艾華升

摘 ?要：課堂教學(xué)研究的成果對(duì)課堂教學(xué)提出了新的要求，小專題探索教學(xué)是課堂教學(xué)的一種好形式.本文以向量的數(shù)量積為例，介紹小專題教學(xué)設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué)理論;小專題教學(xué)設(shè)計(jì);向量的數(shù)量積;小組討論;合作探究

近年來(lái)，課堂教學(xué)研究取得了令人矚目的成就，新的教學(xué)理念已深入人心.就本人所知，中學(xué)數(shù)學(xué)教育界至少達(dá)成了如下共識(shí)：

1. 課堂教學(xué)不僅是一個(gè)傳授知識(shí)的過(guò)程，而且是一個(gè)促進(jìn)人全面發(fā)展的過(guò)程，體現(xiàn)在教學(xué)的三維目標(biāo)設(shè)計(jì).

2. 課堂教學(xué)不僅是一個(gè)告訴學(xué)生科學(xué)結(jié)論的過(guò)程，而且是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生探索精神、探究能力和創(chuàng)新意識(shí)的過(guò)程.

3.？搖 要培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力、實(shí)踐能力.

4. 教學(xué)要鼓勵(lì)學(xué)生相互交流、合作學(xué)習(xí).

還有一條可能是大家都不說(shuō)，但心知肚明的：要讓學(xué)生考試得高分.

新的教學(xué)理念對(duì)教學(xué)模式提出了新的要求，然而，“最好的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)莫過(guò)于對(duì)于學(xué)科本身的內(nèi)在興趣和由于發(fā)現(xiàn)所產(chǎn)生的興奮感和自信心”. 教學(xué)模式必須關(guān)注教學(xué)材料的組織. 下面以向量的數(shù)量積為例，談高中數(shù)學(xué)的小專題設(shè)計(jì).

閱讀教材

教師備課，先要閱讀教材. 人教版《高中數(shù)學(xué)必修四》關(guān)于“平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義（前一部分）”包含下面的內(nèi)容.

1. 物體在力F的作用下，產(chǎn)生的位移s所做的功W=Fscosθ.

2. 非零向量a與b的數(shù)量積a·b=a·bcosθ.

3. 零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

4. 向量a在向量b方向上的投影acosθ= .

5. 設(shè)向量a與向量b是非零向量，要求學(xué)生探究的三個(gè)結(jié)論：

（1）a⊥b？圳a·b=0;

（2）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=ab;當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-ab;特別地，a·a=a2.

（3）a·b≤ab.

6. 用定義求數(shù)量積的一個(gè)例子.

7. 相關(guān)的練習(xí)有三道：

（1）用定義求數(shù)量積的練習(xí)

（2）向量數(shù)量積與三角形的形狀.

（3）畫(huà)出一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影并計(jì)算其值.

明確主題，解析教學(xué)目標(biāo)

專題教學(xué)是相對(duì)綜合性強(qiáng)的課堂而言的，反對(duì)傳統(tǒng)課堂上教學(xué)內(nèi)容的“雜”.這里強(qiáng)調(diào)專題要小，是因?yàn)檫@里只談一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注的是課堂的教學(xué)設(shè)計(jì).

本課的主題是什么？本課的主題是兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義：非零向量a與b的數(shù)量積a·b=abcosθ. 主題即專題，本節(jié)課我們按這個(gè)專題來(lái)設(shè)計(jì). 教材中零向量的數(shù)量積作為特殊的規(guī)定，需要附帶說(shuō)明.

物體在力的作用下做功，是新概念的背景，按數(shù)學(xué)教學(xué)的說(shuō)法，是引入概念的“情境”. 教材中，向量a在向量b方向上的投影的背景是力在物體運(yùn)動(dòng)方向上的分力，練習(xí)中又有要求，因此，在數(shù)量積的概念教學(xué)中要恰當(dāng)?shù)厍度脒@個(gè)“契子”.

向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角形、正方形、長(zhǎng)方體都是好的載體. 這里有一個(gè)要求學(xué)生正確判斷兩個(gè)向量的夾角的問(wèn)題. 三個(gè)結(jié)論是讓學(xué)生探究的，其中有的結(jié)論在后面的學(xué)習(xí)中充當(dāng)“公式”，教學(xué)中應(yīng)引起重視.

熟練地進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，是教學(xué)過(guò)程中自始至終的教學(xué)目標(biāo).

