楊恒占，張 可，錢(qián)富才

（1．西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，西安710021；2．西安理工大學(xué) 自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，西安710048）

動(dòng)態(tài)故障樹(shù)（Dynamic Fault Tree，DFT）是采用動(dòng)態(tài)邏輯門(mén)進(jìn)行實(shí)際物理系統(tǒng)故障診斷的一種方法．自1992年動(dòng)態(tài)故障樹(shù)模型首次提出起［1］，已在不同領(lǐng)域得到深入的研究．由于動(dòng)態(tài)故障樹(shù)建模方便、高效，其實(shí)際應(yīng)用也越來(lái)越廣泛．例如容錯(cuò)計(jì)算機(jī)、航空電子設(shè)備系統(tǒng)、FTPP（容錯(cuò)并行處理器）配置、航天系統(tǒng)等系統(tǒng)的可靠性分析中，大量應(yīng)用動(dòng)態(tài)故障樹(shù)計(jì)算故障事件發(fā)生概率［2-3，10-11］．目前，在動(dòng)態(tài)故障樹(shù)算法理論研究方面，主要形成了三種算法思路［4］：基于Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程的分析算法、基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)（Bayesian Network，BN）的分析算法和基于梯形公式的近似分析算法［5-7］．這些方法在不同領(lǐng)域都得到了一定的應(yīng)用，但普遍存在計(jì)算復(fù)雜、計(jì)算效率低問(wèn)題，阻礙了在線(xiàn)分析應(yīng)用，尤其在故障樹(shù)的規(guī)模較大時(shí)更為明顯．

在動(dòng)態(tài)故障樹(shù)中，故障事件位于故障樹(shù)頂部，引起它發(fā)生的隨機(jī)因素很多，而其發(fā)生概率就是眾多隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)在特定區(qū)域的積分．這是一個(gè)多重積分的計(jì)算問(wèn)題，除非該積分能轉(zhuǎn)化為多個(gè)單重積分，否則這類(lèi)問(wèn)題的傳統(tǒng)算法都會(huì)遇到計(jì)算爆炸問(wèn)題，而且隨積分維數(shù)的增加計(jì)算量呈指數(shù)增長(zhǎng)．這也是傳統(tǒng)算法效率低下的根本原因．因此，迫切需要尋找一種簡(jiǎn)單、高效的求解動(dòng)態(tài)故障樹(shù)頂事件故障概率的算法．

本文在動(dòng)態(tài)故障樹(shù)分析過(guò)程中應(yīng)用Monte Carlo方法，將多重積分等價(jià)為具有特定分布隨機(jī)函數(shù)的期望值，設(shè)計(jì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)以獲得隨機(jī)被積函數(shù)的樣本．

1 動(dòng)態(tài)邏輯模塊頂事件發(fā)生概率的計(jì)算公式

動(dòng)態(tài)故障樹(shù)由多種動(dòng)態(tài)邏輯門(mén)根據(jù)實(shí)際物理關(guān)系組合而成．動(dòng)態(tài)邏輯門(mén)包括順序相關(guān)門(mén)、優(yōu)先與門(mén)、冷備件門(mén)、熱備件門(mén)和功能相關(guān)門(mén)．已知一系列隨機(jī)變量的分布就可以求得這些隨機(jī)變量函數(shù)的分布，因此通過(guò)分析動(dòng)態(tài)故障樹(shù)子樹(shù)的失效分布就能夠得到動(dòng)態(tài)故障樹(shù)頂事件的失效分布．各種動(dòng)態(tài)邏輯模塊失效分布的運(yùn)算機(jī)理為

1．1 順序相關(guān)門(mén)

順序相關(guān)門(mén)的邏輯功能是當(dāng)?shù)资录詮淖蟮接业捻樞蛞来伟l(fā)生時(shí)頂事件才發(fā)生．假設(shè)底事件xi（i＝1，2，…，m-1，m）的發(fā)生時(shí)間Ti的概率分布函數(shù)依次為Gi（xi），那么頂事件的發(fā)生時(shí)間T的概率分布函數(shù)GS（t）為

1．2 優(yōu)先與門(mén)

優(yōu)先與門(mén)是順序相關(guān)門(mén)輸入為兩個(gè)時(shí)的特例，在邏輯上相當(dāng)于“與門(mén)”，但是要求輸入事件必須以指定的順序發(fā)生．假設(shè)底事件x1和x2的發(fā)生時(shí)間T1和T2的概率分布函數(shù)分別為G1（x1）和G2（x2），則頂事件的發(fā)生時(shí)間 的概率分布函數(shù)GY（t）為

1．3 冷備件門(mén)

