楊 科，許連虎

（中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009）

基于非齊次泊松過程的航空裝備FFOP預(yù)計

楊 科，許連虎

（中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009）

對于可修復(fù)產(chǎn)品，無故障工作期（FFOP）與無維修工作期（MFOP）存在緊密聯(lián)系。依據(jù)泊松理論，故障率函數(shù)具有浴盆曲線特征的故障發(fā)生過程需要用非齊次泊松過程進(jìn)行描述。首先介紹了FFOP的概念及其國內(nèi)外技術(shù)發(fā)展歷程；繼而，利用基于修正的Weibull分布函數(shù)構(gòu)建的浴盆曲線故障率函數(shù)，對故障率具有浴盆曲線特征的裝備提出了FFOP預(yù)計方法，并通過案例說明了預(yù)計方法的可行性。最后，分析了裝備FFOP與基于MFOP的裝備維修策略的關(guān)系，認(rèn)為裝備FFOP的確定應(yīng)綜合權(quán)衡可靠性/安全性和維護(hù)成本。

無故障工作期，無維修工作期，泊松過程，浴盆曲線，可靠性

0 引言

隨著信息化技術(shù)、制造工藝水平的快速發(fā)展，新一代航空裝備集成化、信息化、綜合化的特點(diǎn)日益突出。為應(yīng)對戰(zhàn)場復(fù)雜信息化環(huán)境、極端自然環(huán)境和工作條件，要求裝備必須滿足高可靠性、易維護(hù)、好保障目標(biāo)，從整體提升裝備的戰(zhàn)備完好性與任務(wù)成功性。無故障工作期（Failure Free Operating Period，F(xiàn)FOP）被定義為產(chǎn)品不會發(fā)生任何故障的時間。對于新一代航空裝備而言，具備一定的無故障工作期是達(dá)到提升裝備戰(zhàn)備完好性和任務(wù)成功性目標(biāo)的必要保證。FFOP與裝備維修策略的制定及維護(hù)費(fèi)用也有緊密聯(lián)系，因此，進(jìn)行航空裝備FFOP預(yù)計，為裝備維護(hù)保障計劃的確定提供支持，對降低裝備的運(yùn)行成本具有十分重要的意義。

根據(jù)泊松理論，泊松過程能夠描述實(shí)際生活或自然界中隨機(jī)事件的發(fā)生［1］，對大多產(chǎn)品的故障發(fā)生也有適用性。針對故障服從指數(shù)分布的產(chǎn)品，其故障率被認(rèn)為常數(shù)，則壽命周期內(nèi)的故障事件的發(fā)生可以用齊次泊松過程描述［6］。然而，由于某些產(chǎn)品在交付之前因受到環(huán)境應(yīng)力篩選有效性的限制或是其本身特點(diǎn)決定，其故障率仍具有浴盆曲線特征，因此，需要用非齊次泊松過程來描述其故障的隨機(jī)發(fā)生。

本文首先介紹FFOP的概念及國內(nèi)外技術(shù)發(fā)展歷程，然后利用基于修正的Weibull分布函數(shù)構(gòu)建的浴盆曲線故障率函數(shù)，提出基于非齊次泊松過程的FFOP預(yù)計方法，繼而利用該FFOP預(yù)計方法對某航空裝備的FFOP進(jìn)行預(yù)計，并分析預(yù)防維修策略對裝備FFOP的影響。

1 FFOP介紹

FFOP概念最早源于美國空軍頒布的軍用規(guī)范MIL-A-87244《航空電子設(shè)備完整性大綱要求》［2］，即FFOP內(nèi)不允許故障但允許維修活動，可以認(rèn)為FFOP是一系列免維修工作期的集合［3］。其通常作為耐久性參數(shù)與1996年英國國防部提出的免維修工作期（Maintenance Free Operating Period，MFOP）結(jié)合度量產(chǎn)品的耐久性。

國外有大量文獻(xiàn)關(guān)于無故障工作期/免維修工作期（F/M-FOP）概念的闡述以及適用場合的分析，事實(shí)證明其對裝備維修策略的確定有顯著幫助。對于可修復(fù)的產(chǎn)品，F(xiàn)FOP、MFOP及其平均故障間隔時間（Mean Time to Failure，MTBF）其實(shí)具有內(nèi)在的聯(lián)系，如文獻(xiàn)［3］將MFOP與MTBF進(jìn)行了對比分析，并研究了基于任務(wù)可靠度和更新理論的MFOP預(yù)計方法。產(chǎn)品的故障通常可理解為有限區(qū)間內(nèi)的離散事件，文獻(xiàn)［4-6］基于此假設(shè)，利用統(tǒng)計方法估計產(chǎn)品存在某固定長度MFOP的概率。

