趙 樂， 馬躍超， 劉德友

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

非線性擾動(dòng)的時(shí)滯廣義大系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定與H∞控制

趙 樂， 馬躍超， 劉德友

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

針對一類非線性擾動(dòng)的時(shí)滯廣義大系統(tǒng)，研究其魯棒H∞混合反饋控制器的設(shè)計(jì)問題.基于有界實(shí)引理，應(yīng)用線性矩陣不等式方法，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，進(jìn)而得出條件使得不確定廣義大系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定并且可以解得H∞混合控制器.求解對應(yīng)的線性矩陣不等式(LMIs)可以得到所需的魯棒H∞控制器，使在控制器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，且滿足了一定的性能指標(biāo)，并且抑制了干擾的影響.

非線性擾動(dòng)； 時(shí)滯依賴； 廣義大系統(tǒng)； 分散H∞混合控制

0 引言

近些年來，有關(guān)不確定大系統(tǒng)魯棒控制的研究取得了許多成果[1-4].而廣義系統(tǒng)又是比正常系統(tǒng)更加廣泛的一類系統(tǒng)，能更好的描述實(shí)際生產(chǎn)過程，且廣義大系統(tǒng)理論在許多實(shí)際問題如：工程技術(shù)，社會(huì)經(jīng)濟(jì)，生物生態(tài)等各領(lǐng)域都有應(yīng)用.因此研究廣義大系統(tǒng)有重要意義，而且在廣義大系統(tǒng)控制方面也取得了成果.如文獻(xiàn)[5]針對帶有控制輸入時(shí)滯和關(guān)聯(lián)時(shí)滯均為時(shí)變的不確定時(shí)滯大系統(tǒng)，利用線性矩陣不等式的方法，研究了其魯棒鎮(zhèn)定問題.文獻(xiàn)[6]對具有輸入時(shí)滯的非線性不確定時(shí)滯系統(tǒng),研究其魯棒非脆弱H∞控制器設(shè)計(jì)問題.文獻(xiàn)[7]利用穩(wěn)定理論和矩陣?yán)碚摚芯苛藦V義大系統(tǒng)的分散魯棒狀態(tài)反饋保性能H∞控制率問題.關(guān)于具有參數(shù)不確定性，廣義時(shí)滯大系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)問題都在很多文獻(xiàn)中體現(xiàn).而對帶有非線性擾動(dòng)的廣義時(shí)滯互聯(lián)大系統(tǒng)的混合控制及H∞控制的研究比較少，本文通過構(gòu)造廣義Lyapunov函數(shù)及線性矩陣不等式來研究非線性廣義時(shí)滯大系統(tǒng)的混合控制器的設(shè)計(jì)方法，并得出了使其穩(wěn)定及H∞控制器存在的條件，使閉環(huán)系統(tǒng)在保持一定的H∞性能條件下漸進(jìn)穩(wěn)定.

1 問題描述與準(zhǔn)備知識

考慮一類由N個(gè)子系統(tǒng)∑i構(gòu)成的廣義非線性時(shí)滯大系統(tǒng)∑，子系統(tǒng)∑i為

(1)

其中：xi(t)∈Rni；ui(t)∈Rmi；ωi(t)∈L2([0,∞],Rri)；zi(t)∈Rqi分別是系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制輸入、干擾輸入和控制輸出；Ei,Ai,Adi,Bi,Di,C1i,C2i,Cdi,Hij是已知的適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常矩陣；Ei是奇異矩陣且rank(Ei)=ri≤ni；ΔAi(t),ΔAdi(t)是適維不確定矩陣且滿足如下條件：

(2)

非線性函數(shù)fi(·)滿足條件：

?ai,bi,di>0:‖fi(·)‖≤ai‖xi(t)‖+bi‖xi(t-di(t))‖+di‖ωi(t)‖.

