艾天霞， 張 蕾

(1.榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 榆林719000;2. 云南師范大學(xué)文理學(xué)院 工商管理學(xué)院，云南昆明650222)

判別分析的基本思想是根據(jù)對(duì)已有的分類(lèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，找出樣本數(shù)據(jù)的分類(lèi)規(guī)律，然后建立判別函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)判別函數(shù)對(duì)新樣本的分類(lèi)情況進(jìn)行判別的一種分類(lèi)學(xué)科。根據(jù)是否需要事先假設(shè)總體的分布情況，判別分析分為參數(shù)判別分析和非參數(shù)判別分析。參數(shù)判別分析就是傳統(tǒng)的判別分析，主要有距離判別、Bayes判別和Fisher 判別。非參數(shù)判別分析主要分為兩種:一種是非參數(shù)核密度估計(jì)判別分析;另一種是非參數(shù)最近鄰估計(jì)判別分析［1］。在參數(shù)判別分析方法中，Bayes 判別方法應(yīng)用最為廣泛;在非參數(shù)判別分析方法中，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法最為普遍。下面介紹這兩種判別分析的基本原理，并對(duì)這兩種判別分析方法進(jìn)行比較。

1 傳統(tǒng)Bayes 判別分析

傳統(tǒng)Bayes 判別分析主要討論正態(tài)分布的情況。假設(shè)有k 個(gè)總體G1，G2，…，Gk，對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)分別為f1(x)，f2(x)，…，fk(x)，Xi服從均值為μi，協(xié)方差陣為∑i的正態(tài)分布，其中i = 1，2，…，k，Xi的密度函數(shù)為

相應(yīng)的先驗(yàn)概率分別為p1，p2，…，pk，則有pi≥0 且p1+p2+…+pk= 1。提前假定所有的錯(cuò)判損失都相同，則多分類(lèi)Bayes 判別的判別準(zhǔn)則為［2］

2 非參數(shù)核密度Bayes 判別分析

在非參數(shù)核密度Bayes判別分析中，假設(shè)有k 個(gè)總體G1，G2，…，Gk，p 個(gè)指標(biāo)，相應(yīng)的核密度函數(shù)［3-4］分別為fn1(x)，fn2(x)，…，fnk(x)，先驗(yàn)概率分別為p1，p2，…，pk，假定所有的錯(cuò)判損失相等，采用SJ 帶寬，并取核函數(shù)為高斯核函數(shù)，則總體Gj(j =1，2，…，k)的核密度估計(jì)［5-6］可表示為

其 中，i = 1，2，…，nj;j = 1，2，…，k;n = n1+n2+ … +nj;相應(yīng)的先驗(yàn)概率的估計(jì)為

將先驗(yàn)概率的估計(jì)值代入多分類(lèi)貝葉斯判別規(guī)則中，得到后驗(yàn)概率，然后進(jìn)行比較。因此，非參數(shù)核密度貝葉斯判別規(guī)則為

3 傳統(tǒng)Bayes 判別分析與非參數(shù)核密度Bayes 判別分析比較

3.1 兩種判別分析方法的理論比較

傳統(tǒng)Bayes 判別方法是一種參數(shù)判別方法，主要討論總體服從正態(tài)分布的情形。采用傳統(tǒng)Bayes判別方法時(shí)，需要事先假定總體服從正態(tài)分布。但是，在實(shí)際情況中，總體通常不服從正態(tài)分布，或者總體的分布情況是未知的，此時(shí)已不再適用傳統(tǒng)Bayes 判別方法。非參數(shù)核密度Bayes 判別方法是一種非參數(shù)判別方法，運(yùn)用非參數(shù)判別方法時(shí)，不需要事先假定總體的分布情況，而是直接通過(guò)數(shù)據(jù)本身來(lái)估計(jì)總體的概率密度，適用于任何分布形式的總體。從理論上來(lái)說(shuō)，相比于傳統(tǒng)方法，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法具有更廣泛的適用性。

3.2 兩種判別分析方法的統(tǒng)計(jì)模擬

通過(guò)統(tǒng)計(jì)模擬的方法對(duì)傳統(tǒng)Bayes 判別方法與非參數(shù)核密度Bayes 判別方法進(jìn)行比較。若總體所考慮的指標(biāo)有p 個(gè)，那么總體就是p 維數(shù)據(jù)，所采用的判別分析就是p 維判別分析。為了方便研究，文中僅僅模擬了p = 1 和p = 2 的情形，其他多維情形可以類(lèi)似推導(dǎo)。

