顧麗英+++許光新

王名揚等教授在《論一種緣自認知心理學及教育研究的數(shù)學認知過程》一文中，提出了一種全新的教學模式——“三象一作”，即“數(shù)學現(xiàn)象、心智圖像、數(shù)學抽象、操作階段”。這是一種緣自認知心理學和教育研究，可以應用于小學數(shù)學教學的“數(shù)學認知過程”。它的提出對數(shù)學教育和教學具有理論指導意義且具可操作性。

在日常教學中，筆者試圖以這一理論為依據(jù)，在課堂上有意識地啟示、鼓勵學生，或促使學生搜集數(shù)學現(xiàn)象、觀察數(shù)學現(xiàn)象，再通過多種策略讓數(shù)學現(xiàn)象成為學生心中生動的心像，最后，再通過層層抽象，完成知識建構。本文筆者就從數(shù)學的現(xiàn)象、心像、抽象等層面談談蘇教版小學四年級“小數(shù)意義”的設計策略。

一、呈現(xiàn)數(shù)學現(xiàn)象，著力于小數(shù)形象的積累

數(shù)學是研究數(shù)學現(xiàn)象的科學，數(shù)學教學就是闡述并運用“數(shù)學現(xiàn)象規(guī)律”的科學。數(shù)學現(xiàn)象是數(shù)學形式化題材的生命之源，也是學生直觀心智圖像形成的客觀背景。生活中存在的大量的數(shù)學現(xiàn)象是可以人為地創(chuàng)設出來的。小數(shù)是描述性的概念，因此教師在教學小數(shù)意義的時候，首先就要從小數(shù)意義的知識本身以及學生已有的認知水平出發(fā)，呈現(xiàn)有效的數(shù)學現(xiàn)象，引入小數(shù)意義。綜觀各種版本的教材，筆者發(fā)現(xiàn)：蘇教版教材以元、角、分、米尺等數(shù)學現(xiàn)象引入小數(shù)概念;人教版教材僅以米尺這一數(shù)學現(xiàn)象引入小數(shù);北師大版教材以元、角、分引入小數(shù)意義;青島版教材以生活實例和正方形、正方體等數(shù)學現(xiàn)象引入小數(shù)意義……各種版本的教材都試圖以一種有趣、直觀、形象的數(shù)學現(xiàn)象來生動引入小數(shù)意義。綜合各個版本的教材，我們在呈現(xiàn)小數(shù)意義的數(shù)學現(xiàn)象時，應緊扣趣味性、直觀性、連續(xù)性等特性，幫助學生積累小數(shù)形象。

1.生動有趣地引入數(shù)學現(xiàn)象

著名數(shù)學家華羅庚說過：“人們對數(shù)學早就產(chǎn)生了枯燥乏味、神秘、難懂的印象，原因之一便是脫離了實際?！币虼?，從學生熟悉的實際生活中創(chuàng)設教學情境，讓數(shù)學走進生活，讓學生在生活中看到數(shù)學現(xiàn)象，接觸數(shù)學，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，就顯得尤為重要。如上課一開始我們向學生呈現(xiàn)的是奧運冠軍、中國男子田徑隊110米跨欄健將劉翔跨欄奪冠的場景，引導學生回顧歷史上在跑步比賽中記錄時間方法的發(fā)展史：用整數(shù)秒記錄→用一位小數(shù)記錄→用兩位小數(shù)記錄，為了比出勝負，記錄的時間越來越精確。透過這一現(xiàn)象，學生可以真切地感受到小數(shù)是在精確度要求不斷提高的情況下產(chǎn)生的。

2.數(shù)學形象的形成，需要豐富的數(shù)學現(xiàn)象作為資源

在學生初步感受到小數(shù)產(chǎn)生的必要性后，我們又設計了測量淘淘小朋友身高的數(shù)學情境，幫助學生搜索數(shù)學現(xiàn)象。首先呈現(xiàn)：測量小寶寶淘淘三個月大時的身高。從圖片中，學生能清楚看到，測量結果不能用整米數(shù)表示，此刻啟發(fā)學生利用已經(jīng)學過的知識解決：縮小計量單位，把1米平均分成10份，每份是1分米，測得淘淘身高是6分米，也可以寫成十分之六米或0.6米。這是學生在三年級時學過的知識。在這兒不僅復習了舊知，而且也使學生看到了一位小數(shù)出現(xiàn)的必要性，為后面的兩位小數(shù)、三位小數(shù)的出現(xiàn)埋下伏筆（如圖1）。