(3)

定義1 系統(tǒng)(E,A)是正則的，如果det(SE-A)不全等于零；系統(tǒng)(E,A)無脈沖，如果(E,A)正則且deg(det(SE-A))=rank(E).

假設(shè)1 系統(tǒng)(Ei,Ai,Bi)穩(wěn)定且無窮能控.

對于系統(tǒng)(1)，若采用反饋控制律

ui(t)=Liyi(t)+Kixi(t)+Kdixi(t-di(t)),t≥0,i=1,2,…,N，

(4)

則閉環(huán)系統(tǒng)為：

(5)

定義2 考慮帶有控制器(4)的系統(tǒng)(1)，且滿足下列條件：當(dāng)ω(t)=0, 帶有控制器(4)的閉環(huán)系統(tǒng)(1)是漸進(jìn)穩(wěn)定的；在初始條件下ω(t)和z(t)有界：

其中:γ>0. 在上面的條件中，系統(tǒng)(1)在控制器(4)作用下是漸進(jìn)穩(wěn)定的，控制器(4)稱為系統(tǒng)(1)的H∞混合控制器.變量γ稱為H∞混合控制器的性能指標(biāo).

2 主要結(jié)果

引理2[8]對適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣A,B,X,Y,Z和奇異矩陣S，則有：

(6)

引理3[9]若X,Y為具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣，對任意的矩陣Γ=ΓT>0，和任意常數(shù)γ>0，則有：

XTY+YTX≤XTΓY+YTΓ-1X,XTY+YTX≤γXTY+γ-1YTX.

(7)

引理4[10]對任意常數(shù)矩陣Z=ZT>0，有下面積分不等式：

(8)

(9)

則在控制器(4)的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)(5)漸進(jìn)穩(wěn)定且具有H∞性能指標(biāo)γ.

證明 考慮閉環(huán)系統(tǒng)(5)和Lyapunov-Krasovskii函數(shù)：

(10)

對式(10)沿閉環(huán)系統(tǒng)(5)求導(dǎo)并由引理3和條件(3)得：

又由條件(2)和引理2可得：

(11)

(12)

由Schur式(12)等價(jià)于式(9)，所以

(13)

因此，?s≥0，有

證畢.

3 總結(jié)

本文利用Lyapunov和線性矩陣不等式方法，針對具有不確定性和非線性擾動(dòng)的時(shí)滯廣義大系統(tǒng)，考慮到不確定性和非線性擾動(dòng)對此系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，研究了使該系統(tǒng)穩(wěn)定及H∞混合反饋控制器的設(shè)計(jì)方法，在保證閉環(huán)系統(tǒng)滿足一定的性能指標(biāo)條件下，使閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，抑制干擾的影響.

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(責(zé)任編輯：王浩毅)

Robust Stabilization andH∞Hybrid Control for Nonlinear Time-delay Singular Large-scale Systems

ZHAO Le， MA Yuechao， LIU Deyou

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The research of stabilization andH∞control for the nonlinear large-scale time-delay systems with nonlinear perturbation was studied. Based on the bounded real lemma, LMI method and a novel Lyapunov-Krasovskii functional, a new delay-dependent sufficient condition for the existence of stabilization and hybrid controller had been given. The controller could be obtained by solving the corresponding linear matrix inequality. This controller designed could make the closed-loop systems asymptotically stable,as well as satisfyingH∞properties to achieve disturbance attenuation.

decentralizedH∞hybrid control； singular large-scale system； time-delay； nonlinear perturbation

2015-07-25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號61273004；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號F2014203085.

趙樂(1990—)，女，山東德州人，碩士研究生，主要從事復(fù)雜大系統(tǒng)研究，E-mail：zhaole200907036@163.com.

趙樂，馬躍超，劉德友.非線性擾動(dòng)的時(shí)滯廣義大系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定與H∞控制[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015，47(4)：43-46.

O231.2

A

1671-6841(2015)04-0043-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.008