冷備件門(mén)有一個(gè)主件和一個(gè)備件，且二者都是基本事件．主件一開(kāi)始就進(jìn)入工作狀態(tài)；備件則是指一開(kāi)始不工作只是作為主件的替代備件，其失效率為零．假設(shè)主件x1和備件x2的發(fā)生時(shí)間T1和T2的分布函數(shù)分別為G1（x1）和G2（x2），則頂事件的發(fā)生時(shí)間的分布函數(shù)GL（t）為

1．4 熱備件門(mén)

熱備件門(mén)有一個(gè)主件和一個(gè)備件，且二者都是基本事件．主件與備件同時(shí)處于工作狀態(tài)，負(fù)荷分擔(dān)，主件與備件的失效分布函數(shù)基本相同；當(dāng)主件和備件均失效時(shí)，頂事件發(fā)生．一般應(yīng)用在可靠性要求較高系統(tǒng)中．假設(shè)主件x1和備件x2的發(fā)生時(shí)間T1和T2的分布函數(shù)分別為G1（x1）和G2（x2），則頂事件的發(fā)生時(shí)間T的分布函數(shù)GR（t）為

1．5 功能相關(guān)門(mén)

功能相關(guān)門(mén)的邏輯功能為當(dāng)觸發(fā)事件發(fā)生時(shí)就會(huì)引起基本事件發(fā)生，則頂事件也會(huì)發(fā)生；或者基本事件單獨(dú)發(fā)生時(shí)，頂事件也會(huì)發(fā)生．假設(shè)觸發(fā)事件x1和底事件x2的發(fā)生時(shí)間T1和T2的分布函數(shù)分別為G1（X1）和G2（X2），則頂事件的發(fā)生時(shí)間T的分布GG（t）為

綜上分析，多重積分的計(jì)算成為動(dòng)態(tài)故障樹(shù)分析方法的核心問(wèn)題，而這些積分的計(jì)算量過(guò)大問(wèn)題嚴(yán)重制約了動(dòng)態(tài)故障樹(shù)方法的推廣應(yīng)用．

2 Monte Carlo方法

Monte Carlo方法是指任何利用隨機(jī)數(shù)列來(lái)做隨機(jī)模擬的數(shù)值方法，該方法一般通過(guò)構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來(lái)解決數(shù)學(xué)上的各種問(wèn)題．對(duì)于計(jì)算過(guò)于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒(méi)有解析解的問(wèn)題，Monte Carlo方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法，Monte Carlo方法在數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的應(yīng)用就是Monte Carlo積分．許多物理問(wèn)題都會(huì)涉及到多重積分的計(jì)算問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，計(jì)算量隨維數(shù)的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)，傳統(tǒng)的數(shù)值算法難以求解，Monte Carlo積分方法能很好的求解多重積分問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)多重積分的快速計(jì)算，因?yàn)樵摲椒ǖ挠?jì)算不依賴(lài)于維數(shù)．

Monte Carlo方法的解題過(guò)程可以歸結(jié)為三個(gè)主要步驟：構(gòu)造或描述概率過(guò)程；實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣；建立各種估計(jì)量．Monte Carlo求解多重積分發(fā)展較成熟的方法主要有兩種［8-9］：隨機(jī)投點(diǎn)法和均值估計(jì)法．因?yàn)殡S機(jī)投點(diǎn)法的誤差較大且做法繁瑣，通常不被采用．均值估計(jì)法比隨機(jī)投點(diǎn)法更好操作，精度更高（若選擇的密度函數(shù)合適）．文中采用均值估計(jì)法求解動(dòng)態(tài)故障樹(shù)中的多重積分，最終得到頂事件發(fā)生概率．均值估計(jì)法原理．

考慮k重積分

其中Ω為k維積分區(qū)域．

選取Ω上的一個(gè)概率密度函數(shù)g（x1，x2，…，xk-1，xk），使它滿(mǎn)足當(dāng)（x1，x2，…，xk-1，xk）∈Ω時(shí)g（x1，x2，…，xk）≠0．

其中m是隨機(jī)點(diǎn)落在Ω區(qū)域中的投點(diǎn)數(shù)．

Monte Carlo積分本質(zhì)在于將積分平均轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)平均，因此大大簡(jiǎn)化了積分計(jì)算過(guò)程．本文結(jié)合某衛(wèi)星太陽(yáng)翼驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的步進(jìn)電機(jī)實(shí)例，將此方法應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中．

3 衛(wèi)星太陽(yáng)翼驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)步進(jìn)電機(jī)實(shí)例分析