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）引入問(wèn)題

已知兩個(gè)向量a，b，如圖1.

我們學(xué)會(huì)了求它們的和與差a+b，a-b（圖2）.

數(shù)學(xué)家們需要進(jìn)一步關(guān)心的是a·b=？

（學(xué)生發(fā)表一下意見(jiàn)，可能不得要領(lǐng)）

（二）問(wèn)題解決

1. 物理學(xué)家所做的工作

提問(wèn)：小車(chē)在大小為300牛的力F作用下，產(chǎn)生大小為2m的位移s，若F、s的夾角是60°.

（1）求力F在s方向上的分力;

（2）求力F所做的功.

圖3

（答案：（1）Fcosθ=300× =150牛，（2）W=FScosθ=300×2× =300J）

說(shuō)明：指出分力，原因是為后面“b在a的方向上的投影”做鋪墊.

2. 數(shù)學(xué)家的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量abcosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b=abcosθ. 其中θ是a與b的夾角.

用幾何畫(huà)板作下圖（圖4），并用度量工具、計(jì)算工具求出兩向量的數(shù)量積.

圖4

設(shè)計(jì)意圖：上面的操作讓學(xué)生理解到，求兩個(gè)向量的數(shù)量積，先要求兩個(gè)向量的長(zhǎng)度與夾角.

3. 關(guān)于數(shù)量積的兩個(gè)問(wèn)題

（1）上面的定義沒(méi)有給出兩個(gè)向量中，一個(gè)是零向量或者兩個(gè)都是零向量，它們的數(shù)量積的意義，怎么規(guī)定好呢？

預(yù)設(shè)：學(xué)生可能這么討論，這兩個(gè)向量的夾角是不確定的，但兩個(gè)向量的模至少有一個(gè)為零，于是abcosθ=0.

規(guī)定：若a，b至少有一個(gè)是零向量，則a·b=0.

（2）在圖1中，你能作出力F在s方向上的分力并指出分力的大小嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生會(huì)作出圖5，指出F在s方向上的分力是 ，它的大小 =F·cosθ.

圖5

在定義式a·b=abcosθ中的bcosθ是一個(gè)實(shí)數(shù)，它叫向量b在向量a的方向上的投影. 那么也可以說(shuō)，數(shù)量積a·b就是a的長(zhǎng)度與b在a的方向上的投影的乘積.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)量積概念的形成過(guò)程，是物理知識(shí)向數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移過(guò)程.這里關(guān)于投影的教學(xué)有利于學(xué)生形成類比推理的能力.

（三）深化學(xué)習(xí)

理解新概念、掌握新概念，最好的方法莫過(guò)于做練習(xí). 接著讓學(xué)生做下面的練習(xí)是合適的.

題組一：設(shè)a=3，b=4

1.？搖當(dāng)向量a，b的夾角為60°時(shí)，a·b=？

2.？搖當(dāng)向量a，b夾角為120°時(shí)，a·b=？

3.？搖當(dāng)向量a，b同向時(shí)，a·b=？

4.？搖當(dāng)向量a，b異向時(shí)，a·b=？

5.？搖當(dāng)向量a，b互相垂直時(shí)，a·b=？

6.？搖a·a=？

7.？搖已知a·b=-6 ，a，b的夾角是多少度？

小組討論一：

通過(guò)上面的練習(xí)，你從中發(fā)現(xiàn)了哪些規(guī)律？

預(yù)設(shè)：通過(guò)小組討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了下面的結(jié)論.

（1）在a≠0，b≠0的前提下，當(dāng)a，b的夾角為銳角時(shí)，a·b>0;當(dāng)a，b夾角為鈍角時(shí)，a·b<0. 當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b=0.

（2）當(dāng)a，b同向時(shí)，a·b=ab;當(dāng)a，b異向時(shí)，a·b=-ab;a·b≤ab;a·a=a2.

（3）數(shù)量積的定義式常變形為cosθ= ，用來(lái)求兩向量的夾角.

