徐 帥

(包頭鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，包頭014160)

式(16)中，k1 ＞0 為增益常數(shù)?；谑?13)，對(duì)p 求導(dǎo)得:

0 引 言

通常情況下，直線電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)具有比較明顯的非線性，主要是由摩擦力、定位力、電磁驅(qū)動(dòng)力等因素造成的［1］。在一些要求不高的運(yùn)動(dòng)控制場(chǎng)合，上述非線性因素對(duì)系統(tǒng)的影響可以忽略不計(jì);但是若某些運(yùn)動(dòng)控制場(chǎng)合對(duì)速度或精度的要求較高，就必須將上述非線性因素考慮進(jìn)去，否則會(huì)造成系統(tǒng)的控制性能明顯下降，甚至?xí)霈F(xiàn)系統(tǒng)失穩(wěn)的情況［2］。摩擦力由于其高度的復(fù)雜性和不確定性［3］，受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛的關(guān)注。為準(zhǔn)確描述摩擦力特性，許多靜態(tài)或動(dòng)態(tài)摩擦力模型如Kanlopp、Armstrong－Helouvry、Dahl、Bristle、LuGre［4－5］被提出并使用。鑒于摩擦力的高度非線性，上述模型本身會(huì)比較復(fù)雜，如果直線電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)補(bǔ)償控制中直接采用這些模型，會(huì)造成較多的問(wèn)題。對(duì)于直線電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的摩擦力補(bǔ)償控制，目前已有不少研究成果，但是始終無(wú)法在保證模型準(zhǔn)確性和補(bǔ)償控制簡(jiǎn)易性的前提下，實(shí)現(xiàn)高精度的運(yùn)動(dòng)控制［6－8］。所以，在這方面仍有不少的上升空間，本文基于改進(jìn)LuGre 動(dòng)態(tài)模型設(shè)計(jì)一種直線電動(dòng)機(jī)自適應(yīng)魯棒控制算法，以減小摩擦力的非線性對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響。

1 改進(jìn)LuGre 摩擦力模型

對(duì)于靜態(tài)摩擦力，其數(shù)學(xué)模型可表示:

式中:B 為粘滯摩擦系數(shù);Af為庫(kù)侖摩擦系數(shù);Sf(v)是庫(kù)侖摩擦函數(shù)。對(duì)于動(dòng)態(tài)摩擦力，其數(shù)學(xué)模型普遍采用Canudas de Wit 等人提出的LuGre 模型［9］，其數(shù)學(xué)表達(dá)式:

式中:z 為不可測(cè)量的內(nèi)部摩擦狀態(tài);σ0表示剛度;σ1表示阻尼系數(shù);α2則表示粘滯摩擦系數(shù)。

由于內(nèi)狀態(tài)參數(shù)z 不可測(cè)量，所以動(dòng)態(tài)摩擦力的補(bǔ)償控制中需要加入一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器。根據(jù)動(dòng)態(tài)摩擦力的改進(jìn)LuGre 模型結(jié)構(gòu)，狀態(tài)觀測(cè)器可以設(shè)計(jì):

綜上所述，本文提出了一種改進(jìn)的LuGre 動(dòng)態(tài)摩擦力模型，該模型既適用于低速情況，又適用于高速情況，并且可以在高速和低速之間平滑切換，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

式中:l2＞l1＞0 表示切換速度，主要由數(shù)字控制采樣頻率和系統(tǒng)摩擦力特性決定。

從本質(zhì)上講，改進(jìn)LuGre 模型在高速情況下可停止內(nèi)狀態(tài)觀測(cè);在低速情況可保證z 為常數(shù)，所以z 的狀態(tài)估計(jì)始終是連續(xù)的。這樣就能夠解決原LuGre 模型在數(shù)字控制時(shí)的不穩(wěn)定問(wèn)題，且改進(jìn)動(dòng)態(tài)摩擦力模型具有以下特性:

2 直線電動(dòng)機(jī)自適應(yīng)魯棒控制

2.1 問(wèn)題描述

為減小動(dòng)態(tài)摩擦力非線性對(duì)直線電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)性能的影響，本文基于改進(jìn)LuGre 模型，提出了一種自適應(yīng)魯棒控制算法，用于直線電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)摩擦力補(bǔ)償。那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示:

假設(shè)1:若參數(shù)時(shí)變和建模誤差都是已知的，即:

式 中: θmin= ［θ1min，…，θ6min］T， θmax=［θ1max，…，θ6max］T和δd是已知的。

定義xd(t)為有界，且二階可導(dǎo)的參考軌跡，那么控制問(wèn)題可描述為:在存在各種建模誤差、動(dòng)態(tài)摩擦力模型結(jié)構(gòu)已知而且未知參數(shù)滿足假設(shè)1 的條件下，設(shè)計(jì)控制輸入u，使得動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(11)～式(13)的軌跡跟蹤誤差e 盡可能小。