對(duì)于一維情形和二維情形，又分別模擬了正態(tài)數(shù)據(jù)和非正態(tài)數(shù)據(jù)，其中正態(tài)數(shù)據(jù)作為對(duì)照組，非正態(tài)數(shù)據(jù)作為比較組。總體中參數(shù)的取值情況不同，得到的數(shù)據(jù)也不一樣。針對(duì)上述情形，文中將分別模擬參數(shù)的不同取值情況，以便更好地說(shuō)明結(jié)果。

3.2.1 一維正態(tài) 用R 語(yǔ)言隨機(jī)生成服從N(μ，σ2)的一維數(shù)據(jù)xi(i = 1，2，…，n)，其中針對(duì)參數(shù)μ和σ2的不同取值，模擬了以下6 種情況:(1)μ = 0，σ2= 1;(2)μ = 0，σ2= 0.5;(3)μ = 5，σ2= 1;(4)μ = 5，σ2= 0.5;(5)μ = 10，σ2= 1;(6)μ =10，σ2= 0.5。生成隨機(jī)數(shù)據(jù)后，定義每組數(shù)據(jù)的原始分類(lèi)情況，采用的方法是:求出每組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，記為Me(xi)，對(duì)于i = 1，2，…，n，定義

則Si就是每組數(shù)據(jù)的原始分類(lèi)情況。如果存在若干數(shù)據(jù)等于Me(xi)的情況，就需要剔除掉這幾個(gè)數(shù)據(jù)，然后再重新生成幾個(gè)隨機(jī)數(shù)據(jù)，直至每組數(shù)據(jù)中沒(méi)有等于中位數(shù)的情況為止，最后將保證類(lèi)別1和類(lèi)別2 的數(shù)據(jù)各占數(shù)據(jù)總量的一半。

3.2.2 一維非正態(tài) 不妨采用服從Gamma 分布的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬。用R 語(yǔ)言隨機(jī)生成服從Gamma(α，β)分布的數(shù)據(jù)xi(i = 1，2，…，n)，其中針對(duì)參數(shù)α 和β 的不同取值，模擬了以下6 種情況:(1)α = 2，β = 0.1;(2)α = 2，β = 0.5;(3)α = 2，β = 1;(4)α = 2，β = 2.5;(5)α = 2，β = 5;(6)α =2，β = 10.5。生成隨機(jī)數(shù)據(jù)后，定義每組數(shù)據(jù)的原始分類(lèi)情況，方法同上。

3.2.3 二維正態(tài) 用R 語(yǔ)言隨機(jī)生成服從N2(μ，Σ)的二維正態(tài)數(shù)據(jù)，其中第一維數(shù)據(jù)xi1服從N(μ1，)，第二維數(shù)據(jù)xi2服從N(μ2，)，針對(duì)參數(shù)μ1，，μ2，的不同取值，模擬了以下6 種情況:。生成隨機(jī)數(shù)據(jù)后，定義每組數(shù)據(jù)的原始分類(lèi)情況，采用的方法是:令

求出yi的中位數(shù)，記為Me(yi)，最后，對(duì)于i = 1，2，…，n，定義

則Si就是每組數(shù)據(jù)的原始分類(lèi)情況。如果存在若干數(shù)據(jù)等于Me(yi)的情況，就需要剔除再選，直至每組數(shù)據(jù)中沒(méi)有等于中位數(shù)的情況為止，最后將保證類(lèi)別1 和類(lèi)別2 的數(shù)據(jù)各占數(shù)據(jù)總量的一半。

3.2.4 二維非正態(tài) 不妨采用混合分布組成的非正態(tài)二維數(shù)據(jù)，具體方法如下:先構(gòu)造第一維數(shù)據(jù)xi1，用R 生成兩組具有不同μ 和σ2的一維正態(tài)數(shù)據(jù)，第一組數(shù)據(jù)ri1服從N(μ1，)，第二組數(shù)據(jù)ri2服從N(μ2，)，其中μ1≠μ2且，再生成一組服從U(0，1)的均勻分布數(shù)據(jù)zi，對(duì)于i = 1，2，…，n

則xi1為第一維數(shù)據(jù)，同理構(gòu)造第二維數(shù)據(jù)xi2。針對(duì)參數(shù)μ1，，μ2，，μ3，，μ4，σ24 的不同取值，模擬以下6 種情況:

生成二維隨機(jī)數(shù)據(jù)后，定義每組數(shù)據(jù)的原始分類(lèi)情況，方法同上。

3.2.5 模擬結(jié)果 利用隨機(jī)生成的數(shù)據(jù)，采用兩種判別方法進(jìn)行判別分析。在統(tǒng)計(jì)模擬時(shí)，分別取樣本容量n = 50，n = 200，n = 500 3 種情況，進(jìn)行重復(fù)數(shù)N = 1 000 次的模擬試驗(yàn)，最后取1 000 次模擬結(jié)果的平均值作為最終結(jié)果。運(yùn)行R 軟件，得出每組數(shù)據(jù)的最終模擬結(jié)果，將兩種判別方法的最終模擬結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果顯示，在上述統(tǒng)計(jì)模擬的各種情形中，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法的正判率都明顯高于傳統(tǒng)Bayes 判別方法的正判率。

3.3 兩種判別分析方法的實(shí)證比較

3.3.1 對(duì)一組正態(tài)體檢數(shù)據(jù)的判別分析 為研究冠心病，某位醫(yī)生測(cè)定了15 例50 ～59 歲的冠心病人和15 例50 ～59 歲的正常人的舒張壓和膽固醇指標(biāo)(數(shù)據(jù)來(lái)源于《SPSS 寶典》16.3 實(shí)例數(shù)據(jù)［7］)。對(duì)這30例數(shù)據(jù)分別用兩種判別方法進(jìn)行判別分析，將分類(lèi)結(jié)果與原始分類(lèi)情況進(jìn)行比較，結(jié)果如表1 所示。

表1 體檢數(shù)據(jù)的兩種判別結(jié)果比較Tab.1 Comparison of two discriminant results for physical examination data

表1 結(jié)果表明，在冠心病組的判別中，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法的正判率是66.7%，高于傳統(tǒng)Bayes 判別方法的正判率;在正常人組的判別中，兩種方法的正判率都是100%。綜合來(lái)看，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法的正判率高于傳統(tǒng)Bayes 判別方法。

3.3.2 對(duì)一組非正態(tài)企業(yè)財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)的判別分析為研究企業(yè)財(cái)務(wù)預(yù)警［8-9］問(wèn)題，隨機(jī)選取了20 家被特別處理的上市公司(ST 公司)和180 家正常的上市公司(非ST 公司)作為研究對(duì)象(數(shù)據(jù)來(lái)源于Wind 資訊)。測(cè)定這200 家上市公司的8 個(gè)財(cái)務(wù)指標(biāo)。對(duì)這8 個(gè)財(cái)務(wù)指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，各指標(biāo)數(shù)據(jù)都不服從正態(tài)分布。針對(duì)這200 例數(shù)據(jù)，分別采用兩種判別方法進(jìn)行判別分析，將分類(lèi)結(jié)果與原始分類(lèi)情況進(jìn)行比較，計(jì)算出兩種方法的正判率，結(jié)果如表2 所示。

表2 企業(yè)財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)的兩種判別結(jié)果比較Tab.2 Comparison of two discriminant results for enterprise’s financial data

表2 結(jié)果表明，在ST 公司的判別中，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法的正判率是100%，明顯高于傳統(tǒng)Bayes 判別方法的正判率;在非ST 公司的判別中，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法的正判率略高于傳統(tǒng)Bayes 判別方法的正判率。綜合來(lái)看，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法的正判率明顯高于傳統(tǒng)Bayes判別方法的正判率。

4 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)Bayes 判別方法。從理論上看，當(dāng)總體的分布情況已知，且服從正態(tài)分布時(shí)，傳統(tǒng)Bayes 判別方法無(wú)疑是適用的;但當(dāng)總體的分布情況未知時(shí)，此時(shí)應(yīng)該采用非參數(shù)核密度Bayes 判別方法。非參數(shù)核密度Bayes 判別方法不需要事先假定總體的分布情況，所以適用范圍更廣。通過(guò)統(tǒng)計(jì)模擬和實(shí)證分析兩方面驗(yàn)證，結(jié)果表明，當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法的正判率不低于傳統(tǒng)Bayes 判別方法的正判率;當(dāng)總體不服從正態(tài)分布時(shí)，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法的正判率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)Bayes 判別方法的正判率?？梢?jiàn)，對(duì)于任何分布形式的總體來(lái)說(shuō)，非參數(shù)核密度Bayes 判別方法都是有效的。

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