該步進(jìn)電機(jī)由定子、轉(zhuǎn)子、軸承、定子繞組等組成，而其易損零部件主要為軸承與定子繞組．為了提高系統(tǒng)的可靠性，航天器機(jī)構(gòu)中的步進(jìn)電機(jī)通常采用雙繞組作為備份手段．其中軸承模塊包括軸承1和軸承2兩個(gè)，它們與定子繞組之間為“或門(mén)”關(guān)系，即其中一個(gè)故障，系統(tǒng)失效．定子繞組模塊由定子繞組主件和定子繞組備件組成，它們之間是冷備件關(guān)系，即主件失效，則啟用備件，當(dāng)備件再失效，則宣布系統(tǒng)失效．

由以上分析可得“步進(jìn)電機(jī)故障”的動(dòng)態(tài)故障樹(shù)模型如圖1所示．

圖1 “步進(jìn)電機(jī)故障”DFT模型Fig．1 DFT model for“Stepping motor fault”

圖1中A，C，X1和X2為模型的底事件，分別代表軸承1，軸承2，定子繞組主件和定子繞組備件；B為模型的中間事件，代表定子繞組；T為模型的輸出事件，代表步進(jìn)電機(jī)失效．

由以上DFT模型可知，頂事件T發(fā)生概率為

假設(shè)軸承1和軸承2的壽命均服從指數(shù)分布，其失效率為1．0×10-6h-1，其失效率函數(shù)分別為

假設(shè)定子繞組的主件與備件的壽命服從w（100 000，3）分布，其失效概率函數(shù)分別為

根據(jù)式（3）可得定子繞組的失效概率函數(shù)為

選取g（t1，t2）為積分區(qū)域Ω上的均勻分布，設(shè)Ω的體積為Vs，則

由式（6）和式（10）可轉(zhuǎn)換為

將定子繞組的失效概率函數(shù)以及軸承1和軸承2作為頂事件的輸入，即可求得“步進(jìn)電機(jī)故障”動(dòng)態(tài)故障樹(shù)模型頂事件在t時(shí)刻的發(fā)生概率．

采用Monte Carlo算法在不同時(shí)刻編程求解式（11），結(jié)合式（7）～（8）求得頂事件T的發(fā)生概率．

為了說(shuō)明本文方法的優(yōu)越性，針對(duì)“步進(jìn)電機(jī)故障”動(dòng)態(tài)故障樹(shù)模型與梯形公式法進(jìn)行了仿真結(jié)果對(duì)比，得出頂事件不可靠度和計(jì)算效率的比較結(jié)果見(jiàn)表1．

可見(jiàn)，Monte Carlor方法可以應(yīng)用于實(shí)際航天系統(tǒng)中重要的數(shù)值積分計(jì)算，實(shí)現(xiàn)航天系統(tǒng)的故障診斷．應(yīng)用Monte Carlo方法計(jì)算動(dòng)態(tài)故障樹(shù)頂事件故障概率，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，顯著提高了計(jì)算效率，并且隨著積分維數(shù)的增加，Monte Carlo方法性能優(yōu)勢(shì)更加明顯．

表1 頂事件不可靠度和仿真效率結(jié)果比較Tab．1 Comparison between the top event reliability and the computational efficiency

4 結(jié) 論

1）本文將Monte Carlo方法應(yīng)用于動(dòng)態(tài)故障樹(shù)頂事件發(fā)生概率的求解中，將頂事件概率轉(zhuǎn)換為不同的多重積分，把多重積分等價(jià)為具有特定分布隨機(jī)函數(shù)的期望值，該樣本均值就是多重積分的近似值，設(shè)計(jì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)以獲得隨機(jī)被積函數(shù)的樣本，用Monte Carlo方法求出樣本均值，實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)故障樹(shù)的定量分析．該樣本均值就是多重積分的近似值．

2）通“衛(wèi)星太陽(yáng)翼驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)步進(jìn)電機(jī)”實(shí)例分析與梯形公式法進(jìn)行比較，本文方法與梯形公式法相比較在計(jì)算結(jié)果上基本一致，仿真效率比梯形公式法提高了50%，滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)故障樹(shù)頂事件發(fā)生概率的計(jì)算要求．

3）采用Monte Carlo方法進(jìn)行動(dòng)態(tài)故障樹(shù)的定量分析，不依賴(lài)于積分維數(shù)，尤其適用于復(fù)雜多維積分問(wèn)題的求解．能夠有效解決動(dòng)態(tài)故障樹(shù)方法固有的計(jì)算困難問(wèn)題，有效避免了傳統(tǒng)故障樹(shù)分析中“組合爆炸”問(wèn)題的發(fā)生，滿(mǎn)足航天系統(tǒng)在線(xiàn)分析的要求．

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