圖1 淘淘三個月大時的身高

一位小數(shù)的出現(xiàn)已經(jīng)比整數(shù)更加精確了，為什么還要出現(xiàn)兩位小數(shù)呢？這時我們又呈現(xiàn)了這樣的數(shù)學現(xiàn)象：淘淘六個月時，測量身高，圖片顯示用一位小數(shù)得不到精確的結果了，怎么辦？學生非常自然地想到了用兩位小數(shù)來表示，把1米平均分成100份，每份是1厘米，也就是一百分之一米，寫成小數(shù)是0.01米，淘淘的身高67厘米就是0.67米（如圖2）。

圖2 淘淘六個月大時的身高

隨著淘淘的長大，身高又發(fā)生了變化，于是，我們又呈現(xiàn)了第四個數(shù)學現(xiàn)象：七個月大時，淘淘的身高用兩位小數(shù)無法精確地表示了，如此順理成章地引出了三位小數(shù)（如圖3）。

圖3 淘淘七個月大時的身高

在這樣層層遞進的連續(xù)的數(shù)學現(xiàn)象中，我們可以看到一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)的引出是那么的迫切與自然，因為在這一系列的數(shù)學現(xiàn)象中，不僅突出了小數(shù)產(chǎn)生的必要性，更重要的是蘊含了小數(shù)的內涵，在整個過程中學生積累了大量的小數(shù)現(xiàn)象，這為學生心智圖像的形成奠定了基礎。

二、激活心智圖像，著力于小數(shù)內涵的豐富

“心智圖像是數(shù)學現(xiàn)象在人們心目中呈現(xiàn)的一類未經(jīng)理性分析的直覺形象，是人們對數(shù)學現(xiàn)象的某種直接的領悟和圖像?！币驗閿?shù)學現(xiàn)象是對數(shù)學內涵的呈現(xiàn)，而心智圖像是對數(shù)學現(xiàn)象的反映，所以我們稱心智圖像是對數(shù)學內涵的二次呈現(xiàn)。心智圖像具有一定的概括性，由此也就有不同的遷移能力。數(shù)學學習中并非概括水平越高的心智圖像越有利于數(shù)學理解。而是在不同的階段，需要相應水平的心智圖像。引導建構的心智圖像必須能夠反映數(shù)學本質，因為，不管形成怎樣的心智圖像，我們的目的都是為了幫助學生理解數(shù)學。小數(shù)是一個比較抽象的數(shù)學概念，為了幫助學生激活有效的心智圖像，形成科學規(guī)范的小數(shù)意義的知識結構，我們在教學小數(shù)意義這一知識點時，預設形成以下直觀、適切的心智圖像。

第一，米尺是學生心中熟悉且形象的教具。學生曾經(jīng)通過米尺認識了1米、1分米、1厘米、1毫米，并借助米尺了解了米、分米、厘米、毫米之間的關系。所以在教學小數(shù)意義時，通過把1米平均分成10份、100份、1000份，得到1米的十分之幾、百分之幾、千分之幾，并用小數(shù)表示是1位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)等。此刻，學生心中會形成這樣的心智圖像：把1米平均分成10份，每一份是1分米，是1米的，用小數(shù)表示是0.1米;把1米平均分成100份，每一份是1厘米，是1米的，用小數(shù)表示是0.01米;把1米平均分成1000份，每一份是1毫米，是1米的，用小數(shù)表示是0.001米。這樣米尺就在“米、米，米”和“0.1米、0.01米、0.001米”之間架起了知識橋梁，學生心中形成了從整數(shù)到分數(shù)到小數(shù)的相互貫通的心智圖像。

第二，我們可以用整數(shù)“1”來表示一個正方體。在這兒我們期望形成這樣的心智圖像：把正方體平均分成10份后，每一份是正方體的，可以用0.1來表示;把它平均分成100份，每一份是正方體的，可以用0.01表示;把它平均分成1000份，每一份是正方體的，可以用0.001表示。這兒把正方體從一維、二維到三維的直觀均分，可以讓學生心中順利從“十分之幾、百分之幾、千分之幾”過渡到“零點幾、零點零幾、零點零零幾”，這一心智圖像的形成，有助于學生溝通分數(shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系（如圖4）。endprint

十分之幾 百分之幾 千分之幾

零點幾 零點零幾 零點零零幾

圖4 剖分單位正方體理解小數(shù)意義

第三，數(shù)軸在小學教材中多次出現(xiàn)，是學生認數(shù)的重要工具。認識小數(shù)一課中，我們借助數(shù)軸，讓學生心中形成這樣的心智圖像：把數(shù)軸上0到1這段平均分成100份，從0開始第二個點可以用表示，也可以用0.01表示;第三個點可以用表示，也可以用0.02表示……使學生明白數(shù)軸上的每一個點都可以用不同形式的數(shù)來表示，這樣就由數(shù)軸這一中介溝通了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)之間的聯(lián)系。

三、實現(xiàn)深度抽象，著力于小數(shù)本質的認識

人腦是具有抽象本能的。通過心像的積累、變化、組合及相互聯(lián)結和綜合等過程逐步形成抽象性的概念——小數(shù)的意義。因此，當學生形成了以上的數(shù)學心像后，需要教師引導他們通過對比、歸納、推理等完成小數(shù)意義的抽象。