國內(nèi)近年來也開展了基于MFOP的維修方案研究及FFOP預(yù)計方法研究，如文獻(xiàn)［7］闡述了MFOP的產(chǎn)生背景、概念、內(nèi)涵及應(yīng)用情況，提出了獲取MFOP的獲取思路，總結(jié)了實(shí)現(xiàn)MFOP的方法和技術(shù)途徑，并給出相關(guān)MFOP應(yīng)用研究的建議；文獻(xiàn)［8］進(jìn)行了故障服從齊次泊松過程情況的FFOP預(yù)計方法研究，并在典型機(jī)電產(chǎn)品上的應(yīng)用驗(yàn)證了所提方法的合理性；而文獻(xiàn)［9］則開展了基于浴盆曲線故障率函數(shù)的FFOP預(yù)計方法研究，說明了FFOP與MTBF的區(qū)別，提出了服從非齊次泊松過程的預(yù)計模型和預(yù)計步驟，并分析計算不同維修策略下的裝備FFOP預(yù)計值。

2 FFOP預(yù)計

2.1 預(yù)計方法

依據(jù)MIL-A-87244，當(dāng)產(chǎn)品發(fā)生故障的概率達(dá)到2%時，則認(rèn)為所經(jīng)歷時間為該產(chǎn)品的FFOP。但對于某些產(chǎn)品，其故障率密度函數(shù)滿足如圖1所示的曲線，得到的FFOP很短。從而需要進(jìn)行定期的預(yù)防維護(hù)，使產(chǎn)品在使用之前修復(fù)如新，以降低故障發(fā)生概率，這對于可靠性/安全性要求高的產(chǎn)品來說顯得很有必要。

前面已提到MFOP與FFOP聯(lián)系緊密，認(rèn)為FFOP是一系列MFOP的集合。在此假定在時間區(qū)間［0，L］內(nèi)，銀行VIP服務(wù)系統(tǒng)的免維修工作周期為s，此系統(tǒng)在周期s內(nèi)最多只為3位客戶提供服務(wù)，若在s時間段有多于3位客戶出現(xiàn)，即認(rèn)為系統(tǒng)過載（故障），則系統(tǒng)的FFOP為s的概率為P{n［t，t+ s］≤3}，n［t，t+s］為s時間段內(nèi)的客戶數(shù)量。若使產(chǎn)品在工作期［0，L］內(nèi)無過載（故障）工作，則需在每次故障之前即刻進(jìn)行維護(hù)并恢復(fù)到“完好”狀態(tài)。此外，對于一個升降系統(tǒng)同樣適用，假設(shè)該系統(tǒng)免維修工作期s內(nèi)限定的升降次數(shù)為100次，若在s內(nèi)超過限定的升降次數(shù)，則系統(tǒng)會出現(xiàn)異常。因此，只要在限定升降次數(shù)內(nèi)，及時對系統(tǒng)進(jìn)行維護(hù)即可避免故障發(fā)生。

FFOP要求在［0，L］內(nèi)系統(tǒng)無故障運(yùn)行，為此就需要在故障發(fā)生前及時維修至完好狀態(tài)。由于一次維修工作期只能解決一次隨機(jī)故障，隨機(jī)故障的發(fā)生次數(shù)與維護(hù)次數(shù)一致，即第i次和第i+1次維修之間的間隔時間si，i+1小于第i次和第i+1次實(shí)際故障間隔時間Si，i+1。若在工作期［0，L］內(nèi)出現(xiàn)n次故障，規(guī)定的MFOPi，i+1=si，i+1，則存在時間為L的FFOP的概率表示為

式中：n為故障次數(shù)。

對于大多數(shù)產(chǎn)品，其故障率函數(shù)類似浴盆曲線，故障率并非常值，則壽命周期內(nèi)隨機(jī)故障的發(fā)生必須用非齊次泊松過程描述?；诜驱R次泊松過程的FFOP預(yù)計方法有如下假設(shè)：①故障事件的發(fā)生服從泊松過程；②故障率函數(shù)為浴盆曲線；③FFOP內(nèi)允許固定周期的計劃維修，產(chǎn)品修復(fù)如新；④一個MFOP內(nèi)不允許有任何影響產(chǎn)品正常運(yùn)行的故障事件，且一次維護(hù)只能處理一次隨機(jī)故障。

2.2 浴盆曲線故障率函數(shù)