設(shè)計(jì)意圖：得到了向量數(shù)量積的概念，順其自然的工作當(dāng)然是求向量的數(shù)量積. 上面的練習(xí)入手相當(dāng)容易，學(xué)生有“剛學(xué)過(guò)就會(huì)了”的成就感. 習(xí)題簡(jiǎn)單，但學(xué)生通過(guò)練習(xí)所得到的發(fā)現(xiàn)卻是相當(dāng)不簡(jiǎn)單的. 上面的練習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力、實(shí)踐探索能力;上面的討論，有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，有利于學(xué)生形成合作、交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 專題教學(xué)，不是簡(jiǎn)單地把科學(xué)結(jié)論告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生通過(guò)積極主動(dòng)的探究得出結(jié)果. 因而這里的小專題教學(xué)也可以說(shuō)是小專題探究教學(xué).

有的教學(xué)設(shè)計(jì)，給出概念后不是讓學(xué)生做簡(jiǎn)單練習(xí)，而是給出下面這樣虛幻的問(wèn)題：

“在研究夾角對(duì)數(shù)量積結(jié)果的影響過(guò)程中，有哪個(gè)特殊情況最吸引你？”

下面這樣簡(jiǎn)單的習(xí)題，不是讓學(xué)生做，而是作為例題來(lái)講解.

“例 （1）已知a=3，b=2，〈a，b〉=20°，求a·b;

（2）已知a=3，b=2，〈a，b〉= ，求a·b;

（3）已知a=3，b在a方向上的正射影的數(shù)量是-2，求a·b.”

顯然，上面的做法錯(cuò)失了培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力的良好機(jī)會(huì). 所提的問(wèn)題，以及“正射影”概念的引入又無(wú)端地增大了教學(xué)的難度.

題組二

1. 在直角三角形ABC中（圖6），C=90°，A=60°，AC=3，AB=6.

求：（1） · ;（2） · .

圖6

2. 如圖7，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6.

求：（1） · ;

（2） · ;

（3） · .

圖7

？搖3. 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1（圖8），AC是它的一條對(duì)角線. ?=a， =b，用a，b表示：

（1）（ · ）· ;

（2） ·（ · ）.

圖8

小組討論二：

1. 已知a·b=0，是否一定有a=0或b=0？

2. 若a·b=a·c，是否一定有b=c？

預(yù)設(shè)：學(xué)生自主做題時(shí)，由于不能正確判定兩個(gè)向量的夾角出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，但通過(guò)互相交流能改正錯(cuò)誤. 能從第1題、第3題的解答中，對(duì)討論的兩個(gè)問(wèn)題做出正確的判斷.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生暴露錯(cuò)誤，通過(guò)互相學(xué)習(xí)糾正錯(cuò)誤，是掌握新知的好方法. 在具體例子中尋找反例，是數(shù)學(xué)研究的一種重要方法，這里的設(shè)計(jì)有利于學(xué)生掌握這種方法.

“數(shù)”從“形”來(lái)，這里又回到“形”去. 從上述三道練習(xí)，學(xué)生領(lǐng)會(huì)到，用定義法求兩向量的數(shù)量積關(guān)鍵在于判斷兩個(gè)向量的夾角. 本練習(xí)能鞏固夾角概念，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力和探究能力.

題組一求向量的數(shù)量積，題組二還是求向量的數(shù)量積. 有的教學(xué)設(shè)計(jì)給出向量的數(shù)量積的概念后，不是讓學(xué)生去求向量的數(shù)量積，而是直接提出下面的問(wèn)題讓學(xué)生去探究.

教師：數(shù)量積與兩個(gè)實(shí)數(shù)的積有什么異同點(diǎn)？數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)，與向量的加、減、數(shù)乘有何不同？

學(xué)生：①在實(shí)數(shù)中，若a≠0，且a·b=0，則b=0;但在數(shù)量積中，若a≠0且a·b=0，不能推出b=0;②實(shí)數(shù)a，b，c（b≠0），由a·b=b·c可推出a=c;但a·b=b·c不能推出a=c;③在實(shí)數(shù)中，（a·b）·c=a·（b·c），但是（a·b）·c≠a·（b·c）”.

這樣的探究是否真實(shí)？很可能只是學(xué)生照著課本上的結(jié)論說(shuō)而已. 如果在非重點(diǎn)學(xué)校，學(xué)生什么都探究不出，最后只能是老師灌輸式地講.

（四）課后作業(yè)（略）

本課自然流暢，無(wú)半點(diǎn)做作. 學(xué)生在圍繞數(shù)量積的定義練習(xí)的過(guò)程中，理解新概念、掌握新概念;在學(xué)生的交流與反思中，探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 通過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)生變得更愛(ài)數(shù)學(xué)，更愛(ài)探究與創(chuàng)新.