2.2 自適應(yīng)魯棒控制

定義一個(gè)類滑模變量p［11］:

式(16)中，k1＞0 為增益常數(shù)?；谑?13)，對(duì)p 求導(dǎo)得:

考慮到參數(shù)z 的不可測(cè)量性，可設(shè)計(jì)一種基于映射函數(shù)的雙重觀測(cè)器［12］，保證系統(tǒng)對(duì)建模誤差的魯棒性:

式(18)中的不連續(xù)映射函數(shù)定義:

式中:ζ 表示z1或z2;y 表示任意函數(shù);觀測(cè)器上界為z1max=z2max=α0+α1，觀測(cè)器的下界為z1min=z2min=－α0－α1。此外，對(duì)于參數(shù)的在線估計(jì)，投影式自適應(yīng)律可設(shè)計(jì):

自適應(yīng)魯棒控制器［13］可設(shè)計(jì):

式(21)中，ua是自適應(yīng)模型補(bǔ)償項(xiàng);us為魯棒反饋?lái)?xiàng);us1為比例反饋;us2為魯棒反饋?lái)?xiàng)，其滿足以下兩個(gè)條件:

式中:ε 為一任意小的常數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)研究

直線電動(dòng)機(jī)精密運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)選用Rockwell公司的兩軸直線電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)平臺(tái)，主要由直線電動(dòng)機(jī)、電機(jī)驅(qū)動(dòng)器、光柵尺和直線導(dǎo)軌組成，控制系統(tǒng)具體結(jié)構(gòu)如圖1 所示。其中平臺(tái)使用Anorad 的無(wú)刷直流直線電動(dòng)機(jī)，具體參數(shù)如表示1 所示。

圖1 直線電動(dòng)機(jī)精密運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)

表1 電機(jī)主要參數(shù)

以兩軸直線電動(dòng)機(jī)平臺(tái)的X 軸直線電動(dòng)機(jī)作為研究對(duì)象，對(duì)比以下兩種算法:(1)基于靜態(tài)摩擦力補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)魯棒控制算法;(2)基于改進(jìn)LuGre動(dòng)態(tài)摩擦力補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)魯棒控制算法。分別進(jìn)行低速和高速實(shí)驗(yàn)。各控制參數(shù)分別為:k1=250，γ1=γ2=0.2，(0)=［0.12，7000，1176，0.15，0.166，;參數(shù)變化的上下界選為θmax=［0.2，10 000，1 500，0.3，0.5，0.5］T和θmin=［0.1，4 000，500，0. 1，0，－ 0. 5］T;對(duì) 于 低 速 實(shí) 驗(yàn)Γ = diag{1，2.5 ×1010，2.5 ×108，100，10，1 000 }，高 速 試 驗(yàn)中Γ=diag {1，2.5 ×1010，10 000，100，10，2 000 }。

3.1 低速實(shí)驗(yàn)

在低速實(shí)驗(yàn)中，參考軌跡xd(t)可定義:位移s=0.001 m，速度vmax=0.000 2 m/s，加速度Amax=0.000 2 m/s2的點(diǎn)到點(diǎn)軌跡。由于直線電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)范圍較小，所以可以忽略定位力的影響。低速實(shí)驗(yàn)的跟蹤誤差如圖2 所示。

圖2 低速運(yùn)動(dòng)跟蹤誤差

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知:當(dāng)速度的大小或方向發(fā)生變化時(shí)，動(dòng)態(tài)摩擦力對(duì)直線電動(dòng)機(jī)的控制性能影響較大?；谒惴?1)得到的軌跡跟蹤誤差，其最大值為2 μm;而基于算法(2)卻可以將軌跡跟蹤最大誤差控制在700 nm，在一定程度上降低了系統(tǒng)跟蹤誤差，驗(yàn)證了基于改進(jìn)LuGre 模型的直線電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)摩擦力補(bǔ)償方法的有效性。

3.2 高速試驗(yàn)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)直線電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)中摩擦力的非線性問(wèn)題，建立了改進(jìn)LuGre 動(dòng)態(tài)摩擦力模型，并結(jié)合自適應(yīng)魯棒控制技術(shù)，提出了一種基于改進(jìn)LuGre 模型的直線電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)摩擦力補(bǔ)償方法，同時(shí)設(shè)計(jì)了一種穩(wěn)定的不可測(cè)內(nèi)狀態(tài)觀測(cè)器，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所述模型補(bǔ)償和自適應(yīng)控制算法的有效性。

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