文獻(xiàn)［10］已基于修正的Weibull分布函數(shù)給出具有浴盆曲線特征的故障密度函數(shù)，形式如下，

對應(yīng)的可靠度函數(shù)為

故障率函數(shù)為

式中：α，β，γ均為以上函數(shù)中的未知參數(shù)。

經(jīng)過驗(yàn)證，以上故障率函數(shù)的曲線明顯呈浴盆曲線特性，可以描述分布特征為浴盆曲線的產(chǎn)品故障率［9］。

2.3 預(yù)計過程

當(dāng)產(chǎn)品故障不服從指數(shù)分布，即故障率非常值時，其壽命周期內(nèi)發(fā)生的故障服從非齊次泊松過程，基于非齊次泊松過程的FFOP存在概率的計算公式為［9］

式中：r為允許的維護(hù)次數(shù)，λ（t）則需要在FFOP預(yù)計之前根據(jù)式（2）～式（4）求得。

FFOP的預(yù)計過程如圖2所示。

首先設(shè)定初始參數(shù)，包括初始維護(hù)次數(shù)r=1、FFOP為L的置信度P*FFOP和MFOP。按照圖2方法，隨著維護(hù)次數(shù)的遞增，得到的最大維護(hù)次數(shù)r滿足式（6），F(xiàn)FOP的估計區(qū)間估計由式（7）獲得。

3 案例

作為一種可靠性度量或者理念，MFOP可用于多個領(lǐng)域，為此考慮既然是一系列MFOP集合的FFOP也應(yīng)有較為廣泛的應(yīng)用。飛機(jī)及其機(jī)載武器系統(tǒng)等可靠性要求高、維護(hù)費(fèi)用高的裝備，F(xiàn)FOP的預(yù)計對其維修策略的制定可以提供很好的支持。本文以某機(jī)載武器系統(tǒng)為例，進(jìn)行FFOP預(yù)計方法的應(yīng)用和不同MFOP對裝備FFOP的影響。

根據(jù)某型機(jī)載武器系統(tǒng)壽命試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行FFOP預(yù)計，表1為18套樣本的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中ti為故障前時間（Time to Failure，TTF），F(xiàn)（ti）是由平均秩次法得到的故障概率值［11］，Lnt和ln（ln（1-ln（1-F（t））））供后續(xù)參數(shù)估計使用。

用式（2）描述該產(chǎn)品的故障分布函數(shù)，然后采用極大似然參數(shù)估計法構(gòu)造的似然函數(shù)為［10］，

式中：n為樣本數(shù)量，0＜i≤n。

對式（8）未知參數(shù)α，β，γ求偏導(dǎo)，分別得到式（8）～式（10），

為保證結(jié)果精確性，首先利用圖形估計方法［10］對α，β，γ進(jìn)行初步估計，得到確定極大似然參數(shù)估計的初值α=358.117 6，β=0.715 2，γ=0.002 7，然后利用數(shù)值解析工具求得 α=373.498 6，β=0.965 0，γ= 0.003 8，帶入式（2）和式（3），得到：

通過對表1數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)式（12）得到的故障率函數(shù)曲線如圖3所示，可知該產(chǎn)品的故障率函數(shù)具有浴盆曲線特征，即可用非齊次泊松過程描述其故障發(fā)生。

根據(jù)MTBF的定義，利用式（12）求得該產(chǎn)品的MTBF為171.3 h。經(jīng)過了解該產(chǎn)品在外場的使用情況，確定其MFOP為16 h。按照圖2的FFOP預(yù)計過程，將式（11）帶入式（5），則在P*FFOP=0.9的規(guī)定條件下，得到不同維護(hù)次數(shù)對應(yīng)的PFFOP和FFOP，具體計算結(jié)果見表2。

從表2可以看出在一定的維護(hù)次數(shù)下該產(chǎn)品的FFOP為112 h，明顯低于其MTBF統(tǒng)計值。

對于不同MFOP，置信度P*FFOP=0.9，得到該產(chǎn)品對應(yīng)的最大維護(hù)次數(shù)和FFOP，見表3。

從表3可以看出，隨著MFOP的增多會使得FFOP=0。而當(dāng)MFOP=13 h左右時，F(xiàn)FOP與該產(chǎn)品MTBF最為接近，要求的維護(hù)次數(shù)在10～15次之間。由此可見，MFOP不能過大或者太小，過大會造成FFOP不存在，太小雖然能夠得到所希望的FFOP，但維護(hù)次數(shù)較多造成維修成本加大。因此，通過合理的制定裝備維修策略來確定其MFOP，對保證裝備較高的FFOP有直接影響。

