，因此，f（x，y，z）=，

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，可知3xy+yz+zx的最大值是.

例5 ?（2005年中國西部奧林匹克第二天試題）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，證明：10（a3+b3+c3）-9（a5+b5+c5）≥1.

分析：令f（a，b，c）=10（a3+b3+c3）-9（a5+b5+c5），φ（a，b，c）=a+b+c-1，

因?yàn)閍，b，c∈（0，1），所以可得a=b=c，代入φ（a，b，c）=0，可得a=b=c=，

根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，知10（a3+b3+c3）-9（a5+b5+c5）的最小值是1，從而得證.

例6 ?（第三屆北方數(shù)學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽）設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a+b+c=3，求f（a，b，c）=a2+b2+c2+abc的最小值.

分析：令f（a，b，c）=a2+b2+c2+abc，φ（a，b，c）=a+b+c-3，

所以解得a=b=c，代入φ（a，b，c）=0，可得a=b=c=1，

根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)，可得f（a，b，c）=a2+b2+c2+abc的最小值為.

華羅庚說：“新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要”，利用拉格朗日乘數(shù)法求解多元函數(shù)最值的確有其優(yōu)越性，這對(duì)提高學(xué)生解題能力，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，深化其數(shù)學(xué)品質(zhì)都將產(chǎn)生積極的影響.