第一，橫向比較、縱向感受小數(shù)的意義。當學生借助米尺在心中形成縱向的整數(shù)、分數(shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系后（如表1），教師及時地引導學生進行橫向的求同比較，使學生明確，第一行都是表示多少厘米，第二行都是分母是100的分數(shù)，第三行都是兩位小數(shù)，在此基礎上引導學生進一步概括，多少厘米都可以借助分母是100的分數(shù)表示出來，還可以借助兩位小數(shù)表示出來。在教學三位小數(shù)時同樣可以采用類似的方法，讓學生明確，多少毫米都可以借助分母是1000的分數(shù)表示出來，也可以借助三位小數(shù)表示出來。這就是從整數(shù)到分數(shù)到小數(shù)的一個縱向的小數(shù)意義的理解。

表1 縱向理解整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的意義表

1厘米 12厘米 67厘米 →多少厘米

米 米 米 →百分之幾米

0.01米 0.12米 0.67米 →零點幾幾米（兩位小數(shù)）

第二，分類歸納，逆向理解小數(shù)的意義。在這節(jié)課中如果僅僅讓學生理解分母是10，100，1000……的分數(shù)都可以寫成一位、兩位、三位小數(shù)……是遠遠不夠的。所以當學生認識了0.1，0.4，0.7，0.01，0.04，0.12，0.67，0.001，0.028，0.677等小數(shù)后，我們可以設計這樣的一個環(huán)節(jié)：請學生選擇下面的一個正方體來表示這些小數(shù)（如圖5）。

1號 2號 3號

圖5 逆向理解小數(shù)的意義

通過分類選擇，我們可以得到0.1，0.4，0.7可在1號正方體中表示，0.01，0.04，0.12，0.67可在2號中正方體表示，剩下的在3號正方體中表示。這樣數(shù)形結合著對應分類，學生非常自然地得出了小數(shù)意義的逆向理解：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……此刻，我們可以說，學生對小數(shù)的意義已經(jīng)可以比較完整地構建。

第三，推理猜想，感悟小數(shù)的特征。數(shù)軸是數(shù)的認識的重要工具。它的出現(xiàn)，不僅可以讓學生對小數(shù)意義的認識更加深刻，而且可以使學生逐步感悟小數(shù)的特征。這里我們可以設計三個遞進的推理猜想，讓學生感受小數(shù)個數(shù)的無窮性。

其一，在數(shù)軸上，引導學生在0與1之間找到0.1，0.01，0.001的位置，通過直觀位置的對比，讓學生清晰地看到，這幾個小數(shù)中最接近0的小數(shù)是0.001，并且在0與0.001之間，我們還可以找出比0.001更小的小數(shù)0.0001，在0和0.0001之間，還可以推想出0.00001，以此類推，學生很容易就可以推想出在0與1之間，我們可以找到無數(shù)個小數(shù);同樣，1和2之間、2和3之間也有無窮個小數(shù)。這樣，通過觀察與推想，學生可以知道在每兩個整數(shù)之間都存在著無窮個小數(shù)。第一次感受小數(shù)個數(shù)的無窮性。

其二，將數(shù)軸的箭頭向右繼續(xù)延伸，從0到1到2到3，進而自然地引出π的近似值：3.1，3.14， 3.141，3.1415，3.14159，3.1415926……而3.141，3.1415，3.14159，3.1415926……這些數(shù)都在3.14和3.15之間，由剛才的推想，學生可以非常順利地推想出3.1415926后面還可以有無限位小數(shù)，也就是說，在3.14和3.15之間，我們也可以推算出無限個小數(shù)，這時，學生就可以推想出每兩個小數(shù)之間也有無窮個小數(shù)。

其三，數(shù)軸不斷向右延伸，學生在數(shù)軸上依次找到15.8，25.7，100.9，358.9，8844.47……在數(shù)軸向右無限延伸的動態(tài)過程中，學生不僅看到了小數(shù)變得非常非常大，從而明白小數(shù)其實并不小，再加上學生合理的推想，又可以感受到小數(shù)可以是無窮大的特征。

通過這樣三個層次的抽象概括，學生對小數(shù)的意義及特征逐漸明晰。

綜上所述，運用“三象一作”的理論進行小數(shù)意義的教學，教師從呈現(xiàn)緊密相連的數(shù)學現(xiàn)象入手，使學生的心中形成科學規(guī)范的心智圖像，通過多維度的比較、抽象、概括，使小數(shù)的概念清晰、豐厚，從而在學生心中架構一個完全“立體化”的小數(shù)意義。

（江蘇省無錫市新區(qū)實驗小學 214112）endprint