4 結(jié)束語

基于非齊次泊松過程的航空裝備FFOP預(yù)計方法，能夠用于故障隨機(jī)發(fā)生服從非齊次泊松過程，且故障率函數(shù)具有浴盆曲線特征的裝備，通過FFOP的預(yù)計對裝備預(yù)防性維修策略的制定能夠提供積極的指導(dǎo)作用。

在工程中對復(fù)雜裝備來說，通常認(rèn)為其故障服從指數(shù)分布，即當(dāng)其故障率確定時，其MTBF肯定為一定值。但實(shí)際上由于多種因素的制約，裝備在交付后其故障率函數(shù)仍具有浴盆曲線特征，從而造成其FFOP隨MFOP的變化而改變，略大的MFOP會造成FFOP不存在，過小的MFOP會帶來難以接受的維護(hù)成本。因此，在確定裝備FFOP時應(yīng)綜合考慮維護(hù)成本與可靠性/安全性要求，來滿足實(shí)際工程應(yīng)用需求。

此外，需要注意的是裝備MFOP的實(shí)現(xiàn)受到可靠性設(shè)計、預(yù)防性維修和故障預(yù)測與健康管理等技術(shù)水平的制約，因此，需要為提升裝備的實(shí)際作戰(zhàn)效能，仍需要加大這些技術(shù)的工程應(yīng)用研究。

［1］Athanasios P，Unnikrishna P S.Probability Random Variables and Stochastic Processes［M］.Xi’an:Xi’an Jiaotong University Press，2004:364-372.

［2］MIL-A-87244A.Avionic/Electronic Integrity Program Requirements（AVIP）［S］.USAF，1986:10-18.

［3］Kumar U D，Knezevic J，Crocker J.Maintenance Free Operating Period:An Alternative Measure to MTBF and Failure Rate for Specifying Reliability［J］.Reliability Engineering and System Safety，1999，64（1）:127-131.

［4］Warrington L，Jeffery A，Davis J N.The Use of a Discrete Event Simulation to Model the Achievement of Maintenance Free Operation time for Aerospace Systems［C］//Proceedings of Annual Reliability and Maintainability Symposium，2001: 170-175.

［5］Warrington L，Jeffery A，Davis J N.Modeling of Maintenance，within Discrete Event Simulation［C］//Proceedings of Annual Reliability and Maintainability Symposium，2002: 260-265.

［6］Todinow M T.Reliability Governed by the Relative Locations of Random Variables Following a Homogeneous Poisson Process in a Finite Domain［J］.IEEE Transactions on Reliability，2004，53（2）:226-237.

［7］孫蛟，虞健飛.飛機(jī)MFOP概念與應(yīng)用研究［J］.航空維修與工程，2010，21（2）:33-36.

［8］Ma J M，Wu W W.Research on FFOP Prediction Approach of a Pulsegenerator Based on Homogeneous Possion Process［C］//Proceedings of International Conference on Reliability，Maintainability and Safety，2011:334-338.

［9］Ma J M，Wan W，Zeng S K.FFOP Predicton Method Based on Bathtub-shaped Failure Rate Function［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2012，33（9）：1664-1670.

［10］Xie M，Tang Y，Goh T N.A Modified Weibull Extension with Bathtub Shaped Failure Rate Function［J］.Reliability Engineering and System Safety，2002，76（3）：279-285.

［11］龔慶祥，趙宇，顧長鴻.型號可靠性工程手冊［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2007：486-487.

Research on FFOP Prediction Approach of the Aviation Arm Based on Inhomogeneous Poisson Process

YANG Ke，XU Lian-hu
（AVIC China Airborne Missile Academy，Luoyang 471009，China）

Failure Free Operating Period（FFOP）was connected with Maintenance Free Operating Period（MFOP）compactly towards the repairable product.The failure event of the arm should be modeled with inhomogeneous Poisson process，whose failure rate function is shaped like a bathtub curve.Firstly，the concept and the technology developing course of FFOP are introduced.Then，the FFOP prediction process is developed by the bathtub shaped failure rate function which is modeled based on modified Weibull distribution function.The accuracy of method is verified through case. Furthermore，the relationship between FFOP and maintenance strategy based on MFOP is illustrated. FFOP should be decided by weighing up reliability/safety and maintenance cost.

failure free operating period，maintenance free operating period，poisson process，bathtub curve，reliability

TP114.3

A

1002-0640（2015）09-0072-05

2014-08-09

2014-09-18

楊 科（1987- ），男，河南濟(jì)源人，碩士研究生，工程師。研究方向：可靠性系統(tǒng)工程。