由一個概率問題引發(fā)的思考

廖明芳

(咸寧市教育科學(xué)研究院，湖北 咸寧 437100)

概率問題在日常生活中有很多的應(yīng)用，但在解決問題的過程中，往往存在一些爭議，例如對題目中某些文字的理解是否正確？和日常生活的慣性思維是否存在反差？以及對事件的準(zhǔn)確區(qū)分導(dǎo)致錯誤的概率公式選擇,都會影響到題目最后正確的解答。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2009年第4期(上旬)P19 《是P(AB)還是P(B|A)》，就談及了此類條件概率的問題。初中九年級教材中也有一個概率題，聯(lián)想到湖北高考的一道概率題我有如下思考：

試題1：(9年級數(shù)學(xué)教科書下冊 人教版P163)動物學(xué)家通過大量的調(diào)查估計出，某種動物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，活到30歲的概率是0.3，現(xiàn)年20歲的這種動物活到25歲的概率為多少？現(xiàn)年25歲的這種動物活到30歲的概率是多少[1]？

教參答案：(題目的含義為：從出生活到20歲的概率為0.8；從出生活到25歲的概率為0.5；從出生活到30歲的概率為0.3。此題需要學(xué)生對用頻率估計概率有更深層次的理解)

試題2：(2005年湖北高考21題)某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同，假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1。壽命為2年以上的概率為p2。從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換。

(Ⅰ)在第一次燈泡更換工作中，求不需要更換燈泡的概率和更換兩只燈泡的概率；

(Ⅲ)當(dāng)p1=0.8，p2=0.3時，求在第二次燈泡更換工作中，至少需要更換4只燈泡的概率(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)。

(Ⅱ)對該盞燈來說，在第1、2次都更換了燈泡的概率為(1-p1)2；在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p1(1-p2)，故所求的概率為p=(1-p1)2+p1(1-p2)。

第二種答案是：

解：因為該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，壽命為2年以上的概率為p2。

所以壽命為1～2年的概率應(yīng)為p1-p2。其分布列為：

第一種浪形劃分是針對2449點上升的正?；卣{(diào)。2703點運(yùn)行的是ABC三浪下跌調(diào)整結(jié)構(gòu)，C3已經(jīng)結(jié)束于2489點或者是已經(jīng)結(jié)束于2462點了，目前處于C4小微浪的反彈過程當(dāng)中；最關(guān)鍵的問題是這里的C5小微浪并不能確認(rèn)最后會運(yùn)行到哪里。因為C5小微浪可以是失敗的不創(chuàng)新低的，甚至C3-5小浪和C5小浪有時候都很難進(jìn)行有效的區(qū)分清楚。

壽命0～11～22～p1-p1p1-p2p2

(Ⅱ)在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，該盞燈需要更換燈泡是兩個獨立的事件：

(1)在第1、2次都更換了燈泡的概率為(1-p1)2;

(2)在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p1-p2,故所求的概率為p=(1-p1)2+(p1-p2)。

(Ⅲ)由(Ⅱ)當(dāng)p1=0.8，p2=0.3時，在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，該盞燈需要更換燈泡的概率p3=(1-p1)2+(p1-p2)=0.54。

在第二次燈泡更換工作，至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況:

故至少換4只燈泡的概率為：p4=0.046+

0.196=0.242。

即滿兩年至少需要換4只燈泡的概率為

0.242。

試題2兩種解法的不同集中體現(xiàn)在第(2)問中的第二種情況，即第一次未更換而第二次更換燈泡的這個事件概率上。之所以出現(xiàn)這種差異，主要是對題意中的文字理解有誤，燈泡使用壽命1年以上，就是以1年為界限，一年內(nèi)概率(1-p1)，1年后概率p1，同樣燈泡使用壽命2年以上，就是以2年為界限，兩年內(nèi)概率(1-p2)，2年后概率p2，所有事件均以新燈泡起計算，以某一個時間為界，不存在解法二中的1年到2年之間的這樣一個事件，所以p1-p2的解答我認(rèn)為是有誤的。這個問題在此不多做贅述。

對于以上兩道概率題，出現(xiàn)在不同學(xué)段的概率問題上，可謂解答方法完全不同，考察的知識點也大相徑庭，對學(xué)生知識層面的要求更是不同,但對于此兩個問題，我認(rèn)真研讀了多遍，試圖尋找二者之間的牽連與異同。

2005年湖北高考的這道題當(dāng)時引發(fā)了很多的爭議，由于對文字理解的不同，導(dǎo)致出現(xiàn)兩種答案，而九年級的教材上此問題的再現(xiàn)，讓我再次驚嘆，這兩道題的背景是何其的相似，解法卻完全不同(不管是高考題中的哪種解法)，為何會出現(xiàn)如此大的差別，讓我們一起來追蹤兩道題的來龍去脈：

記A={燈泡壽命1年以上}，B={燈泡壽命2年以上}；C={動物活到20歲}，D={動物活到25歲}，E={動物活到30歲}。動物活到20歲即已經(jīng)到了20歲,也就是活到20歲以上。從題目隱含的意義上來講,這兩道題中給出事件所創(chuàng)設(shè)的情境是相同的,都指壽命年限的,那么每個事件所指的年限就應(yīng)該是從出生到這個時間截止,活到了這個時間期限，事件A和事件B所代表的含義不妨用下面的圖示觀察:

試題1圖示:

試題2圖示:

從圖示上我們可以清晰的發(fā)現(xiàn),B?A，E?D?C，

故而P(AB)=P(B)，P(CD)=P(D)，P(DE)=P(E)

我們用分析概率題的一般思想來看問題,首先我們應(yīng)該看到事情的本質(zhì)屬性，這里的事件A、B屬于概率中的相容事件。所以高中教材中涉及的相互獨立事件、互斥事件都不適合此題。

對以上兩道題的分析可以看出，概率的考察無處不在，初中考察頻率估計概率，從數(shù)字分?jǐn)?shù)的角度看問題，而高中從幾類基本事件的分析，概率的公式上做計算，到了大學(xué)，學(xué)習(xí)了全概率公式，貝葉斯公式，學(xué)生就會拉一條縱線，看到渾然一體的概率體系。

由此我們也可以發(fā)現(xiàn),雖然解法不同,但所反映的概率知識是一致的,均符合大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的理論,出現(xiàn)在不同學(xué)段,教法解法不同是可以理解的。使得學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中有較強(qiáng)的連續(xù)性,即看待問題的角度不同而已。為此我們提倡大學(xué)的有關(guān)概率知識的下放,到高中,更要到初中,這樣層層深入的學(xué)習(xí),有利于學(xué)生形成一個逐步加深的穩(wěn)固知識體系,從知識上生長出新知識的學(xué)習(xí)方式更牢固，能夠從不同層面的看問題,能夠更清楚的了解知識的所以然,能夠形成自己的分析問題的思維方式，大有裨益。

[1]人民教育出版社，課程教材研究所.數(shù)學(xué)(九年級下冊)[M].北京：人民教育出版社，2008.163.

2095-4654(2015)10-0198-02

2015-08-12